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由于離散型隨機變量的分布列、期望與方差與現(xiàn)實生活聯(lián)系密切，能充分體現(xiàn)數(shù)學的應用價值，也符合高考發(fā)展的方向，是近幾年高考考查的熱點與重點內(nèi)容. 預計在今后的高考中，它仍然是考查的重點，題型有選擇題、填空題、解答題，不同的地區(qū)，在命題設計上不盡相同，但以解答題為主的可能性更大.

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求離散型隨機變量的期望和方差，一般先根據(jù)隨機變量的意義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，再根據(jù)數(shù)學期望和方差的公式計算. 這類題多為解答題，常常綜合考查排列組合知識、隨機事件的概率等，有時還會根據(jù)概率、期望、方差等數(shù)據(jù)對某些現(xiàn)象進行說理. 因此在復習時要注意對概率綜合題的研究，既要落實“模型題”訓練，又要注重從生活情境出發(fā)進行思考.

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■ 根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對工期的影響如下表. 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求工期延誤天數(shù)的均值與方差.

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破解思路 先根據(jù)條件信息求出Y=0，2，6，8時的相應概率，列出Y的分布列，再根據(jù)分布列計算期望和方差. 這類題為容易題，體現(xiàn)對分布列、期望、方差等的最低要求.

經(jīng)典答案 由已知條件和概率的加法公式可得到：P（X<300）=0.3，P（300≤X<700）=P（X<700）-P（X<300）=0.7-0.3=0.4，P（700≤X<900）=P（X<900）-P（X<700）=0.9-0.7=0.2，P（X≥900）=1-P（X<900）=1-0.9=0.1. 所以Y的分布列為：

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于是，EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，DY=9.8. 故工期延誤天數(shù)的均值為3，方差為9.8.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

■ 一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球. 已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是■；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是■.

（1）若袋中共有10個球，①求白球的個數(shù)；②從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ.

（2）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于■，并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少.

破解思路 （1）方程思想. 先根據(jù)條件建立方程，確定白球數(shù)，再確定隨機變量ξ的可能取值，并求出相應的概率，求得分布列和期望.

（2）先設定兩種球的個數(shù)，表示出相應的概率，由概率關系建立不等式，得到兩個未知數(shù)間的關系，從而論證結(jié)論.

經(jīng)典答案 （1）①記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，設袋中白球的個數(shù)為x，則P（A）=1-■=■，得到x=5. 故白球有5個.

②隨機變量ξ的取值為0，1， 2，3，分布列是：

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ξ的數(shù)學期望Eξ=■×0+■×1+■×2+■×3=■.

（2）證明：設袋中有n個球，其中y個黑球，由題得y=■n，所以2y

■ 品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試. 根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.現(xiàn)設n=4，分別以a1，a2，a3，a4表示第一次排序時被排為1，2， 3，4的四種酒在第二次排序時的序號，并令X=1-a1+2-a2+3-a3+4-a4，則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述.

（1）寫出X的可能值集合；

（2）假設a1，a2，a3，a4等可能地為1，2，3，4的各種排列，求X的分布列；

（3）某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有X≤2，①試按（2）中的結(jié)果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測試相互獨立）；②你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由.

破解思路 準確理解題意是確定隨機變量X的取值的關鍵. 分析a1，a3與a2，a4中奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)，確定X的奇偶性，然后估算X的范圍，并逐一檢驗；借助樹狀圖列出所有可能情形，計算X值相應的概率，得到分布列；通過計算概率，判斷該品酒師酒味鑒別的能力，并說明理由.

經(jīng)典答案 （1）由于1，2，3，4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個，所以a2，a4中奇數(shù)個數(shù)與a1，a3中偶數(shù)個數(shù)相同，所以1-a1+2-a2+3-a3+4-a4的奇偶性相同，從而X的可能值必為偶數(shù)，且非負，不大于8，故X的可能值集合為{0，2，4，6，8}.

（2）列樹狀圖可得1，2，3，4的排列共有24種，計算得X的分布列如下：

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（3）①由（2）知P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）=■，又各輪測試相互獨立，所以三輪測試都有X≤2的概率為P=■■=■.

②由于P=■■=■<■是一個很小的概率，所以如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有X≤2的結(jié)果可能性非常小，因此我們認為該品酒師確實有良好的味覺鑒別能力，不是隨機猜測的.

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1. 某中學選派40名同學參加北京市高中生技術設計創(chuàng)意大賽的培訓，他們參加培訓的次數(shù)統(tǒng)計如下表所示：

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（1）從這40人中任意選3名學生，求這3名同學中至少有2名同學參加培訓次數(shù)恰好相等的概率；

（2）從40人中任選2名學生，用X表示這兩人參加培訓次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望EX.

2. 某高校的自主招生考試數(shù)學試卷共有8道選擇題，每個選擇題都給了4個選項（其中有且僅有一個是正確的）. 評分標準規(guī)定：每題只選1項，答對得5分，不答或答錯得0分. 某考生每道題都給出了答案，已確定有4道題的答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題都可判斷其中兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷其中一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜. 對于這8道選擇題，試求：

（1）該考生得分為40分的概率；

（2）該考生所得分數(shù)ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ.

3. 文科班某同學參加某省學業(yè)水平測試，物理、化學、生物獲得等級A和獲得等級不是A的機會相等，物理、化學、生物獲得等級A的事件分別記為W1，W2，W3，物理、化學、生物獲得等級不是A的事件分別記為■，■，■.

（1）試列舉該同學這次水平測試中物理、化學、生物成績是否為A的所有可能結(jié)果（如三科成績均為A記為（W1，W2，W3））；

（2）求該同學參加這次水平測試獲得兩個A的概率；

（3）試設計一個關于該同學參加這次水平測試物理、化學、生物成績情況的事件，使該事件的概率大于85%，并說明理由.