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折疊問題是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容之一，主要考查空間幾何體中線線、線面、面面的位置關(guān)系，空間角、空間距離的計算，空間幾何體的面積與體積計算.在高考中一般以解答題的形式出現(xiàn)，有一定難度.

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解決這類問題要注意對翻折前后線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較. 對某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、計算，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

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■ 如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°. 點E，F(xiàn)分別在邊CD，CB上，點E與點C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O. 沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

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圖1

（1）求證：BD⊥平面POA.

（2）當PB取得最小值時，請解答以下問題：

（i）求四棱錐P-BDEF的體積；

（ii）若點Q滿足■=λ■（λ>0），試探究：直線OQ與平面PBD所成角的大小是否一定大于■，并說明理由.

破解思路 （1）折疊問題要注意翻折前后位置關(guān)系的變化，同時還要找出翻折前后不變的位置關(guān)系作為解題基礎(chǔ). 此題中翻折前CO⊥EF，翻折后變成了PO⊥EF，從而依據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理“兩平面垂直，一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線垂直于另一個平面”，得到PO⊥平面ABFED，自然就有PO⊥BD，翻折前后都有BD⊥AO. 問題很快得到了解決.

（2）“當PB取得最小值時”就是要建立PB的函數(shù)關(guān)系式確定點O的位置，問題中不難發(fā)現(xiàn)OA，OF，OP三直線兩兩垂直，因此建立空間直角坐標系利用空間向量從而避免作輔助線的麻煩是不錯的選擇.

經(jīng)典答案 （1）證明：因為菱形ABCD的對角線互相垂直，所以BD⊥AC，所以BD⊥AO.

因為EF⊥AC，所以PO⊥EF.？搖

因為平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO？奐平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.？搖

因為BD？奐平面ABFED，所以PO⊥BD.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

因為AO∩PO=O，所以BD⊥平面POA.

（2）如圖2，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標系O-xyz.

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圖2

（i）設(shè)AO∩BD=H. 因為∠DAB=60°，所以△BDC為等邊三角形，故BD=4，HB=2，HC=2■.

又設(shè)PO=x，則OH=2■-x，OA=4■-x，其中0

所以O(shè)（0，0，0），P（0，0，x），B（2■-x，2，0），故■=■-■=（2■-x，2，-x），所以■=■=■，當x=■時，PBmin=■. 此時PO=■，OH=■.

由（1）知，PO⊥平面BFED，所以V四棱錐P-BFED=■·S■·PO=■·■×42-■×2■×■=3.

（ii）設(shè)點Q的坐標為（a，0，c），由（i）知，OP=■，則可得A（3■，0，0），B（■，2，0），D（■，-2，0），P（0，0，■）.

所以■=（a-3■，0，c），■=（-a，0，■-c），因為■=λ■，所以a-3■=-λa，c=■λ-λc？圯a=■，c=■.所以Q■，0，■，所以■=■，0，■.

設(shè)平面PBD的法向量為n=（x，y，z），則n·■=0，n·■=0. 因為■=（■，2，-■），■=（0，-4，0），所以■x+2y-■z=0，-4y=0.取x=1，解得y=0，z=1，所以n=（1，0，1）.

設(shè)直線OQ與平面PBD所成角為θ，則sinθ=cos〈■，n〉=■=■=■=■■=■■.

又因為λ>0，所以sinθ>■. 因為θ∈0，■，所以θ>■.

因此直線OQ與平面E所成的角大于■，即結(jié)論成立.

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如圖3，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E為AB上一點，且3AE=3DC=AB=3■，DE=3，將△AED沿DE折起到△A1ED的位置，使得平面A1ED與平面DEBC所成的二面角為θ.

（1）求證：DE⊥A1B；

（2）當θ∈■，■時，求平面A1DC與平面A1EB所成二面角的值的取值范圍.

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圖3