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向量因兼具數(shù)與形的雙重特征，因此它既是幾何關系的轉譯工具，也是一種運算工具. 它在解析幾何中的運用主要體現(xiàn)在將幾何關系以其獨有的“語言”進行表述；另外，因向量具有坐標形式及其自身的運算法則（如加法、減法、數(shù)量積），使得向量在解決有關長度、角度等問題時具有得天獨厚的優(yōu)勢，歷年高考試題中關于這一點均有體現(xiàn).

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對于經(jīng)向量“包裝”的表述形式，解決辦法是去除其包裝，還原問題的幾何本質；對于涉及垂直、共線、角平分線、距離等問題時可考慮用向量工具來幫忙解決.

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■ 如圖1，已知拋物線C的對稱軸為x軸，且過點A（4，4），F(xiàn)為其焦點，E為點A在x軸上的射影.

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）求∠FAE的角平分線所在的直線l的方程.

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圖1

破解思路 （1）由已知設拋物線的標準方程，求出參數(shù)p，代回即可.

（2）本題有多種解法，但利用向量工具可優(yōu)化求解的過程.

經(jīng)典答案 （1）設拋物線的標準方程為y2=2px（p>0），代入A（4，4），得2p=4，所以求得拋物線C的方程為y2=4x.

（2）（方法一：向量夾角公式）設G（x0，0），■=（-3，-4），■=（0，-4），■=（x0-4，-4），則由cos∠FAG=cos∠EAG，得■=■，代入解得x0=■，故∠FAE的角平分線所在直線的方程為3x-y-8=0.

（方法二：直線方向向量）如圖2，設射線AF的方向向量為e1=■=-■，-■，射線AE的方向向量為e2=■=（0，-1），所以射線AG的方向向量為e=e1+e2=-■，-■. 所以直線AG的斜率為k=■=3，故∠FAE的角平分線所在直線的方程為3x-y-8=0.

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圖2

■ 如圖3，已知點F（a，0）（a>0），動點M，P分別在x，y軸上運動，且■·■=0，動點N滿足■+■=0.

（1）求動點N的軌跡C的方程；

（2）過點F的直線l（不垂直于x軸）與曲線C交于A，B兩點，K是F關于原點的對稱點，求證：點K在以AB為直徑的圓外.

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圖3

破解思路 （1）將向量的表述形式“翻譯”成幾何關系（如題中的■·■=0，■+■=0分別表示垂直、共線幾何關系）.

（2）將幾何關系用向量“語言”進行轉述，利用向量的“特長”優(yōu)化代數(shù)的解題進程（如本題“點K在以AB為直徑的圓外”可表述為“■·■>0”），其中將點及向量進行“坐標化”是解題中必不可少的兩個步驟.

經(jīng)典答案 （1）因為■+■=0，所以點P為MN的中點. 設動點N（x，y），則由題意得M（-x，0），P0，■. 由■·■=0得-x，-■·a，-■=0，整理得y2=4ax（a>0），即為所求動點N的軌跡C的方程.

（2）設直線l：x=my+a（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），則■=（x1+a，y1），■=（x2+a，y2），■·■=（1+m2）y1y2+2am（y1+y2）+4a2 ①.

聯(lián)立x=my+a，y2=4ax消去x得y2-4amy-4a2=0，所以y1+y2=4am，y1y2=-4a2，代入①得■·■=4a2m2>0. 所以點K在以AB為直徑的圓外.

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1. 設直線x=2與雙曲線C：■-y2=1的漸近線相交于點E1，E2，O為坐標原點，任取雙曲線C上的點P，若■=a■+b■（a，b∈R），則（ ）

A. 0

C. a2+b2≥1D. a2+b2≥■

2. 已知橢圓■+■=1和點P（4，1），過點P作直線與橢圓交于點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1>x2）兩點，在線段AB上取一點Q，使■=-■，求Q點的軌跡方程.