張子珍 林 海 楊成全

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

電磁場的普遍規(guī)律總結(jié)為麥克斯韋方程組.在兩種介質(zhì)的分界面上，表征電磁場的麥克斯韋方程組被相應(yīng)的邊值關(guān)系所取代.麥克斯韋方程組微分形式的4個(gè)式子是不獨(dú)立的.在時(shí)諧電磁波傳播時(shí)，邊值關(guān)系的4個(gè)式子也不完全獨(dú)立，而大部分教材只給出了不獨(dú)立的結(jié)果，［1－4］沒有加以證明.近年來，也有許多關(guān)于麥克斯韋方程組以及邊值關(guān)系方面的論文，多數(shù)是討論電磁場在分界面上發(fā)生突變的原因，對(duì)麥克斯韋方程組以及邊值關(guān)系獨(dú)立性分析的較少.［5－7］2005年，山東農(nóng)業(yè)大學(xué)李慧娟教授對(duì)法向邊值關(guān)系的不獨(dú)立性作了證明.［8］2010年，華中師范大學(xué)物理學(xué)院汪德新教授在大學(xué)物理的文章［9］提供了一種邊值關(guān)系不獨(dú)立性的證明.李慧娟教授提出▽＝▽t＋▽n，在計(jì)算散度時(shí)，▽t＋▽n還可以理解，但計(jì)算旋度時(shí)，▽t，▽n分別代表什么？有些困惑.汪德新教授將麥克斯韋方程組的微分形式在分界面的長方體各表面上作了面積分.本文擬從平面波出發(fā)對(duì)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上邊值關(guān)系不獨(dú)立性加以證明.

1 介質(zhì)中麥克斯韋方程組的不獨(dú)立性

介質(zhì)中的麥克斯韋方程組為

2 時(shí)諧電磁波傳播時(shí)麥克斯韋方程組的不獨(dú)立性

在很多實(shí)際情況下，電磁波的激發(fā)源往往以大致確定的頻率做正弦振蕩，因而輻射出來電磁波也以相同的頻率做正弦振蕩.這種以一定頻率做正弦振蕩的波就是時(shí)諧電磁波.其電磁場對(duì)時(shí)間的依賴關(guān)系是E（x，t）＝E（x）e－iωt，B（x，t）＝B（x）e－iωt，即使不是單色波，也可以用傅里葉級(jí)數(shù)分解為不同頻率的正弦波的疊加.線性均勻介質(zhì)有D＝εE，B＝μH.麥克斯韋方程組變?yōu)?/p>

很顯然，該方程組是不獨(dú)立的，從（5）、（7）式可導(dǎo)出第（6）、（8）式.

3 邊值關(guān)系的獨(dú)立性分析

當(dāng)電磁波在兩種不同介質(zhì)的分界面上傳播時(shí)，麥克斯韋方程組被相應(yīng)的邊值關(guān)系所取代，兩介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系如下

時(shí)諧電磁波傳播時(shí)，邊值關(guān)系的4個(gè)式子也是不獨(dú)立的.下面從平面波出發(fā)對(duì)兩種絕緣介質(zhì)分界面上邊值關(guān)系的不獨(dú)立性加以證明.

在兩種絕緣介質(zhì)的分界面上邊值關(guān)系為

圖1

第1種介質(zhì)和第2種介質(zhì)中傳播的都 是 平 面 波，即E（r，t）＝E0ei（k·r－ωt），H（r，t）＝H0ei（k·r－ωt），分兩種情況來考慮.

3.1 E⊥入射面

兩邊用單位法矢量點(diǎn)乘，得

將此式運(yùn)用在分界面附近的第1種介質(zhì)與第2種介質(zhì)中，并相減，得

E平行于界面，故得

即B2n－B1n＝0成立時(shí)，E2t－E1t＝0成立.也就是·（B2－B1）＝0成立時(shí)，×（E2－E1）＝0成立.

在圖1中，D2n＝0，D1n＝0.

3.2 E∥入射面

如圖2，可得

圖2

將此式用到分界面處的兩種介質(zhì)中，并相減得

即D2n－D1n＝0成立時(shí)，H2t－H1t＝0成立.

也就是說·（D2－D1）＝0成立時(shí)×（H2－H1）＝0成立.

在圖2中，B2n＝0，B1n＝0.

4 結(jié)束語

麥克斯韋方程組的微分形式是不獨(dú)立的.邊值關(guān)系也不完全獨(dú)立.在時(shí)諧電磁波傳播時(shí)，邊值關(guān)系的4個(gè)式子只有兩個(gè)是獨(dú)立的，一般來說只考慮兩個(gè)切向分量即可.

1 郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2008.06.

2 楊世平，張波，李敬林等.電動(dòng)力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2010.02.

3 梁紹榮，王雪君.電動(dòng)力學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1986.10.

4 蔡圣善，朱耘，徐建軍.電動(dòng)力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1984.04.

5 江孟蜀.電磁場邊值關(guān)系的物理起源探討［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，22（1）：20－21.

6 黃鳳.電磁場邊值關(guān)系的討論［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，18（2）：126－128.

7 夏從新，危書義.電磁場切向邊值關(guān)系的討論［J］.大學(xué)物理，2010，29（1）：21－22.

8 李慧娟.麥克斯韋方程和法向邊界條件的非獨(dú)立性［J］.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，36（2）：455－457.

9 汪德新.理想導(dǎo)體與均勻絕緣介質(zhì)界面上邊值關(guān)系獨(dú)立性的討論［J］.大學(xué)物理，2010，29（1）：34－35.