馮昌林，羅 榮，劉 輝

（1.海軍裝備研究院，北京 100161；2.海軍工程大學兵器工程系，湖北武漢 430033；3.海南省軍區(qū)軍械修理所，海南定安 571231）

巴特沃斯小波在軸承早期故障診斷中的應用

馮昌林1，羅 榮2，劉 輝3

（1.海軍裝備研究院，北京 100161；2.海軍工程大學兵器工程系，湖北武漢 430033；3.海南省軍區(qū)軍械修理所，海南定安 571231）

設計了基于巴特沃斯數(shù)字濾波器的巴特沃斯小波及其濾波器組，并從小波的卷積型定義出發(fā)，利用零相位濾波原理實現(xiàn)了沒有下抽樣環(huán)節(jié)的具有零相位特性的巴特沃斯小波變換快速算法，成功消除濾波器的非線性相位對分解結(jié)果的影響。相對于常用正交小波濾波器組，巴特沃斯小波濾波器組不僅具有更好的頻帶分離特性，還可通過改變尺度參數(shù)來改變對信號的頻帶劃分的方式，從而將原信號高頻帶分解在更精細的頻帶范圍內(nèi)，克服了常用正交小波濾波器組頻帶分離特性不夠好，并總按二進方式劃分頻帶、頻率分析精度顯得不足的固有缺陷。實例分析證明：巴特沃斯小波濾波器組相比于其他常用的正交小波濾波器組具有更好的頻帶分離特性和更強的微弱故障特征提取能力，非常適合于軸承早期故障診斷。

故障診斷；巴特沃斯小波；包絡解調(diào)；軸承

小波分析是近些年才廣泛應用于振動信號處理的時頻分析方法。它能同時提供振動信號的時域和頻域的局部化信息，具有多尺度和“數(shù)學顯微”特性，這使得小波分析非常適合于機械故障特征的提?。?］。在機械故障診斷領域所用的小波變換通常采用經(jīng)典的離散正交小波變換，并利用著名的Mallat算法實現(xiàn)其快速運算。然而，Mallat算法存在下采樣環(huán)節(jié)，分解的長度隨分解層數(shù)的增加而依次減半，時間分辨率越來越低，導致信號失真，難以提供準確的頻域局部化信息，不利于機械故障信號的特征提取。若用Mallat算法分解之后再對感興趣的頻帶進行單支重構(gòu)，不僅增加了計算量［2］，還會使信號產(chǎn)生畸變；同時，Mallat算法分解后的各個子帶的重構(gòu)信號是存在頻率混疊的，并不是原信號的真實分量［3］，這極大地影響了分析結(jié)果的可讀性，頻率混疊嚴重時還會造成誤判；最后，經(jīng)典離散正交小波對應的濾波器組是共軛正交濾波器組，其對信號的頻帶總是按二進方式劃分，缺乏靈活性，且僅相當于振動和噪聲信號分析中的1／1頻程分析，對高頻段的頻帶劃分非常粗糙，頻率分辨率較低，對提取高頻段的故障特征很不利。

為了更好地將小波變換應用到機械故障診斷中，首先應該設計幅頻特性好（即幅頻響應具有陡峭的頻率截止特性）且截止頻率可以隨尺度變化而改變的功率互補小波濾波器組。從理論上講，與常用的db小波、雙正交小波等FIR濾波器相比，IIR濾波器具有更好的阻帶衰減，用較低的階數(shù)就可以獲得比高階FIR濾波器更好的幅頻特性，可以構(gòu)造出幅頻特性更好的小波濾波器組［4］；另外，使用IIR濾波器可以方便實現(xiàn)對頻帶劃分方式更加靈活的小波變換，克服經(jīng)典離散小波濾波器組總按1／1頻程分析信號的不足。其次應該摒棄經(jīng)典的Mallat算法，采取沒有下抽樣環(huán)節(jié)的離散小波變換算法。文獻［5］研究的卷積小波變換快速算法，文獻［6-7］研究的非抽樣小波變換等均是沒有下抽樣環(huán)節(jié)小波變換算法。筆者直接從小波的卷積型定義出發(fā)，利用功率互補巴特沃斯濾波器組和零相位濾波原理實現(xiàn)了另外一種沒有下抽樣環(huán)節(jié)、具有零相位特性、且頻帶劃分方式更加靈活的巴特沃斯小波變換，并驗證了零相位巴特沃斯小波變換在實際故障診斷中的有效性。

1 巴特沃斯小波及其濾波器組的設計

從小波的卷積定義出發(fā)，對尺度參數(shù)s和時間參數(shù)t離散化，得到的離散小波變換的計算公式為

取不同尺度sj的展縮小波ψsj（n）與信號x（n）進行卷積，就可得到信號的各階小波系數(shù)。由于每個展縮小波是一個隨尺度增大，中心頻率向低頻方向移動，頻域窗寬減小的帶通濾波器，所以小波變換的實質(zhì)是由展縮小波系｛ψsj（n）｝構(gòu)成的濾波器組對信號進行多頻帶分解。又由于｛ψsj（n）｝構(gòu)成的濾波器組的頻率通帶是由高至低連續(xù)分布的，在實際應用中為減少計算量，小波分解可采用基于濾波器組的遞歸分解形式實現(xiàn)，如圖1所示。實現(xiàn)小波變換的關鍵是尋找一組截止頻率隨尺度變化的且功率互補的濾波器組｛Hj（ω），Gj（ω）｝，即滿足下列條件的｛Hj（ω），Gj（ω）｝：

｜Hj（ω）｜2＋｜Gj（ω）｜2＝1，且ω＜ωj時，｜Gj（ω）｜2＝0；ω≥ωj時，｜Gj（ω）｜2＝1。

功率互補的巴特沃斯濾波器組設計已有成熟的理論［8］，其與db30小波對頻帶的劃分比較如圖2所示。

由圖2可知，20階巴特沃斯小波濾波器組的幅頻響應具有更陡峭的頻率截止特性，其可以通過改變?yōu)V波器組的階數(shù)調(diào)整頻率截止特性，抑制濾波器組中的頻帶重疊現(xiàn)象，因此頻帶分離能力比db30小波好，更適于微弱故障特征的提??；同時巴特沃斯小波還可以根據(jù)信號特點靈活選擇尺度參數(shù)來改變頻帶劃分方式，當尺度參數(shù)選為2j／3時，巴特沃斯小波濾波器組對高頻段頻帶的劃分比db30小波濾波器組的二進劃分更為精細，克服了二進方式劃分頻帶的不足，特別適合于高頻段故障特征的提取。

2 零相位巴特沃斯小波變換快速算法

圖1是小波分解的遞歸分解形式，若圖1中的濾波器組為巴特沃斯小波濾波器組，則可得巴特沃斯小波變換的快速算法：

式中：Sj（n）為尺度j上的近似信號；Wj（n）為尺度j上的細節(jié)信號；hj（n），gj（n）為巴特沃斯小波濾波器組；J為最大分解尺度。遞推計算的初值為S0（n）＝x（n）。

由于巴特沃斯濾波器的非線性相位，經(jīng)巴特沃斯小波變換得到的各級小波分量產(chǎn)生的相移隨所處頻帶不同而不同，給判斷各級小波分量中的模極大值點或過零點帶來了麻煩；而且即使是同一尺度上的小波分量，由于存在一個帶寬，該帶寬范圍內(nèi)的不同頻率成分也會有不同的相移，從而使小波分量產(chǎn)生一定程度的畸變。對一般的小波變換而言，如果小波函數(shù)的形狀不是對稱的，也會存在這樣的問題［9］。解決這一問題的方法是采用零相位濾波。零相位濾波的原理很簡單，將一個濾波器H（z）和它的逆濾波器H（z-1）串聯(lián)就可以形成零相位濾波［10］。為了消除相位延遲對小波分量的影響，利用零相位濾波原理得到的具有零相位巴特沃斯小波變換快速算法為

式中rh（n）、rg（n）分別為hj（n）、gj（n）的自相關函數(shù)。

3 巴特沃斯小波與其他小波的頻帶分離特性比較

用一個故障軸承內(nèi)圈故障的振動信號（如圖3所示）來比較20階巴特沃斯小波和db30小波對信號的頻帶分離特性。分別采用20階巴特沃斯小波（采用零相位濾波快速算法）和db30小波對信號分解至第3層。為便于比較兩者的頻帶分離特性，巴特沃斯小波也采用二進劃分的方式進行分解，即尺度參數(shù)取為2j。這樣巴特沃斯小波和db30小波均得到以下4個頻帶：W1（理想頻率范圍：3～6 kHz）、W2（理想頻率范圍：1.5～3kHz）、W3（理想頻率范圍：0.75～1.5kHz）和S3（理想頻率范圍：0～0.75kHz），結(jié)果分別如圖4和圖5所示。

由圖可知，db30小波分解得到的相鄰頻帶頻率范圍均有較大重合，巴特沃斯小波分解得到的各子帶頻率范圍的重疊比db30小波分解得到的各子帶要小得多，基本上達到了對頻帶的理想二進劃分，這對微弱故障特征提取是有利的?？梢?，低階的巴特沃斯小波頻帶分離特性明顯優(yōu)于高階的db系列小波。

圖6為采用未進行零相位濾波處理的巴特沃斯小波變換快速算法（見式2）對圖3信號進行3層分解的結(jié)果。

由圖6可知，各頻帶開始部分有一段值恒為零，且其長度隨層數(shù)的增加而增加，這表明未進行零相位濾波處理的巴特沃斯小波變換快速算法得到的各頻帶，均存在較大的相位延遲，且層數(shù)越大，相位延遲也越大。由圖5可知，采用零相位巴特沃斯小波變換快速算法得到各子帶不存在任何相位延遲，因此零相位巴特沃斯小波變換快速算法確實實現(xiàn)了零相位濾波，避免了巴特沃斯小波非線性相位導致的小波分量畸變，可以克服相位延遲給故障特征提取帶來的不利影響，較好地解決小波的正交性與對稱性不能同時滿足的矛盾。

4 巴特沃斯小波在軸承早期故障特征提取中的應用實例

滾動軸承的滾動體既有自轉(zhuǎn)又有公轉(zhuǎn)，并且它的早期故障沖擊信號傳至傳感器的過程中所受的干擾比其他元件多得多，因此滾動體早期故障特征比其他元件更加微弱，提取也更加困難［11］。

筆者就利用滾動軸承滾動體早期故障振動信號來分析比較20階巴特沃斯小波與db40小波對軸承早期故障特征提取的效果。

實驗數(shù)據(jù)來源于文獻［12］中軸承故障模擬實驗臺，圖7為滾動體早期故障的時域振動信號及其頻譜，分別用兩種小波對該信號進行分解的結(jié)果如圖8和圖9所示。從圖中可以看出，巴特沃斯小波分解得到的子帶W3中出現(xiàn)了比較清晰的等間隔的沖擊特征，其沖擊時間發(fā)生間隔為8.8ms，即對應于故障特征頻率114Hz。

這表明巴特沃斯小波已提取到隱藏在強噪聲和其他干擾背景下的滾動體微弱故障特征。但db40小波分解得到的各個子帶均沒有出現(xiàn)這種現(xiàn)象，這就說明巴特沃斯小波對微弱故障特征的提取能力要強于db40小波。

圖10為db40小波分解與巴特沃斯小波分解的各子帶的包絡譜比較。從圖中可以看出，db40小波分解的各子帶信號的包絡譜中看不見滾動體故障特征頻率114Hz的存在，而巴特沃斯小波分解的W3、W4子帶信號的包絡譜中，可以很清晰的看見滾動體故障特征頻率114.3Hz，這進一步說明了巴特沃斯小波對微弱故障特征的提取能力要強于db40小波。

通過以上的滾動體早期故障特征的提取效果比較，可知巴特沃斯小波有非常強的微弱故障特征提取能力，非常適合于機械早期故障診斷。巴特沃斯小波對滾動體早期故障特征的提取效果優(yōu)于db40小波的原因，除了巴特沃斯小波濾波器擁有優(yōu)良的頻帶分離特性外，更主要的是巴特沃斯小波可以根據(jù)信號的特點靈活地選擇尺度參數(shù)來將原信號高頻帶分解在更精細的頻帶范圍內(nèi)。在本次故障特征提取效果比較中，db40小波用尺度參數(shù)2j進行分解，其分析精度相當于1／1倍頻程，而巴特沃斯小波選用尺度參數(shù)2j／6進行分解，其分析精度相當于1／6倍頻程。對比圖8與圖9可知，db40對高頻頻帶的分解精度太低，幾乎將其全部分解在W1、W2子帶中，這樣W1、W2子帶的包絡中必定混入較多的噪聲和干擾以致它們包絡譜中的滾動體故障特征頻率淹沒在噪聲和干擾中而無法辨識；而巴特沃斯小波將軸承振動信號的高頻頻帶進行了相當高精度的分解，將其分解為W1、W2、W3和W44個頻帶，這樣把含有噪聲和干擾較少而含故障沖擊信號所調(diào)制的高頻固有振動信號較多的高頻子帶W3、W4分離出來，因此W3、W4子帶的包絡譜中就明顯出現(xiàn)滾動體的故障特征頻率。

5 結(jié) 論

1）設計了基于巴特沃斯數(shù)字濾波器的巴特沃斯小波及其濾波器組。該濾波器組可以通過改變其階數(shù)方便地調(diào)整其頻率截止特性，從而抑制頻帶重疊現(xiàn)象，還可通過改變尺度參數(shù)來改變對信號的頻帶劃分的方式從而將原信號高頻帶分解在更精細的頻帶范圍，因此巴特沃斯小波克服了通常正交小波幅頻特性不好，并且總按二進方式劃分頻帶以致高頻帶頻率分析精度不足的缺陷。

2）提出了零相位巴特沃斯小波快速分解算法，成功消除分解過程中存在相位延遲，克服了非線性相位給故障特征提取帶來的不利影響。

3）通過頻帶分離特性比較實例證實了巴特沃斯小波比其他常用的一些正交小波具有更好的頻帶分離特性。通過軸承滾動體早期故障特征提取效果的對比分析證明巴特沃斯小波比其他一些常用的正交小波有更強的微弱故障特征提取能力。除了擁有優(yōu)良的頻帶分離特性外，更主要的是巴特沃斯小波可以根據(jù)信號的特點靈活地選擇尺度參數(shù)來將原信號分解在更精細的頻帶范圍內(nèi)，因此，巴特沃斯小波具有更強的微弱特征提取能力，可以廣泛應用于機械早期故障診斷。

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Application of Butterworth Wavelet in Bearing Incipient Fault Diagnosis

FENG Changlin1，LUO Rong2，LIU Hui3

（1.Naval Academy of Armament，Beijing 100161，China；2.Department of Weaponry Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，Hubei，China；3.Ordnance Repairing Department，Hainan Province Military District，Ding’an 571231，Hainan，China）

The Butterworth wavelet and its filter banks based on Butterworth digital filter were designed.The fast algorithm of the Butterworth wavelet transform was established from the viewpoint of the convolution definition of the wavelet by use of the Butterworth wavelet filter banks and zero-phase filter.The effect of nonlinear phase on the decomposition result was overcome in the fast algorithm.Compared with the other orthogonal wavelets filter banks，Butterworth wavelet filter banks not only have better band separation capability，but also can change band separation mode by means of changing the scale to decompose the signal into the smaller frequency range.As a result，the filter banks overcome the inherent defect that orthogonal wavelets filter banks separate the band only by use of the dyadic mode.The instance analysis to the incipient fault data showed that，compared with the other orthogonal wavelet，the Butterworth wavelet possesses the better band separation characteristics and can extract the weaker fault feature more effectively.Thus the Butterworth wavelet can widely apply to the bearing incipient fault diagnosis.

fault diagnosis；Butterworth wavelet；envelope demodulation；bearing

TH165

A

1673-6524（2014）02-0076-07

2013-08-12；

2013-12-30

馮昌林（1983-），男，博士，工程師，主要從事艦炮彈藥武器論證與研究。E-mail：fcl＿325＠126.com