石殿祥

馬丁·加德納的“六根火柴”題目

在開(kāi)始這個(gè)游戲題目之前，馬丁·加德納先講解了拓?fù)鋵W(xué)上等價(jià)圖形的基本概念，其大意為，假想火柴是一根橡皮筋，可以隨意加工，包括轉(zhuǎn)個(gè)彎，之后再放回桌面上，即經(jīng)過(guò)一系列加工后，它由一個(gè)圖形變成了另一個(gè)，若連通性沒(méi)有變化，這兩個(gè)圖形就稱(chēng)之為拓?fù)鋵W(xué)上的等價(jià)圖形。比如三角形、圓形、方形，其大小、形狀雖然不同，但在拓?fù)渥儞Q下，它們都是等價(jià)圖形。

游戲題目

請(qǐng)問(wèn)6根火柴在平面上到底可以排出多少個(gè)“拓?fù)鋵W(xué)上的不等價(jià)圖形”？要記住，每根火柴不可折斷，也都等長(zhǎng);既不能彎又拉不長(zhǎng)，不可重疊，只可以在兩端相碰。

在這種規(guī)則下，6根火柴究竟能排出多少種不等價(jià)圖形呢？馬丁·加德納給出的答案：19種。

發(fā)現(xiàn)原答案中沒(méi)包括的變化

我是個(gè)愛(ài)鉆牛角尖的人，很少直接接受一個(gè)現(xiàn)成的結(jié)論，總是喜歡自己驗(yàn)證或者修改它們。我仔細(xì)觀察了這19個(gè)圖形，找到了一些與它們不同的新的不等價(jià)圖形，原來(lái)，“六根火柴”還有被隱藏的變化。進(jìn)而我想：馬丁·加德納的枚舉既然沒(méi)能窮盡全部可能的圖形，是否存在一種能夠窮盡所有圖形的方法？如何保證一種方法真的窮盡了所有的圖形？

為了避開(kāi)拓?fù)鋵W(xué)、圖論之類(lèi)艱深的概念和術(shù)語(yǔ)，在這里先定義一些與本題目有關(guān)的詞語(yǔ)（雖然不太規(guī)范，但是有助于說(shuō)明和解釋?zhuān)悍Q(chēng)每根火柴為邊;火柴（頭或尾）相碰的點(diǎn)稱(chēng)為結(jié)點(diǎn);結(jié)點(diǎn)上連接的邊的數(shù)目稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)的階次;從一個(gè)結(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著邊可以到達(dá)另一個(gè)結(jié)點(diǎn)，如果能夠返回到出發(fā)的結(jié)點(diǎn)，則稱(chēng)這樣的路由為環(huán)，如果環(huán)的內(nèi)部存在像對(duì)角線(xiàn)一類(lèi)的邊，也就是說(shuō)回到出發(fā)點(diǎn)的路由可以歷經(jīng)較少的邊，稱(chēng)為多環(huán)，否則稱(chēng)為單環(huán)。如圖：

為了能夠窮盡全部圖形，我們從考查結(jié)點(diǎn)總數(shù)入手。對(duì)于6根火柴來(lái)說(shuō)，顯然結(jié)點(diǎn)總數(shù)不會(huì)超過(guò)6，因此按照結(jié)點(diǎn)數(shù)多少分類(lèi)，就不會(huì)多于6類(lèi)。顯然單環(huán)總數(shù)只能為0，1，2。對(duì)于多環(huán)，當(dāng)火柴根數(shù)為6時(shí)，只存在1個(gè)多環(huán)，可以把這個(gè)多環(huán)分解成共享一條（比如紅色）邊的2個(gè)單環(huán)來(lái)計(jì)數(shù)。統(tǒng)計(jì)出各個(gè)類(lèi)別中互不相同的圖形數(shù)目，累加起來(lái)就是全部圖形的數(shù)目。

此外，還要給出一個(gè)關(guān)于邊的計(jì)數(shù)公式，對(duì)于M根火柴問(wèn)題

：其中：M為火柴的根數(shù)，本題M=6，k表示結(jié)點(diǎn)總數(shù)，L表示單環(huán)總數(shù)。 表示對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)的階次作累加，但這種累加顯然包含了關(guān)于邊的重復(fù)計(jì)數(shù)。①連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的邊在兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的階次統(tǒng)計(jì)中都被計(jì)算，因此多統(tǒng)計(jì)了K-1次;②對(duì)于單環(huán)出發(fā)結(jié)點(diǎn)與到達(dá)結(jié)點(diǎn)是同一個(gè)結(jié)點(diǎn)，顯然增加了該結(jié)點(diǎn)關(guān)于邊的計(jì)數(shù)，所以要減去L個(gè)單環(huán)的計(jì)數(shù)L。如此分析，說(shuō)明這個(gè)公式是成立的。在完成以上的分析后我給出的解答如下：

因此這個(gè)問(wèn)題的解答是：有28種不同的圖形！這里不再列出馬丁·加德納遺漏的9種圖形了（綠色）。上面給出的方法對(duì)M>6（或M<6）的情況同樣也是適用的。對(duì)一個(gè)小游戲的解答，展現(xiàn)了一個(gè)由枚舉、猜想到懷疑、考證的求索過(guò)程。提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要，因?yàn)樘岢鲂碌膯?wèn)題、新的可能性，從新的角度看舊問(wèn)題，需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。

（責(zé)任編輯/李靜敏）