專題策劃：巧解立體幾何題得滿分

編者按：平時(shí)在與高三學(xué)生通過面對(duì)面、電話、網(wǎng)絡(luò)、信件交流時(shí)得知，立體幾何解答題在高考試卷中屬于中等難度的題目，平時(shí)練習(xí)的立體幾何解答題的難度稍高于高考中的立體幾何解答題的難度，因此高考中的立體幾何解答題很容易得滿分.然而事實(shí)上，近兩年我們與高考閱卷老師交流后得知，學(xué)生在解答立體幾何解答題時(shí)丟分現(xiàn)象嚴(yán)重.其實(shí)，高考立體幾何解答題考查的知識(shí)點(diǎn)就是有數(shù)的幾個(gè)，掌握了它們，不想得滿分都難，關(guān)鍵在于你是否真正掌握了它們.

一、平行問題

1.直線與直線平行

策略：要證明直線a∥直線c，只要先找到直線b，證明a∥b且b∥c即可.

例1 如圖1所示，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH.求證：AB∥GH.

難度系數(shù) 0.60

分析 由AB∥EF，EF∥GH，可知AB∥GH.

證明 在△APQ中，D，E分別是AQ，AP的中點(diǎn)，則G是△APQ的重心，于是有 =2.同理有 =2.所以 = ，即GH∥EF.

又EF是△PAB的中位線，所以AB∥EF.

綜上可知AB∥GH.

小結(jié) 三角形的重心分中線為2∶1兩部分.三角形的中位線平行于底邊，且等于底邊的一半.

2.直線與平面平行

策略：平面α外的一條直線a，如果與平面α內(nèi)的一條直線b平行，那么a∥α.

例2 如圖2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)，AA1=AC=CB= ·AB.證明：BC1∥平面A1DC.

難度系數(shù) 0.65

分析 要證明直線與平面平行，只要證明直線與直線平行或者將其轉(zhuǎn)化為證明向量的數(shù)量積為零即可.

證明 （證法1）連接AC1交A1C于點(diǎn)F，連接DF.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由AA1=AC，可知四邊形ACC1A1為正方形，故F為AC1的中點(diǎn).在△ABC1中，由于D為AB的中點(diǎn)，所以DF∥BC1.

由于DF？奐平面A1DC，BC1？埭平面A1DC，所以BC1∥平面A1DC.

（證法2）設(shè)平面A1DC的法向量為n=（a，b，c），則有n· =0，n· =0.

由于 =（- ，0，- ）， =（ ， ，0），所以- a- c=0， a+ b=0. 于是b=c=-a.

取n=（1，-1，-1），由于 =（0，- ， ），n· =0，所以n⊥ ，從而有BC1 ∥平面A1DC.

小結(jié) 用待定系數(shù)法確定平面的一個(gè)法向量n，再證明n⊥ ，這是理科考生要掌握的方法.

3.平面與平面平行

策略：要證明平面與平面平行，我們只要先證明其中一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行即可.

例3 如圖3所示，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn).

求證：平面EFG∥平面ABC.

難度系數(shù) 0.65

分析 欲證面面平行，先證線面平行，由中點(diǎn)找中點(diǎn)，用三角形中位線的性質(zhì)解答.

證明 由于AS=AB，AF⊥SB，所以點(diǎn)F為SB的中點(diǎn).由于E，G分別是SA，SC的中點(diǎn)，所以EF∥AB，EG∥AC.所以EF∥平面ABC，EG∥平面ABC.

又EF∩EG=E，所以平面EFG∥平面ABC.

小結(jié) 將證明平面與平面平行轉(zhuǎn)化為證明直線與平面平行，將證明直線與平面平行轉(zhuǎn)化為證明直線與直線平行，這體現(xiàn)了立體幾何證明題的“降維思想”.

二、垂直問題

1.直線與直線垂直

策略：由直線與平面垂直，可知直線與該平面內(nèi)的任意直線垂直.另外，也可用向量的數(shù)量積為零來證明.

例4 如圖4所示，四棱錐P-ABCD 的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°.已知PB=PD=2，PA= .證明：BD⊥PC.

難度系數(shù) 0.60

分析 要證明BD⊥PC，可先證明BD⊥平面APC或證明 · =0.

證明 （證法1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接PO.

由于底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO=DO.由于PB=PD，所以PO⊥BD.

又PO∩AC=O，所以BD⊥平面APC，即BD⊥PC.

（證法2）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接PO.

由于底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.由于PB=PD，O為BD的中點(diǎn)，所以PO⊥BD.

由于 · = ·（ + ）= · + · =0，所以 ⊥ ，于是有BD⊥PC.

（證法3）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接PO.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B所在的直線為x軸，以O(shè)C所在的直線為y軸，以O(shè)P所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

由題設(shè)易知△PBD和△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，于是可知B（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0， ），C（0， ，0），從而有 =（-2，0，0）， =（0， ，- ）.

由于 · =-2×0+0× +0×（- ）=0，所以 ⊥ ，即BD⊥PC.

小結(jié) 如果直線與平面垂直，那么直線與該平面內(nèi)的任意直線都垂直.

2.直線與平面垂直

策略：要證明直線與平面垂直，只要先證明直線與該平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可.

例5 如圖5所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB =AA1= .證明：A1C⊥平面BB1D1D.

難度系數(shù) 0.60

分析 找出線段B1D1的中點(diǎn)為E1，先證明A1C⊥BD，A1C⊥E1O，然后結(jié)論得證.

證明 由于A1O⊥平面ABCD，且BD？奐平面ABCD，所以A1O⊥BD.

在正方形ABCD中，由于AC⊥BD，且A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC.又A1C？奐平面A1AC，所以A1C⊥BD.

在正方形ABCD中，AO=1； 在Rt△A1OA中，A1O=1.

設(shè)B1D1的中點(diǎn)為E1，則四邊形A1OCE1為正方形，所以A1C⊥E1O.

又BD？奐平面BB1D1D，E1O？奐平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以A1C⊥平面BB1D1D.

小結(jié) 從圖形里的“中點(diǎn)”，再找一個(gè)“中點(diǎn)”，作出輔助線，這是經(jīng)常采用的方法，值得琢磨、反思.

3.平面與平面垂直

策略：要證明平面與平面垂直，只要證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線即可.

例6 如圖6所示，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn).求證：平面PAC⊥平面PBC.

難度系數(shù) 0.65

分析 從半圓上的圓周角是直角入手，證明BC⊥平面PAC.

證明 由AB是圓的直徑，可得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC？奐平面ABC，可得PA⊥BC.

又PA∩AC=A，PA？奐平面PAC，AC？奐平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

由于BC？奐平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.

小結(jié) 本題是教材中的經(jīng)典題目，也是1995年全國(guó)高考考查過的題型.看來，抓教材中的典型題目和往年的高考真題，對(duì)提高復(fù)習(xí)效率是很有益處的.

安振平，陜西省特級(jí)教師，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽高級(jí)教練員.先后擔(dān)任全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究會(huì)常務(wù)理事，全國(guó)不等式研究會(huì)理事，陜西省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)常務(wù)理事.已在50多種刊物上發(fā)表文章百余篇，主編高考、中考、競(jìng)賽圖書20種.閱讀他的其他文章，請(qǐng)點(diǎn)擊《高中生》·高考網(wǎng).

（責(zé)任編校/周峰）

例5 如圖5所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB =AA1= .證明：A1C⊥平面BB1D1D.

難度系數(shù) 0.60

分析 找出線段B1D1的中點(diǎn)為E1，先證明A1C⊥BD，A1C⊥E1O，然后結(jié)論得證.

證明 由于A1O⊥平面ABCD，且BD？奐平面ABCD，所以A1O⊥BD.

在正方形ABCD中，由于AC⊥BD，且A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC.又A1C？奐平面A1AC，所以A1C⊥BD.

在正方形ABCD中，AO=1； 在Rt△A1OA中，A1O=1.

設(shè)B1D1的中點(diǎn)為E1，則四邊形A1OCE1為正方形，所以A1C⊥E1O.

又BD？奐平面BB1D1D，E1O？奐平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以A1C⊥平面BB1D1D.

小結(jié) 從圖形里的“中點(diǎn)”，再找一個(gè)“中點(diǎn)”，作出輔助線，這是經(jīng)常采用的方法，值得琢磨、反思.

3.平面與平面垂直

策略：要證明平面與平面垂直，只要證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線即可.

例6 如圖6所示，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn).求證：平面PAC⊥平面PBC.

難度系數(shù) 0.65

分析 從半圓上的圓周角是直角入手，證明BC⊥平面PAC.

證明 由AB是圓的直徑，可得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC？奐平面ABC，可得PA⊥BC.

又PA∩AC=A，PA？奐平面PAC，AC？奐平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

由于BC？奐平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.

小結(jié) 本題是教材中的經(jīng)典題目，也是1995年全國(guó)高考考查過的題型.看來，抓教材中的典型題目和往年的高考真題，對(duì)提高復(fù)習(xí)效率是很有益處的.

安振平，陜西省特級(jí)教師，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽高級(jí)教練員.先后擔(dān)任全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究會(huì)常務(wù)理事，全國(guó)不等式研究會(huì)理事，陜西省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)常務(wù)理事.已在50多種刊物上發(fā)表文章百余篇，主編高考、中考、競(jìng)賽圖書20種.閱讀他的其他文章，請(qǐng)點(diǎn)擊《高中生》·高考網(wǎng).

（責(zé)任編校/周峰）

例5 如圖5所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB =AA1= .證明：A1C⊥平面BB1D1D.

難度系數(shù) 0.60

分析 找出線段B1D1的中點(diǎn)為E1，先證明A1C⊥BD，A1C⊥E1O，然后結(jié)論得證.

證明 由于A1O⊥平面ABCD，且BD？奐平面ABCD，所以A1O⊥BD.

在正方形ABCD中，由于AC⊥BD，且A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC.又A1C？奐平面A1AC，所以A1C⊥BD.

在正方形ABCD中，AO=1； 在Rt△A1OA中，A1O=1.

設(shè)B1D1的中點(diǎn)為E1，則四邊形A1OCE1為正方形，所以A1C⊥E1O.

又BD？奐平面BB1D1D，E1O？奐平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以A1C⊥平面BB1D1D.

小結(jié) 從圖形里的“中點(diǎn)”，再找一個(gè)“中點(diǎn)”，作出輔助線，這是經(jīng)常采用的方法，值得琢磨、反思.

3.平面與平面垂直

策略：要證明平面與平面垂直，只要證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線即可.

例6 如圖6所示，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn).求證：平面PAC⊥平面PBC.

難度系數(shù) 0.65

分析 從半圓上的圓周角是直角入手，證明BC⊥平面PAC.

證明 由AB是圓的直徑，可得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC？奐平面ABC，可得PA⊥BC.

又PA∩AC=A，PA？奐平面PAC，AC？奐平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

由于BC？奐平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.

小結(jié) 本題是教材中的經(jīng)典題目，也是1995年全國(guó)高考考查過的題型.看來，抓教材中的典型題目和往年的高考真題，對(duì)提高復(fù)習(xí)效率是很有益處的.

安振平，陜西省特級(jí)教師，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽高級(jí)教練員.先后擔(dān)任全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究會(huì)常務(wù)理事，全國(guó)不等式研究會(huì)理事，陜西省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)常務(wù)理事.已在50多種刊物上發(fā)表文章百余篇，主編高考、中考、競(jìng)賽圖書20種.閱讀他的其他文章，請(qǐng)點(diǎn)擊《高中生》·高考網(wǎng).

（責(zé)任編校/周峰）