劉勝林

一、利用平面向量的數(shù)量積運算求解參數(shù)值

平面向量數(shù)量積是平面向量中的一大有力武器.利用向量的數(shù)量積及線性運算來建立參數(shù)的方程，進而求其參數(shù)，是求解與向量有關(guān)的參數(shù)取值的一種重要手段.

例1 （2013年高考全國新課標Ⅰ卷理科卷第13題）已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c=ta+（1-t）b.若b·c=0，則t=____.

解 由b·c=0，可知b·[ta+（1-t）b]=0，即ta·b+（1-t）b2=0.又向量a，b均為單位向量，且夾角為60°，所以a·b=1×1·cos 60°= ，b2=|b|2=1.所以 t+1-t=0，解得t=2.

小結(jié) 本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義及向量的線性運算.

例2 （2013年高考山東理科卷第15題）已知向量 與 的夾角為120°，且| |=3，| |=2.若 =λ + ，且 ⊥ ，則實數(shù)λ的值為____.

解 依題意可知 · =0，又 =λ + ， = - ，從而有 · =（λ + ）·（ - ）= 2+（λ-1） · -λ 2.由于| |=3，| |=2，< ， >=120°，所以 2=| |2=4， 2=| |2=9， · =3×2·cos 120°=-3.所以4-3（λ-1）-9λ=0，解得λ= .

小結(jié) 用已知向量 ， （已知模、夾角）來線性表示 是求解本題的切入點，而隨后利用 ⊥ 等價于 · =0及平面向量的線性運算來構(gòu)建關(guān)于λ的方程，使得問題的求解水到渠成.

二、合理設(shè)置基底，利用平面向量的基本定理求解

由平面向量的基本定理可知：平面內(nèi)的任一向量都可以用同一平面內(nèi)的不共線的兩個向量（基底）唯一表示.因此，若能合理設(shè)置基底，則利用平面向量基本定理即可將向量的線性運算轉(zhuǎn)化到這組基上來，從而使問題的處理簡單明了.

例3 （2013年高考全國新課標Ⅱ卷理科卷第13題）已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則 · =____.

解 我們注意到ABCD為正方形，為此不妨選取向量的基底為 ， ，則 · =0，| |= | |=2， = - ， = + ，從而有 · =（ + ）·（ - ）= 2- · - 2 = 2.

小結(jié) 本題也可通過建立平面直角坐標系，將相關(guān)向量坐標化，最后利用向量數(shù)量積的坐標表示來分析求解.

例4 （2013年高考天津理科卷第12題）在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點.若 · =1，則AB的長為____.

解 如圖1所示，選取向量的基底為 ， ，則有 = + ， = + = - ，從而 · =（ + ）·（ - ）= 2+ · - 2.又| |=1，< ， >=60°，所以 2=| |2=1， · =1· | |·cos 60°= | |.所以1+ | |- | |2=1，解得| |= 或| |=0（舍去），即AB的長為 .

小結(jié) 結(jié)合題目條件，合理設(shè)置基底，將向量往基底上進行轉(zhuǎn)化是求解本題的關(guān)鍵.其中，對基底的選擇可盡量選取一些特殊向量（如互相垂直的兩個向量、夾角及模易知的兩個不共線向量等）.

三、建立平面直角坐標系，利用向量坐標的代數(shù)運算進行求解

對于一些向量問題，許多時候是以其幾何特性來呈現(xiàn)命題的.此時，我們?nèi)裟芮‘?dāng)?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺讼担瑯?gòu)建幾何與代數(shù)聯(lián)系的橋梁，則解題往往會事半功倍.

例5 （2013年高考浙江理科卷第7題）設(shè)△ABC， P0是邊AB上一定點，滿足P0B= AB，且對于邊AB上任一點P，恒有 · ≥ · ，則

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

解 設(shè)AB= 4，以AB所在的直線為x軸，以線段AB的中垂線為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy，則有A（-2，0），B（2，0），P0（1，0）.設(shè)C（a，b），P（x，0）（其中-2≤x≤2），從而有 =（2-x，0）， =（a-x，b）， =（1，0）， =（a-1，b）.于是 · ≥ · 等價于（2-x）·（a-x）≥a-1，即x2-（2+a）x+a+1≥0在x∈[-2，2]恒成立，從而有Δ=[-（2+a）]2-4（a+1）=0，解得a=0.所以，點C在線段AB的中垂線上.所以AC=BC.選D.

小結(jié) 本題通過建立平面直角坐標系后運用解析法，將問題等價轉(zhuǎn)化到不等式恒成立問題上來，從而使得問題的求解簡單明了.

四、利用向量式的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合進行求解

向量具有幾何、代數(shù)的雙重性，解題時若能抓住題目的條件及問題的幾何特性，運用數(shù)形結(jié)合進行分析求解，往往能起到巧妙求解的效果.

例6 （2013年高考安徽理科卷第9題）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A，B滿足 | |=| |= · =2，則點集{P| =λ +μ ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是

A.2 B.2

C.4 D.4

解 根據(jù)| |=| |= · = 2，可知∠AOB= .由于A，B是兩個定點，于是可設(shè)A（ ，1），B（0，2），P（x，y），從而由 =λ +μ ，得x= λ，y =λ+2μ，解得λ= x，μ = - x.由于|λ|+|μ|≤1，所以| x|+ | - x|≤1，從而當(dāng)x≥0，3y- x≥0，3y+ x≤6時，所得可行域如圖3所示.

由圖3可得陰影部分的面積S0= ×2× = ，于是由對稱性可知，點集所表示的區(qū)域面積S = 4S0 = 4 .選D.（責(zé)任編校/周峰）

一、利用平面向量的數(shù)量積運算求解參數(shù)值

平面向量數(shù)量積是平面向量中的一大有力武器.利用向量的數(shù)量積及線性運算來建立參數(shù)的方程，進而求其參數(shù)，是求解與向量有關(guān)的參數(shù)取值的一種重要手段.

例1 （2013年高考全國新課標Ⅰ卷理科卷第13題）已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c=ta+（1-t）b.若b·c=0，則t=____.

解 由b·c=0，可知b·[ta+（1-t）b]=0，即ta·b+（1-t）b2=0.又向量a，b均為單位向量，且夾角為60°，所以a·b=1×1·cos 60°= ，b2=|b|2=1.所以 t+1-t=0，解得t=2.

小結(jié) 本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義及向量的線性運算.

例2 （2013年高考山東理科卷第15題）已知向量 與 的夾角為120°，且| |=3，| |=2.若 =λ + ，且 ⊥ ，則實數(shù)λ的值為____.

解 依題意可知 · =0，又 =λ + ， = - ，從而有 · =（λ + ）·（ - ）= 2+（λ-1） · -λ 2.由于| |=3，| |=2，< ， >=120°，所以 2=| |2=4， 2=| |2=9， · =3×2·cos 120°=-3.所以4-3（λ-1）-9λ=0，解得λ= .

小結(jié) 用已知向量 ， （已知模、夾角）來線性表示 是求解本題的切入點，而隨后利用 ⊥ 等價于 · =0及平面向量的線性運算來構(gòu)建關(guān)于λ的方程，使得問題的求解水到渠成.

二、合理設(shè)置基底，利用平面向量的基本定理求解

由平面向量的基本定理可知：平面內(nèi)的任一向量都可以用同一平面內(nèi)的不共線的兩個向量（基底）唯一表示.因此，若能合理設(shè)置基底，則利用平面向量基本定理即可將向量的線性運算轉(zhuǎn)化到這組基上來，從而使問題的處理簡單明了.

例3 （2013年高考全國新課標Ⅱ卷理科卷第13題）已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則 · =____.

解 我們注意到ABCD為正方形，為此不妨選取向量的基底為 ， ，則 · =0，| |= | |=2， = - ， = + ，從而有 · =（ + ）·（ - ）= 2- · - 2 = 2.

小結(jié) 本題也可通過建立平面直角坐標系，將相關(guān)向量坐標化，最后利用向量數(shù)量積的坐標表示來分析求解.

例4 （2013年高考天津理科卷第12題）在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點.若 · =1，則AB的長為____.

解 如圖1所示，選取向量的基底為 ， ，則有 = + ， = + = - ，從而 · =（ + ）·（ - ）= 2+ · - 2.又| |=1，< ， >=60°，所以 2=| |2=1， · =1· | |·cos 60°= | |.所以1+ | |- | |2=1，解得| |= 或| |=0（舍去），即AB的長為 .

小結(jié) 結(jié)合題目條件，合理設(shè)置基底，將向量往基底上進行轉(zhuǎn)化是求解本題的關(guān)鍵.其中，對基底的選擇可盡量選取一些特殊向量（如互相垂直的兩個向量、夾角及模易知的兩個不共線向量等）.

三、建立平面直角坐標系，利用向量坐標的代數(shù)運算進行求解

對于一些向量問題，許多時候是以其幾何特性來呈現(xiàn)命題的.此時，我們?nèi)裟芮‘?dāng)?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺讼担瑯?gòu)建幾何與代數(shù)聯(lián)系的橋梁，則解題往往會事半功倍.

例5 （2013年高考浙江理科卷第7題）設(shè)△ABC， P0是邊AB上一定點，滿足P0B= AB，且對于邊AB上任一點P，恒有 · ≥ · ，則

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

解 設(shè)AB= 4，以AB所在的直線為x軸，以線段AB的中垂線為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy，則有A（-2，0），B（2，0），P0（1，0）.設(shè)C（a，b），P（x，0）（其中-2≤x≤2），從而有 =（2-x，0）， =（a-x，b）， =（1，0）， =（a-1，b）.于是 · ≥ · 等價于（2-x）·（a-x）≥a-1，即x2-（2+a）x+a+1≥0在x∈[-2，2]恒成立，從而有Δ=[-（2+a）]2-4（a+1）=0，解得a=0.所以，點C在線段AB的中垂線上.所以AC=BC.選D.

小結(jié) 本題通過建立平面直角坐標系后運用解析法，將問題等價轉(zhuǎn)化到不等式恒成立問題上來，從而使得問題的求解簡單明了.

四、利用向量式的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合進行求解

向量具有幾何、代數(shù)的雙重性，解題時若能抓住題目的條件及問題的幾何特性，運用數(shù)形結(jié)合進行分析求解，往往能起到巧妙求解的效果.

例6 （2013年高考安徽理科卷第9題）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A，B滿足 | |=| |= · =2，則點集{P| =λ +μ ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是

A.2 B.2

C.4 D.4

解 根據(jù)| |=| |= · = 2，可知∠AOB= .由于A，B是兩個定點，于是可設(shè)A（ ，1），B（0，2），P（x，y），從而由 =λ +μ ，得x= λ，y =λ+2μ，解得λ= x，μ = - x.由于|λ|+|μ|≤1，所以| x|+ | - x|≤1，從而當(dāng)x≥0，3y- x≥0，3y+ x≤6時，所得可行域如圖3所示.

由圖3可得陰影部分的面積S0= ×2× = ，于是由對稱性可知，點集所表示的區(qū)域面積S = 4S0 = 4 .選D.（責(zé)任編校/周峰）

一、利用平面向量的數(shù)量積運算求解參數(shù)值

平面向量數(shù)量積是平面向量中的一大有力武器.利用向量的數(shù)量積及線性運算來建立參數(shù)的方程，進而求其參數(shù)，是求解與向量有關(guān)的參數(shù)取值的一種重要手段.

例1 （2013年高考全國新課標Ⅰ卷理科卷第13題）已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c=ta+（1-t）b.若b·c=0，則t=____.

解 由b·c=0，可知b·[ta+（1-t）b]=0，即ta·b+（1-t）b2=0.又向量a，b均為單位向量，且夾角為60°，所以a·b=1×1·cos 60°= ，b2=|b|2=1.所以 t+1-t=0，解得t=2.

小結(jié) 本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義及向量的線性運算.

例2 （2013年高考山東理科卷第15題）已知向量 與 的夾角為120°，且| |=3，| |=2.若 =λ + ，且 ⊥ ，則實數(shù)λ的值為____.

解 依題意可知 · =0，又 =λ + ， = - ，從而有 · =（λ + ）·（ - ）= 2+（λ-1） · -λ 2.由于| |=3，| |=2，< ， >=120°，所以 2=| |2=4， 2=| |2=9， · =3×2·cos 120°=-3.所以4-3（λ-1）-9λ=0，解得λ= .

小結(jié) 用已知向量 ， （已知模、夾角）來線性表示 是求解本題的切入點，而隨后利用 ⊥ 等價于 · =0及平面向量的線性運算來構(gòu)建關(guān)于λ的方程，使得問題的求解水到渠成.

二、合理設(shè)置基底，利用平面向量的基本定理求解

由平面向量的基本定理可知：平面內(nèi)的任一向量都可以用同一平面內(nèi)的不共線的兩個向量（基底）唯一表示.因此，若能合理設(shè)置基底，則利用平面向量基本定理即可將向量的線性運算轉(zhuǎn)化到這組基上來，從而使問題的處理簡單明了.

例3 （2013年高考全國新課標Ⅱ卷理科卷第13題）已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則 · =____.

解 我們注意到ABCD為正方形，為此不妨選取向量的基底為 ， ，則 · =0，| |= | |=2， = - ， = + ，從而有 · =（ + ）·（ - ）= 2- · - 2 = 2.

小結(jié) 本題也可通過建立平面直角坐標系，將相關(guān)向量坐標化，最后利用向量數(shù)量積的坐標表示來分析求解.

例4 （2013年高考天津理科卷第12題）在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點.若 · =1，則AB的長為____.

解 如圖1所示，選取向量的基底為 ， ，則有 = + ， = + = - ，從而 · =（ + ）·（ - ）= 2+ · - 2.又| |=1，< ， >=60°，所以 2=| |2=1， · =1· | |·cos 60°= | |.所以1+ | |- | |2=1，解得| |= 或| |=0（舍去），即AB的長為 .

小結(jié) 結(jié)合題目條件，合理設(shè)置基底，將向量往基底上進行轉(zhuǎn)化是求解本題的關(guān)鍵.其中，對基底的選擇可盡量選取一些特殊向量（如互相垂直的兩個向量、夾角及模易知的兩個不共線向量等）.

三、建立平面直角坐標系，利用向量坐標的代數(shù)運算進行求解

對于一些向量問題，許多時候是以其幾何特性來呈現(xiàn)命題的.此時，我們?nèi)裟芮‘?dāng)?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺讼?，?gòu)建幾何與代數(shù)聯(lián)系的橋梁，則解題往往會事半功倍.

例5 （2013年高考浙江理科卷第7題）設(shè)△ABC， P0是邊AB上一定點，滿足P0B= AB，且對于邊AB上任一點P，恒有 · ≥ · ，則

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

解 設(shè)AB= 4，以AB所在的直線為x軸，以線段AB的中垂線為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy，則有A（-2，0），B（2，0），P0（1，0）.設(shè)C（a，b），P（x，0）（其中-2≤x≤2），從而有 =（2-x，0）， =（a-x，b）， =（1，0）， =（a-1，b）.于是 · ≥ · 等價于（2-x）·（a-x）≥a-1，即x2-（2+a）x+a+1≥0在x∈[-2，2]恒成立，從而有Δ=[-（2+a）]2-4（a+1）=0，解得a=0.所以，點C在線段AB的中垂線上.所以AC=BC.選D.

小結(jié) 本題通過建立平面直角坐標系后運用解析法，將問題等價轉(zhuǎn)化到不等式恒成立問題上來，從而使得問題的求解簡單明了.

四、利用向量式的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合進行求解

向量具有幾何、代數(shù)的雙重性，解題時若能抓住題目的條件及問題的幾何特性，運用數(shù)形結(jié)合進行分析求解，往往能起到巧妙求解的效果.

例6 （2013年高考安徽理科卷第9題）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A，B滿足 | |=| |= · =2，則點集{P| =λ +μ ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是

A.2 B.2

C.4 D.4

解 根據(jù)| |=| |= · = 2，可知∠AOB= .由于A，B是兩個定點，于是可設(shè)A（ ，1），B（0，2），P（x，y），從而由 =λ +μ ，得x= λ，y =λ+2μ，解得λ= x，μ = - x.由于|λ|+|μ|≤1，所以| x|+ | - x|≤1，從而當(dāng)x≥0，3y- x≥0，3y+ x≤6時，所得可行域如圖3所示.

由圖3可得陰影部分的面積S0= ×2× = ，于是由對稱性可知，點集所表示的區(qū)域面積S = 4S0 = 4 .選D.（責(zé)任編校/周峰）