陳 晶，金永興，肖英杰，毛奇凰，吳華鋒

（上海海事大學(xué) 商船學(xué)院，上海 201306）

雨流計數(shù)法誤差詳析方法的提出及實(shí)例研究

陳 晶，金永興，肖英杰，毛奇凰，吳華鋒

（上海海事大學(xué) 商船學(xué)院，上海 201306）

文章依據(jù)頻譜分析以及應(yīng)變能量原理，對雨流計數(shù)法的系統(tǒng)誤差進(jìn)行定量分析。并結(jié)合集裝箱船的現(xiàn)場采樣數(shù)據(jù)，提供給業(yè)界一種定量計算雨流計數(shù)法誤差的方法，可在進(jìn)行結(jié)構(gòu)疲勞計算時，根據(jù)應(yīng)力曲線的定量特征和工程精度要求，來確定是否適合選用雨流計數(shù)法進(jìn)行計算。

位錯；雨流計數(shù)法；應(yīng)變能；載荷頻譜

1 引 言

金屬構(gòu)件的疲勞，源自金屬結(jié)構(gòu)內(nèi)局部范圍反復(fù)形變產(chǎn)生的塑性應(yīng)變。這些結(jié)構(gòu)在使用中所出現(xiàn)的應(yīng)力歷程十分復(fù)雜，主要是由于交變載荷產(chǎn)生的應(yīng)變能，造成與加劇受力點(diǎn)在微觀結(jié)構(gòu)上的位錯。位錯反復(fù)累積，一定程度之后，越發(fā)呈現(xiàn)宏觀裂紋。裂紋繼續(xù)擴(kuò)展，最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效。實(shí)測可知，這種結(jié)構(gòu)的應(yīng)力時間歷程符合隨機(jī)寬帶過程，可采用循環(huán)計數(shù)法，統(tǒng)計出全部歷程中各種幅值的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)。在各種計數(shù)法中，雨流計數(shù)法的原理與材料疲勞損傷機(jī)理吻合較好，在業(yè)界被視作復(fù)雜載荷歷

程中損傷計算的首選方法。雨流計數(shù)法又可稱為塔頂法，最早由英國的Matsuiski和Endo兩位工程師提出，在疲勞壽命計算中運(yùn)用非常廣泛[1-4]。算法的操作過程，是把“載荷—時間”歷程數(shù)據(jù)記錄轉(zhuǎn)過90°，時間坐標(biāo)軸豎直向下，數(shù)據(jù)記錄猶如一系列屋頂檐面，應(yīng)力往復(fù)幅值與次數(shù)的統(tǒng)計過程類似于雨水順其而下的畫面，故稱為雨流計數(shù)法。

雨流計數(shù)法的優(yōu)勢在于：該方法對載荷的時間歷程進(jìn)行計數(shù)的過程反映了材料的記憶特性，具有明確的力學(xué)概念，與結(jié)構(gòu)疲勞理論較為契合；同時算法流程簡便，廣泛適用于工程領(lǐng)域的疲勞計算。但該法在精度上存在顯著局限：應(yīng)力采樣歷程曲線在計數(shù)之前，須做簡化（鋸齒化）預(yù)處理。預(yù)處理過程將采樣曲線簡化為折線段，舍棄復(fù)雜的折曲細(xì)節(jié)。如果不做預(yù)處理，則無法確保計數(shù)過程正常進(jìn)行。尤其對于能量譜分布較寬的海浪載荷，簡化處理將丟失掉諸多不應(yīng)忽視的應(yīng)變能量，導(dǎo)致某些場合計算誤差顯著。

關(guān)于雨流計數(shù)法在精度等方面的局限，文獻(xiàn)[1-5]等有定性闡釋，其中文獻(xiàn)[3]、[5]在定性闡釋后，對其進(jìn)行了一定程度的改進(jìn)，但依然無法回避簡化預(yù)處理過程中造成的系統(tǒng)誤差。至于簡化預(yù)處理過程中造成誤差的信號學(xué)原理，學(xué)界及工程界目前幾乎沒有進(jìn)行過系統(tǒng)的定量分析。就此，本文展開兩部分工作：

（1）依據(jù)頻譜分析以及應(yīng)變能量原理，對雨流計數(shù)法的誤差進(jìn)行誤差的定量分析[6]；

（2）結(jié)合實(shí)體集裝箱船采樣數(shù)據(jù)，得到精確的定量分析結(jié)果以及雨流計數(shù)法的實(shí)際工程誤差情況，以此例提供給業(yè)界一種定量的計數(shù)法誤差分析方法，可在進(jìn)行結(jié)構(gòu)疲勞計算時，根據(jù)應(yīng)力曲線的定量特征和工程精度要求，來確定是否適合選用雨流計數(shù)法進(jìn)行計算。

2 雨流計數(shù)法誤差詳析方法的提出

基于傅里葉頻譜分析以及應(yīng)變能量原理，對不同應(yīng)力載荷在離散采樣過程中形成的誤差，提出一套理論相對較完備的誤差詳析方法。

實(shí)際工程中的各類載荷采樣曲線均為離散時間序列采樣。對于較高精度的采樣序列，可以較為準(zhǔn)確地反映載荷曲線的基波波形以及各階諧波。而雨流計數(shù)法將忽略掉任意相鄰兩極值點(diǎn)間的所有中間采樣點(diǎn)。如圖1所示，設(shè)X（ k- 1 ）與X（k）是某相鄰兩極值點(diǎn)，兩點(diǎn)間的實(shí)際載荷曲線有諸多可能。圖1中左圖為單一拐點(diǎn)、駐點(diǎn)（凸性改變）情況的曲線簇，右圖為無拐點(diǎn)、駐點(diǎn)（凸性不變）情況的曲線簇，另外還有存在多個拐點(diǎn)、駐點(diǎn)（凸性多次改變）的特殊情況。

圖1 采樣歷程中兩極值點(diǎn)間應(yīng)力變化曲線的各類可能情況（左圖為有拐點(diǎn)、駐點(diǎn)情況，右圖為無拐點(diǎn)、駐點(diǎn)情況）Fig.1 Various possible stress curves between two extreme points in the sampling history(Left:situation with Inflection and Stagnation points,Right:situation with no Inflection and Stagnation points)

而動載荷疲勞理論研究存在兩處關(guān)鍵：（1）動載荷的變化范圍與變化中心（動載荷的期望值）；（2）動載荷變化速率的分布情況（以dσ/dt表示）。以上兩個因素對結(jié)構(gòu)體局部位錯嚴(yán)重程度都將產(chǎn)生直接影響。鑒于以上考察指標(biāo)，圖1所示的兩點(diǎn)之間，不同類型的曲線將導(dǎo)致動載荷的期望值以及變化速率dσ/dt的時序分布發(fā)生差異很大，所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)疲勞損耗也各不相同。兩相鄰極值點(diǎn)間隔時間越大，不同類型載荷曲線對結(jié)構(gòu)體影響的差異也越大。但依據(jù)計數(shù)法要求，中間若干非極值點(diǎn)均被忽略掉，換以直線代替，不同的載荷曲線均簡化為同一條直線段，從而得到完全相同的應(yīng)力集中點(diǎn)疲勞損耗數(shù)值，勢必引起不可忽略的計算誤差。在各種極端曲線情況下，誤差在結(jié)果數(shù)值中的占比將高到無法忽視的程度。

為了便于更加直接、量化地呈現(xiàn)曲線簡化處理后的誤差情況，基于對圖1的分析，下面采取由圖1中兩點(diǎn)之間四種有代表性的曲線形式組成的四組不同的曲線序列為例（如圖1所示），分析計數(shù)法在原理上存在的誤差。為使分析過程簡潔清晰，四組波形有統(tǒng)一的設(shè)定：（1）載荷作用點(diǎn)結(jié)構(gòu)類型相同，疲勞損耗過程滿足W型S-N疲勞曲線[8]；（2）載荷范圍相同，均為25-85 N/mm2；（3）載荷波形為嚴(yán)格周期函數(shù)，周期T均為3S，采樣時間均為4個完整周期；（4）計算與繪制載荷頻譜時，傅氏變換的時域窗口寬度均為3S，與載荷周期一致，以使傅氏載荷譜無能量泄漏的問題；（5）波形圖中點(diǎn)劃線為交變載荷的期望值，虛線為雨流計數(shù)法的簡化歷程。

四組波形圖如圖2所示。

圖2 四類交變載荷序列Fig.2 Four types of alternating load sequence

（a）簡諧震蕩（正弦）式交變載荷

簡諧震蕩式交變載荷是最常用于應(yīng)力測試的交變載荷形式，也是最貼近船舶行駛中受海浪施加于船體的交變載荷形式（實(shí)際海浪波形可拆解為一系列兩兩正交的簡諧震蕩波）。本文中曲線具體采用表達(dá)式 30·sin（ 2πx/3+ ）θ，波形如圖 2（a）所示。

該交變載荷的特點(diǎn)是：載荷的期望值線為載荷數(shù)值分布的幾何中心，交變能量圍繞期望值呈現(xiàn)對稱分布，載荷的交變速率亦遵從正弦交變規(guī)律，即載荷的交變不但存在一定的速率，還存在加速度（且加速度亦隨時間交變），即載荷對受力對象的施加方式在不斷地改變，對受力對象微觀結(jié)構(gòu)的影響是最不容忽視的。

該載荷歷程的傅氏載荷譜如圖3（a）所示。該載荷頻譜圖像定量顯示了簡諧波式交變載荷的應(yīng)變能密集程度，幾乎全部能量都集中在基頻（1倍頻）處（實(shí)際操作中由于數(shù)值計算的誤差，有極少能量散落在其他頻段）。應(yīng)變能的集中性使同等能量下載荷的交變幅度達(dá)到理論最大值（60 N/mm2）。應(yīng)變能產(chǎn)生的致?lián)p功率經(jīng)過定量計算得到為8 879 kW（參數(shù)k=Aσ2l·ΔT/2ET，其中E為楊氏模量，ΔT為采樣周期，T為波形周期，A為受力面積，σ為交變應(yīng)力幅值，l為受力體靜載時尺寸）。

圖3 四類交變載荷頻譜圖Fig.3 Four types of alternating load spectrogram

依據(jù)S-N曲線中W型應(yīng)力集中點(diǎn)受力公式，得到該段載荷序列對該受力點(diǎn)造成的積損程度為千萬分之23.69，即該受力點(diǎn)在結(jié)構(gòu)失效前總共可承受此交變載荷約1 407小時（具體計算公式詳見《船體結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度指南》[8]）。

（b）雙邊尖脈沖式交變載荷

此類交變載荷在實(shí)際工況中也時有出現(xiàn)。 本文曲線由表達(dá)式±60·［4（ x - θ ）/3 ］3組合而成，波形如圖2（b）所示。與簡諧震蕩類似的是，載荷的期望值線為載荷數(shù)值分布的幾何中心，交變能量圍繞期望值呈現(xiàn)對稱分布。但該交變載荷也存在獨(dú)特的規(guī)律：載荷數(shù)值在多數(shù)時間相對平穩(wěn)，并按一定頻次在兩個方向交替出現(xiàn)近似的尖脈沖；交變速率dS/dt以及加速度在多數(shù)時間相對較小，同時也按一定頻次出現(xiàn)脈沖式變化；交變載荷在交變范圍上下限附近停留時間很短。

該載荷歷程的傅氏載荷譜如圖3（b）所示。由于該類載荷波形與正弦波形存在差異，在做波形的傅氏正交變換后，可知載荷的能量并非集中在一個頻段，而是明顯地散落到奇數(shù)倍頻段里，能量相對集中的基頻的載荷交變幅值僅為29 N/mm2，應(yīng)變能經(jīng)過定量計算為2 926 kW，顯著低于簡諧震蕩式載荷。

由于S-N曲線的對數(shù)線性關(guān)系，這種影響的差異又會顯著放大，即受力點(diǎn)可承受該類載荷的交變總次數(shù)將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過上一種形式的兩倍。通過定量計算，得到該段載荷序列對該受力點(diǎn)造成的疲勞積損程度為千萬分之2.75，即該受力點(diǎn)在結(jié)構(gòu)失效前總共可承受此交變載荷約12 121小時。

（c）單邊尖脈沖式交變載荷

單邊尖脈沖式交變載荷是另一種常見的脈沖式載荷。本文中曲線具體由半圓表達(dá)式20·（9-（tθ ）2）1/2組合而成，波形如圖2（c）所示。與前兩者顯著不同的是，載荷序列的交變情況呈現(xiàn)非對稱分布，不存在幾何中心，期望值線靠近曲線較平緩的一端，交變能量也隨之呈現(xiàn)非對稱分布。載荷數(shù)值在多數(shù)時間相對平穩(wěn)，并按一定頻次在某個方向出現(xiàn)近似的尖脈沖；交變速率dS/dt以及加速度在多數(shù)時間相對較小，同時也按一定頻次出現(xiàn)脈沖式變化，在載荷交變幅度相同的前提下，交變速率與加速度的變化幅度顯著高于雙邊脈沖；交變載荷在交變范圍極限附近停留時間很短。

該載荷歷程的傅氏載荷譜如圖3（c）所示，此類載荷的能量亦十分分散。能量相對集中的基頻的載荷交變幅度為34 N/mm2，略高于雙邊脈沖形式。應(yīng)變能的致?lián)p功率經(jīng)計算為2 362 kW，同時該段載荷序列對該受力點(diǎn)造成的疲勞積損程度為千萬分之4.20，即該受力點(diǎn)在結(jié)構(gòu)失效前總共可承受此交變載荷約7 937小時。

（d）鋸齒波式交變載荷

此類交變載荷正是雨流計數(shù)法對實(shí)際載荷曲線簡化后的常見形式。本文中曲線具體采用表達(dá)式30·（±t- θ ）組合而成，波形如圖2（b）所示。 載荷的交變數(shù)值分布對稱，存在幾何中心，期望值在幾何中心，交變能量圍繞期望值分布對稱。交變速率dS/dt恒定（無交變加速度），交變載荷在交變范圍上下限附近停留時間較短。

該載荷歷程的傅氏載荷譜如圖3（d）所示。此類載荷與簡諧震蕩式的幾何差異較小，能量亦較集中。能量集中的基頻的載荷交變幅度為49 N/mm2。應(yīng)變能產(chǎn)生的致?lián)p功率經(jīng)過定量計算得到為6 120 kW，同時該段載荷序列對該受力點(diǎn)造成的疲勞積損程度為千萬分之12.71，即該受力點(diǎn)在結(jié)構(gòu)失效前總共可承受此交變載荷約2 623小時。

如表1所示，四種典型的載荷形式，交變范圍與周期均相同，而載荷交變速率、應(yīng)變能、載荷期望值與載荷譜等情況差異顯著，精確計算得出的單位時間的積損差異亦較大。但是依照雨流計數(shù)法，則將上述四類曲線統(tǒng)一簡化為第四類，并通過計數(shù)得到與簡諧震蕩式載荷相同的積損結(jié)果。如果工況中的載荷采樣接近第二類形式，計算結(jié)果的誤差可能高達(dá)數(shù)倍。通過繪制頻譜圖及計算交變載荷的應(yīng)變能，可得到使用雨流計數(shù)法而造成誤差的具體數(shù)值。下節(jié)中以實(shí)際運(yùn)行的集裝箱船所受應(yīng)力數(shù)據(jù)為例，探討雨流計數(shù)法的可能存在的實(shí)際誤差。

表1 四類交變載荷分析結(jié)果對比Tab.1 Analysis results and contradistinction of four types

圖4 育鋒輪應(yīng)力載荷采樣點(diǎn)布局Fig.4 The layout of the stress load sampling points of YU FENG

3 實(shí)船應(yīng)力集中點(diǎn)采樣分析

與陸上載運(yùn)工具有所不同，船體結(jié)構(gòu)承受的應(yīng)力載荷周期和交變幅值都較大，應(yīng)力采樣系統(tǒng)有較大余力采入載荷波形的細(xì)節(jié)。以上特點(diǎn)使雨流計數(shù)法的精度局限十分凸顯，適宜對其誤差做定量分析。

本節(jié)以上海海事大學(xué)校船“育鋒輪”實(shí)際航行中所測數(shù)據(jù)為例，以實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)探討雨流計數(shù)法的誤差。采樣點(diǎn)為“育鋒輪”船舯左舷S6點(diǎn)，如圖4所示。

抽取S6點(diǎn)在某夏季航次中的持續(xù)時長為30.6S、采樣點(diǎn)為36個、采樣周期為0.85S的一段載荷序列，如圖所示。圖中虛線部分即該點(diǎn)在航行中某時段所承受的應(yīng)力載荷序列，而實(shí)線部分為雨流計數(shù)法進(jìn)行簡化處理后的序列。

圖5 S6點(diǎn)載荷采樣與載荷頻譜圖Fig.5 Sampling curve and spectrogram of load on S6

依照前節(jié)所述的詳析方法，計算得到S6點(diǎn)的積損為千萬分之31.30（傅氏載荷頻譜經(jīng)過相位及屏寬補(bǔ)償）。采用雨流計數(shù)法將序列中的大小循環(huán)提取出來并算出每個循環(huán)單獨(dú)對應(yīng)的疲勞積損（詳見表2），求和得到結(jié)果為千萬分之35.51，誤差值為千萬分之4.21，計算誤差率為+4.21/31.30=+13.45%。由此可見，由于計數(shù)法存在的系統(tǒng)誤差，導(dǎo)致計算結(jié)果的偏差較為顯著。

表2 實(shí)測數(shù)據(jù)計算結(jié)果對比Tab.2 Calculated results and contradistinction of real data

4 結(jié) 論

綜上所述，可以得出雨流計數(shù)法計算過程中出現(xiàn)系統(tǒng)誤差的原因主要有以下三點(diǎn)：

（1）相同交變范圍的前提下，對應(yīng)的應(yīng)變能可能會有較大差異，不同大小的應(yīng)變能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)體的位錯程度各不相同，但經(jīng)過雨流計數(shù)法的簡化預(yù)處理后，應(yīng)變能均相同，且等于鋸齒波的應(yīng)變能；

（2）載荷曲線經(jīng)過簡化處理，造成曲線基本形狀在細(xì)節(jié)上的信息丟失。在相鄰的兩個極值點(diǎn)之間，曲線的形狀均被簡化為交變速率dσ/dt恒定的直線段，結(jié)構(gòu)體所受到的交變沖擊均簡化為力度恒定而方向交變的沖擊；

（3）曲線在簡化后呈現(xiàn)鋸齒波的形式，而統(tǒng)計交變載荷循環(huán)的積損時，實(shí)際是按照簡諧震蕩（正弦波）的情況統(tǒng)計。

由于上述計算過程存在多處理論性錯位，雨流計數(shù)法的系統(tǒng)誤差在多個環(huán)節(jié)相疊加，有些工況下可能相互抵消，但也可能顯著到難以忽略。本文主旨在于提供給業(yè)界一種定量計算雨流計數(shù)法誤差的方法，可在進(jìn)行結(jié)構(gòu)疲勞計算時，根據(jù)應(yīng)力曲線的定量特征和工程精度要求，來確定是否適合選用雨流計數(shù)法進(jìn)行計算。在某個具體工況的實(shí)際工程計算中，使用雨流計數(shù)法之前，可先用部分采樣點(diǎn)進(jìn)行傅氏頻譜分析與交變載荷的能量分析，并用雨流計數(shù)法進(jìn)行比照實(shí)驗(yàn)，得到計數(shù)法在該工況下的誤差率，當(dāng)誤差率滿足工程計算要求時，即可方便地采用雨流計數(shù)法。

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A kind of error detailed analysis program proposed for rain-flow counting method and case study

CHEN Jing,JIN Yong-xing,XIAO Ying-jie,MAO Qi-huang,WU Hua-feng
(Merchant Marine Academy,Shanghai Maritime University,Shanghai 201306,China)

Based on the spectral analysis and the strain energy theory,the systematic errors of Rain-flow counting Method were quantitatively analyzed.Combined with sampling data of the real container ship,a quantitative method for calculating the systematic errors of Rain-flow counting Method is put forward to the engineering field,which may decide the selection of Rain-flow counting Method based on the quantitative characteristics of the stress curve and engineering accuracy requirements when calculating structural fatigue life.

Rain-flow Counting Method;strain energy;stress load spectrum;Fourier series

U661.4

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.05.009

1007-7294（2014）05-0550-07

2013-08-16

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項（10CX05005A）；國家自然科學(xué)基金資助項目（51279099）；上海市科學(xué)技術(shù)委員會基金資助項目（12ZR1412500）；上海市教委科研創(chuàng)新基金資助重點(diǎn)項目(13ZZ124)；上海市教育委員會和上海市教育發(fā)展基金會“曙光計劃”基金資助項目（12SG40）；交通運(yùn)輸部應(yīng)用基礎(chǔ)研究項目（2013329810300）；上海海事大學(xué)優(yōu)秀博士學(xué)位論文培育項目（2013bxlp004）

陳 晶（1982-），男，上海海事大學(xué)博士研究生，E-mail：chenjing_taixing@163.com；

金永興（1959-），男，上海海事大學(xué)商船學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師。