呂 明 馬余剛 張國強 陳金輝 方德清 曹喜光 周鋮龍 何萬冰 代智濤 劉應(yīng)都 王婷婷

1（中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 嘉定園區(qū) 上海 201800）

2（中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

1 A GeV下Au+Au反應(yīng)中的徑向流的Blast-wave方法分析

呂 明1,2馬余剛1張國強1陳金輝1方德清1曹喜光1周鋮龍1何萬冰1,2代智濤1,2劉應(yīng)都1,2王婷婷1,2

1（中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 嘉定園區(qū) 上海 201800）

2（中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

徑向流是重離子碰撞中研究高溫高密核物質(zhì)性質(zhì)極為重要的實驗可觀測量。本文在同位旋相關(guān)的量子分子動力學(xué)(Isospin dependent Quantum Molecular Dynamics, IQMD)模型框架下，用爆炸波模型提取1 A GeV的Au+Au反應(yīng)體系中的徑向流和熱力學(xué)凍結(jié)溫度，發(fā)現(xiàn)徑向流的大小由中心碰撞到周邊碰撞逐漸減小，與FOPI(4π Collaboration)實驗結(jié)果及其他模擬結(jié)果一致。同時詳細分析了徑向流參數(shù)α對擬合結(jié)果的影響，得出此能量下α合理取值范圍應(yīng)在0-1。

重離子碰撞，中心度，徑向流，熱力學(xué)凍結(jié)溫度，徑向流參數(shù)

中高能重離子反應(yīng)是唯一能在實驗室進行的產(chǎn)生和研究高溫高密核物質(zhì)性質(zhì)的手段。研究核物質(zhì)狀態(tài)方程即不同溫度和密度下的核物質(zhì)性質(zhì)，不僅對核物理及粒子物理有著十分重要的意義，也是研究核天體物理，如超新星爆發(fā)、中子星內(nèi)部結(jié)構(gòu)、早期宇宙演化等的重要前提[1-5]。核物質(zhì)狀態(tài)方程中不可壓縮系數(shù)及對稱能系數(shù)等的研究一直以來都是中能重離子反應(yīng)的熱點問題[6-12]。

通常重離子反應(yīng)分為低能、中能、高能及極端相對論能區(qū)。重離子反應(yīng)在不同能區(qū)有不同特點，一般中能重離子碰撞按時間演化劃分為4個階段：

(1) 初始狀態(tài)。彈核靶核初始化后，攜帶入射能相互接近，彈靶核的初始性質(zhì)都是已知的。

(2) 壓縮階段。發(fā)生第一次有效碰撞后，由于核子-核子之間劇烈的相互作用，將入射能轉(zhuǎn)化為內(nèi)部熱能和動能，在中心區(qū)域形成高溫高密的核物質(zhì)介質(zhì)，其密度可到正常密度的2-4倍。將入射能轉(zhuǎn)化為壓縮核物質(zhì)介質(zhì)內(nèi)在能量的比例可用核阻止因子(Stopping)來表征[13]。通常，壓縮最大時也是內(nèi)在隨機熱運動最劇烈和溫度最高的時候。

(3) 膨脹階段。壓縮的核物質(zhì)介質(zhì)中，粒子與其內(nèi)側(cè)其他粒子相互作用的頻率大于與外側(cè)其他粒子相互作用的頻率，從而形成一個極大的外向的壓力，推動體系粒子向外運動形成向外膨脹的宏觀現(xiàn)象[14]。膨脹過程中內(nèi)在熱運動的能量部分轉(zhuǎn)化為集體運動的能量。當(dāng)體系密度隨膨脹下降到某個程度，該粒子與內(nèi)外兩側(cè)的粒子作用頻率相近，體系不再加速膨脹，徑向流的大小也不再變化。

(4) 熱力學(xué)凍結(jié)狀態(tài)。隨體系膨脹密度繼續(xù)下降至ρ0以下直至更低密度(如ρ0/8)，此時粒子之間距離大于核力的力程范圍。此后粒子的動量空間信息確定，這一時刻也被稱為熱力學(xué)凍結(jié)時刻，粒子在電磁場下運動飛向探測器被探測系統(tǒng)探測到。

重離子反應(yīng)的實驗?zāi)康闹痪褪窃噲D通過已知的初始狀態(tài)和末態(tài)可觀測階段的一些實驗觀測量來推斷中間過程的高溫高密的核物質(zhì)性質(zhì)，從而獲得密度溫度更寬范圍的核物質(zhì)狀態(tài)方程[15]。

由于重離子反應(yīng)的膨脹過程使得核物質(zhì)介質(zhì)許多性質(zhì)與流體相似，從20世紀(jì)50年代，人們就用流體力學(xué)來近似描述這一過程。一些觀測量，如粘滯系數(shù)、熵、溫度、集體流等被廣泛研究[16-17]。

1 IQMD模型

量子分子動力學(xué) (Quantum Molecular Dynamics, QMD)模型是考慮了一些量子效應(yīng)（如高斯波包形式的波函數(shù)、費米運動、泡利阻塞等）后從經(jīng)典的分子動力學(xué)模型發(fā)展而來，同位旋相關(guān)的量子分子動力學(xué)(Isospin dependent Quantum Molecular Dynamics, IQMD)模型則是在QMD的基礎(chǔ)上引入了同位旋效應(yīng)[1-3]。在IQMD模型中，核子i（i是代表體系中核子的編號）用包含ir→(t)、ip→(t) 6個時間相關(guān)參數(shù)的高斯波包來表示：

式中，L表征波包寬度的參數(shù)。整個系統(tǒng)的N體波函數(shù)取為相干態(tài)的直積，即：

核子隨時間的演化由變分法決定，可以得到ir→(t)、ip→(t)隨時間的運動方程：

對相空間單核子密度分布做Wigner變換可以得到Wigner密度分布函數(shù)為[18]：

系統(tǒng)的密度為單核子密度的疊加。體系的哈密頓量為：

式中，T為動能項，V為相互作用勢，即為IQMD中的平均場部分，可表示為：包括G矩陣的實部和庫侖能。G矩陣又可以分解為局域的Skyrme-type相互作用，考慮表面相互作用的Yukawa勢能以及動量依賴的相互作用勢能，IQMD中還引入了對稱能項。

式中，Zi、Zj是強子（包括重子和介子）的電荷；T3i、T3j為同位旋第三分量；而t1-t6是相互作用參數(shù)，μ=0.4 fm為Yukawa彌散參數(shù)，用以擬合飽和物質(zhì)的性質(zhì)和G矩陣的實部。

通過引入所謂的相互作用密度：

可以簡化各個勢能項， 從而能夠得到密度依賴的各個勢能，便于與理論進行比較。

通過擬合飽和密度附近的不可壓縮系數(shù)，得到式(10)中的參數(shù)a、b和c。

表1中列出不同情況下狀態(tài)方程的參數(shù)序列，軟勢動量依賴(Soft Equation of State with Momentum Dependent Potential, SM)、硬勢動量依賴(Hard Equation of State with momentum dependent potential, HM)和各自考慮動量依賴的相互作用4組參數(shù)，S和H分別表示分別為軟勢和硬勢狀態(tài)方程，M表示動量相關(guān)的相互作用勢[2]。

表1 IQMD模型中不同狀態(tài)方程的參數(shù)Table1 Parameters set for the nuclear equation of state used in the QMD model.

IQMD中引入了獨立于平均場的兩體碰撞，同時考慮了泡利阻塞效應(yīng)。模型中的截面數(shù)據(jù)通?？梢赃x擇從實驗中提取的同位旋相關(guān)的參數(shù)化核子核子反應(yīng)截面

[19]，也可以采用Cugnon的參數(shù)化截面[20]，它是同位旋不相關(guān)的。近年來從集體流的研究中發(fā)現(xiàn)核物質(zhì)介質(zhì)中的核子-核子作用截面會比自由核子-核子作用截面小[21]。

介質(zhì)中核子-核子作用截面的經(jīng)驗公式為：

用IQMD模型模擬了入射能量為1 A GeV的Au+Au反應(yīng)。碰撞參數(shù)是隨機選擇的三角分布。核狀態(tài)方程分別用了SM和HM兩套參數(shù)。為了驗證模型的可靠性，我們首先把碰撞參數(shù)b±3 fm的反應(yīng)中質(zhì)子發(fā)射處于θ=90°±15°范圍內(nèi)的質(zhì)子動能譜與EOS (Equation Of State Collaboration)實驗組的實驗結(jié)果做了比較[22]。如圖1，圓點為EOS實驗的數(shù)據(jù)點，實線和虛線分別為IQMD選取SM和HM的質(zhì)子譜，陰影區(qū)表示相應(yīng)的誤差。由于HM更強的平均場會引起更多的質(zhì)子發(fā)射，質(zhì)子產(chǎn)額比SM略高。SM的結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)符合得更好，也表明IQMD模型中更傾向于選擇用SM的狀態(tài)方程，這與文獻[23-24]中支持SM狀態(tài)方程的結(jié)論一致。

圖1 1 A GeV Au+Au反應(yīng)中質(zhì)子的動能譜(b≤3 fm, θc.m.s=90°±15°)[22]Fig.1 Comparison of kinetic energy spectra between our calculations and the EOS experiment data in Au-Au collisions at 1 A GeV (b≤3 fm, θc.m.s=90°±15°)[22].

2 徑向流

徑向流是為了描述膨脹階段參與者核子因內(nèi)部壓力而向外近似各向同性發(fā)射的物理量，是集體流中的主要成分。對于一個處于完全熱平衡態(tài)的粒子系統(tǒng)，體系內(nèi)粒子的運動應(yīng)是完全無規(guī)隨機的熱運動，滿足玻爾茲曼分布。而對于重離子碰撞中膨脹狀態(tài)的粒子系統(tǒng)則是有某種整體的方向性，是在粒子的無規(guī)則熱運動之上疊加一個整體有序運動。早期，大家通常假設(shè)整個體系中具有相同的徑向流，即這種集體的膨脹對所有粒子的作用相同[22,25]。有改進的模型用半徑依賴的徑向流描述碰撞體系的碰撞，不同位置的徑向流與體系質(zhì)心的距離成冪指數(shù)關(guān)系，而這個冪指數(shù)參數(shù)由反應(yīng)體系的大小和碰撞能量決定[26-28]。

2.1從徑向動量提取

徑向流隨著反應(yīng)體系的膨脹而增大，直至熱力學(xué)凍結(jié)時刻，此時反應(yīng)產(chǎn)物的總動量不再改變，而動量的徑向分量隨著向外運動不斷增大直到全部成為徑向動量。徑向流的大小可以通過熱力學(xué)凍結(jié)時徑向動量分量來計算，βr和γr分別是粒子徑向方向的速度分量和對應(yīng)的洛倫茲因子，是粒子總動量在其位置矢量方向的投影[29]：

每個粒子的動量都包含有序運動的流和隨機熱運動兩部分，這里即近似徑向方向的動量分量是流，而垂直于徑向方向的為熱運動。

考慮到徑向動量分量與位置相關(guān)，熱力學(xué)凍結(jié)時間的確定就非常重要。通?？梢酝ㄟ^核阻止因子“stopping”增加到穩(wěn)定值或者中心處密度降到足夠低來確定。我們?nèi)∶芏冉档?/8倍0ρ的時刻（0ρ為正常核物質(zhì)密度）為熱力學(xué)凍結(jié)的時間，在1 A GeV的Au+Au對心碰撞中約為40 fm.c-1。圖2是不同時刻(t=20 fm.c-1、25 fm.c-1、30 fm.c-1、35 fm.c-1和40 fm.c-1)徑向流的半徑依賴關(guān)系圖，r為粒子離質(zhì)心系原點的距離。從圖2可以看出，徑向流隨半徑增大，如果經(jīng)驗地認為熱力學(xué)凍結(jié)半徑約為15 fm，此處徑向流為0.4。

圖2 1 A GeV下Au+Au對心碰撞中不同時間點徑向流隨半徑的分布Fig.2 Radial flow distribution with radius at different time in Au+Au collisions at 1 A GeV.

2.2爆炸波模型Blast-Wave Model及結(jié)果

1979年，Siemens等[30]提出沖擊波模型來描述膨脹階段的物理圖像。他們認為相對論重離子碰撞中形成的火球可作為處于熱力學(xué)平衡的核子氣體來描述，并假設(shè)膨脹過程中出射的碎片處于相同的溫度環(huán)境且具有相同的膨脹速度，它能夠較好地描述出射帶電粒子的動能譜。

Schnedermann 等[26]在1993年提出給單一熱源附加一個徑向膨脹的速度來推動反應(yīng)體系中粒子向外運動，從而很好地描述實驗粒子譜。他們假設(shè)向外膨脹的速度依賴于粒子處于體系質(zhì)心系中的位置r，βr=βs. (r/R)α，式中α是徑向流參數(shù)；R是熱力學(xué)凍結(jié)體積的半徑；βs是熱力學(xué)凍結(jié)時的表面徑向流。這樣粒子的譜可以描述為粒子的隨機熱運動部分附加一個徑向流：

式中，pT為粒子的橫動量；T是溫度；ρ=tanh-1βr；I0和K1是修正型Bessel 函數(shù)。

本工作中用IQMD模型來模擬1 A GeV的Au+Au的反應(yīng)過程，得到了質(zhì)子在不同中心度下的橫動量譜，這里IQMD中選用軟勢動量依賴的狀態(tài)方程。然后用Blast-wave模型的公式擬合相應(yīng)的粒子譜，得到反應(yīng)體系熱力學(xué)凍結(jié)時的徑向流和溫度。

在對橫動量譜進行擬合時，χ2是其中的一個衡量擬合好壞程度的重要參數(shù)。通過尋找χ2極小值來確定最終的擬合參數(shù)。βs、T和α是自由的擬合參數(shù)，α是反應(yīng)體系中描述徑向流隨半徑變化的參數(shù)，平均徑向流＜β＞可以從以下關(guān)系式得到：

式中，α是在0%-10%中心度下擬合得到，而在擬合其他中心度的橫動量譜時也取這一數(shù)值。圖3是用基于Blast-wave 模型的公式分別對中心度為0%-10%、10%-20%、20%-40%、40%-60%和60%-80%的Au+Au反應(yīng)體系中質(zhì)子橫動量譜的擬合，從圖3中可以看出Blast-wave 模型能非常好地描述質(zhì)子橫動量譜。

當(dāng)擬合參數(shù)之間有較強關(guān)聯(lián)時，可以得到兩個參數(shù)間的χ2等高圖，如圖4。＜β＞從中心度為0%-10%時的0.342遞減到60%-80%時的0.16，而T 從0.060 GeV略微增加到0.068 GeV，這可能是由于周邊碰撞并未達到熱力學(xué)平衡引起的。唐澤波等[31]用Tsallis統(tǒng)計的Blast-wave模型很好地擬合了相對論重離子碰撞中的粒子譜。1 A GeV下Au+Au碰撞的徑向流和溫度分別為0.342和0.060 GeV，這與此前的一些結(jié)果也是吻合的[22,28,32]。具體的各組擬合參數(shù)及誤差見表2。

圖3 Au+Au@1 A GeV在不同中心度下質(zhì)子橫動量譜Blast-wave模型擬合Fig.3 Blast-wave fit on proton transverse momentum spectra at different centralities.

圖4 不同中心度下Blast-wave擬合得到的溫度和徑向流之間的關(guān)聯(lián)圖Fig.4 Blast-wave fitting contours between temperature and radial flow in different centralities.

表2 Blast-wave 擬合中得到的徑向流和熱力學(xué)凍結(jié)溫度參數(shù)Table2 Fit parameters <β> and T from Blast-wave fitting.

徑向流參數(shù)α值的選取對結(jié)果有一定影響，一般選取0-2。圖5是α分別取0.185、0.336、0.5、1和2時βr和r/R的關(guān)系圖，其中βr和R取固定值0.342和40 fm。由圖5可知，α=0時是均一的流速度場，α=1時是線性關(guān)系。α值越小徑向流隨半徑變化越小，越大則表示隨半徑有較大變化。通常擬合時α取固定值1[31-32]，文獻[22]中認為α取值的變化對結(jié)果影響較小，Su等[33]研究表明在50 A MeV的Xe+Sn反應(yīng)中α取值在1-2。如果反應(yīng)體系粒子是從單一熱源發(fā)射出來，那么它的橫質(zhì)量(mT)譜可用Boltzmann分布描述，取對數(shù)后的產(chǎn)額譜是隨mT呈線性關(guān)系。圖6中圓和方塊表示質(zhì)子、氘的橫質(zhì)量譜，可以看出在低mT區(qū)域偏離低于線性關(guān)系，這是由于徑向流將低mT粒子推向高mT造成的[28]。選取不同的α值分別對質(zhì)子、氘的橫質(zhì)量譜做了Blast-wave擬合，發(fā)現(xiàn)擬合參數(shù)βs和T固定時，α越小，曲線在低mT處下彎得越厲害，即流的作用越明顯[34-35]。圖6中自上而下實線a-e(虛線a′-e′)對應(yīng)的α值為0、0.336、0.5、1和2，在α為0.336時能很好地擬合質(zhì)子、氘的譜。

圖5 不同α取值體現(xiàn)徑向流隨半徑的分布Fig.5 Radius distribution of radial flow with different radial flow profile α.

圖6 不同α取值時對質(zhì)子、氘核橫動量譜的Blast-wave擬合(IQMD+SM: AuAu@1 GeV, 碰撞中心度: 0%-10%)Fig.6 Blast-wave fit with different α values on the transverse mass spectra of proton and deuteron (IQMD+SM: AuAu@1 GeV, centralitiy: 0%-10%).

3 結(jié)果與討論

從上面的分析過程可知，通過用徑向動量來提取徑向流的方法邏輯清晰簡單易行，但是也有兩個缺點：其一，假設(shè)徑向方法的動量為徑向流貢獻的動量，事實上徑向方向的動量也包含了部分隨機熱運動的貢獻；其二，徑向動量的計算涉及熱力學(xué)凍結(jié)的時間的確定，不同的時間會對結(jié)果有很大影響。而熱力學(xué)凍結(jié)的時間較難確定，通常所用的核阻止因子“Nuclear Stopping”的判斷方法事實上只能判斷體系是否達到熱平衡，但并不能確定熱力學(xué)凍結(jié)的時間。同時Freeze out半徑也較難確定。圖2中用斜率發(fā)生變化來判斷是有些模糊的，因為這里假設(shè)了徑向流隨半徑的分布是線性關(guān)系，即認為α=1。

通過用Blast-wave擬合的辦法來提取徑向流的方法容易實現(xiàn)，因為它僅依賴于末態(tài)粒子的橫動量譜，與粒子的坐標(biāo)空間沒有關(guān)系。βr分布的關(guān)系式中Freeze out半徑R的選取與擬合結(jié)果無關(guān)，而末態(tài)的橫動量譜在熱力學(xué)凍結(jié)時確定。擬合1A GeV下Au+Au對心碰撞得到的徑向流與其他同類工作進行比較后如圖7所示，橫軸表示不同數(shù)據(jù)來源。標(biāo)簽EXP_EOS、IQMD+Soft 和IQMD+Hard來源于EOS實驗組的工作[22]，EXP_FOPI引自文獻[32]，BUU_F.Fu引自文獻[25]，BUU_coal引自文獻[36]，IQMD_this是本文的結(jié)果。其中BUU_F.Fu的數(shù)據(jù)點是相近的Pb+Pb@1 A GeV的結(jié)果，通過平均動能和質(zhì)量的依賴關(guān)系得到?？梢钥闯霰竟ぷ鞯慕Y(jié)果與其他實驗及理論結(jié)果符合較好，誤差也很小。

圖7 1 A GeV下Au+Au對心碰撞下，不同的實驗和理論工作中得到的徑向流的比較Fig.7 Radial flow values in Au+Au central collisions at 1 A GeV from different works.

4 結(jié)語

中高能重離子碰撞反應(yīng)膨脹過程中存在徑向流，徑向流的大小與核子-核子作用截面、狀態(tài)方程的軟硬程度都有密切關(guān)系，因此研究其徑向流和溫度對理解熱密核物質(zhì)性質(zhì)有著重要意義。

本文分別用徑向動量和爆炸波模型兩種方法提取徑向流。比較兩者結(jié)果發(fā)現(xiàn)用Blast-wave模型擬合的辦法更精確合理地得到不同中心度下的徑向流，平均徑向流隨中心度的降低而減小，從0%-10%時的0.342到60%-80%時的0.160。圖7顯示中心碰撞的徑向流為0.342，與實驗值符合較好。而中心碰撞時的溫度約為0.060 GeV，這個溫度又叫熱力學(xué)凍結(jié)溫度，與直接對動能譜做玻爾茲曼擬合得到的表觀溫度完全不同，能更準(zhǔn)確地反應(yīng)熱密核物質(zhì)的狀態(tài)。對0%-10%中心度的質(zhì)子橫質(zhì)量譜進行擬合，用2χ最小的辦法給出α等于0.336。徑向流參數(shù)α對Blast-wave擬合有較大影響，通過研究發(fā)現(xiàn)1A GeV能量附近α合理取值應(yīng)為0-1。

致謝感謝清華大學(xué)肖志剛老師諸多有益的討論和指導(dǎo)。

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CLCTL9

Blast-wave analysis for the radial flow of Au+Au collisions at 1 A GeV

LYV Ming1,2MA Yugang1ZHANG Guoqiang1CHEN Jinhui1FANG Deqing1CAO Xiguang1ZHOU Chenglong1,2HE Wanbing1,2DAI Zhitao1,2LIU Yingdu1,2WANG Tingting1,2

1(Shanghai Institute of Applied Physics, Chinese Academy of Sciences, Jiading Campus, Shanghai 201800, China)
2(University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Background: Heavy ion reaction is a unique method to investigate the high temperature and density nuclear matter in laboratory, and the radial flow is a very important experimental probe. Purpose: This paper aims to obtain the radial flow and freeze-out temperature and then compare them with experimental results. Methods: By simulating the Au+Au collision at 1 A GeV in the Isospin dependent Quantum Molecular Dynamics (IQMD) framework, the Blast-wave model was applied to fitting the proton transverse momentum spectra and getting the radial flow and freeze-out temperature. Results: Results show that the radial flow decreases from central to peripheral collisions, and the value at central collisions is consistent with the FOPI experimental result and other theory results. Additionally, the radial flow profile α has been analyzed in details and α=0.336 has been determined in this work. Conclusion: The Blast-wave model can nicely describe the proton transverse momentum spectra, and give a reasonable radial flow value in comparison with the FOPI and EOS experimental results. Varying the flow profile α leads to a large change on the shape of proton and deuteron spectra, and the value between 0-1 is supported.

Heavy ion collisions, Centrality, Radial flow, Freeze out temperature, Radial flow profile

TL9

10.11889/j.0253-3219.2014.hjs.37.100517

國家自然科學(xué)基金項目(No.11035009、No.11220101005、No.11275250)和973項目(No.2014CB845400)資助

呂明，男，1987年出生，2009年畢業(yè)于蘇州科技學(xué)院，現(xiàn)為博士研究生，核物理方向

馬余剛，E-mail: ygma@sinap.ac.cn

2014-07-22，

2014-09-05