劉 平

(四川銀監(jiān)局，四川成都 610042)

CDO定價影響要素的蒙特卡洛模擬研究

劉 平

(四川銀監(jiān)局，四川成都 610042)

CDO是目前國內(nèi)外非常關(guān)注的也是定價很復(fù)雜的一類信用衍生產(chǎn)品，其定價的關(guān)鍵就是違約概率和違約相關(guān)性的估計。文章在Merton擴展模型的基礎(chǔ)上，采用蒙特卡洛方法，并結(jié)合copula函數(shù)來生成具有相關(guān)性的違約時間分布，然后計算出各個違約時點，進(jìn)而求出標(biāo)的資產(chǎn)組合的違約損失。在此基礎(chǔ)上分別計算收益面和損失面的期望值，最終對各種要素對CDO定價的影響進(jìn)行分析與比較。

債務(wù)抵押債券;蒙特卡洛模擬;Merton擴展模型;copula函數(shù)

一、文獻(xiàn)綜述

CDO定價方法主要有結(jié)構(gòu)模型和約化模型。結(jié)構(gòu)模型主要有BET模型、copula模型和因子copula模型。由于本文采用copula模型，因此本文著重對這個模型進(jìn)行梳理和綜述。

國外研究方面，Li［1］利用市場中CDS的已知價格來模擬違約時點，用Gaussian copula建立多元聯(lián)合損失分布。Li模型的主要貢獻(xiàn)在于用Gaussian copula將過去某一時期內(nèi)違約事件、相關(guān)性等離散變量的估算，擴展到具有連續(xù)時間的相關(guān)性違約時點的度量。Frey等［2］進(jìn)一步改進(jìn)了Li的模型，提出了student-t copula。這個模型是Gaussian copula的極值形式，能更好地解釋金融變量的肥尾特征。Schonbucher等［3］將違約相關(guān)性納入違約強度模型中，發(fā)展出一套最一般化的copula函數(shù)分析及一致性的個別違約強度動態(tài)模式。Rogge［4］延續(xù)了 Schonbucher等的研究，發(fā)現(xiàn) Clayton copula相較于市場上常使用的 Gaussian copula或student-t copula，可產(chǎn)生較為真實的信用價差變化過程。然而，這一模型的最大缺點是模擬過程復(fù)雜，不易執(zhí)行。Burtschell［5］等對不同的copula函數(shù)在CDO定價中的應(yīng)用作了總結(jié)性的比較分析，表明Student－t和Clayton copula比Gaussian copula能更好地擬合市場數(shù)據(jù)，但Marshall－Olkin copula能進(jìn)一步提升模型的準(zhǔn)確性。Totouom［6－7］將動態(tài)相關(guān)copula模型運用到CDO定價中，提出了動態(tài)copula模型。

國內(nèi)研究方面，朱世武［8］討論了如何利用copula函數(shù)來進(jìn)行資產(chǎn)組合的違約相關(guān)性度量，并進(jìn)一步探討了信用衍生品的定價以及資產(chǎn)組合的信用風(fēng)險管理問題，但其研究對象只針對2種資產(chǎn)的簡單組合，對于copula函數(shù)及其參數(shù)的選擇也不夠深入。馮謙等［9］等使用非參數(shù)方法從市場數(shù)據(jù)中推導(dǎo)出一個合理的copula函數(shù)，然后提出利用蒙特卡洛計算CDO分券合理價差的方法，但沒有具體的實證分析。袁子甲等［10］在因素模型中引入NIG分布，對正態(tài)因素模型進(jìn)行了3種不同形式的推廣應(yīng)用，并用數(shù)值模擬對模型進(jìn)行了分析，但其模型推廣和數(shù)值模擬均可進(jìn)一步深入討論分析。穆放等［11］以KMV模型和copula函數(shù)分別對債務(wù)人的違約概率和違約相關(guān)性進(jìn)行估計，并計算在不同樣本和回收率下各投資層次的風(fēng)險溢酬，利用國內(nèi)市場公開信息，對債務(wù)抵押債券定價進(jìn)行了實證研究，但該模型對樣本選擇有很高的依賴性。陳田等［12］對CDO定價模型進(jìn)行了綜述，并按照各種定價方法對國內(nèi)外研究做了很詳細(xì)的綜述。尹占華等［13］在測算CDO損失分布的二項式擴展技術(shù)的基礎(chǔ)上，提出用蒙特卡洛方法對建設(shè)銀行120筆貸款模擬了損失分布并計算了VaR。楊瑞成等［14］討論了基于混合分布單因子模型的CDO定價問題，假設(shè)資產(chǎn)價值的市場共同因子和異質(zhì)因子均服從標(biāo)準(zhǔn)高斯和NIG的混合分布，且相關(guān)系數(shù)為隨機相關(guān)系數(shù)，通過半解析法給出了CDO分券層的公允價格公式。

綜合國內(nèi)研究，在CDO定價中已經(jīng)取得了一定的成績。本文在前人的基礎(chǔ)上有兩點創(chuàng)新：一是詳細(xì)模擬了計算違約時間點的過程;二是對各種要素對CDO定價的影響進(jìn)行了詳細(xì)的模擬。

二、研究方法

第一步，根據(jù)選定的copula函數(shù)產(chǎn)生n個服從均勻分布的隨機變量U。

第二步，模擬違約時間點：(1)計算違約強度λ;(2)違約時間點。

在不同copula函數(shù)產(chǎn)生出隨機變量Ui的基礎(chǔ)上，由τi=－lnUi/λi求得違約時間點τi。

加快國家畜禽糞污資源化利用試點縣項目實施進(jìn)度，大力推進(jìn)畜禽糞污、農(nóng)作物秸稈、廢舊農(nóng)膜、病死畜禽等農(nóng)業(yè)廢棄物資源化利用，加強病蟲害統(tǒng)防統(tǒng)治和全程綠色防控，加快實施高劇毒農(nóng)藥替代計劃，規(guī)范限量使用飼料添加劑，規(guī)范使用獸用抗菌藥物。深入推進(jìn)化肥、農(nóng)藥使用量零增長行動，推廣有機肥替代化肥、測土配方施肥，減少廢棄物、化肥、農(nóng)藥對土壤的污染，提升耕地質(zhì)量，提高農(nóng)作物產(chǎn)量、質(zhì)量[2]。

第三步，計算CDO相應(yīng)的收益面和損失面以及各個層級的溢價。

假設(shè)在存續(xù)時間會支付w次，B(0，ti)表示的是折現(xiàn)因子，T表示從現(xiàn)在開始合約到期的時間，τi表示違約時間點。CDO分券的上邊界為D，下邊界為A，EL表示投資者可能支付的違約損失的期望值。I(τi＜t)是一個示性函數(shù)，當(dāng)損失在分券范圍內(nèi)則為1，如果超出分券區(qū)間，則為0。S就是本文所求的CDO的溢價。CDO的定價要求合約一開始是公平的，因此CDO的收益面和損失面相等，整個交易不存在套利機會。由上面的分析可以看出，CDO各個分券的溢價S為：

三、實證研究

(一)樣本選取和描述性統(tǒng)計

(二)計算各copula函數(shù)的相關(guān)系數(shù)

這里主要選取了正態(tài)copula函數(shù)、t copula函數(shù)以及Clayton copula函數(shù)作為代表來刻畫資產(chǎn)之間的相關(guān)性(表1－表3)。

表1 正態(tài)copula函數(shù)的Kendall tau

表2 t copula函數(shù)的Kendall tau

表3 Clayton copula函數(shù)的Kendall tau

橫向比較可以看出t copula函數(shù)計算出的相關(guān)系數(shù)比正態(tài)copula函數(shù)要大，而Clayton copula函數(shù)計算的相關(guān)系數(shù)比正態(tài)copula函數(shù)總體上要小一些。然后對協(xié)方差矩陣Σ進(jìn)行Cholesky分解，根據(jù)選定的copula函數(shù)產(chǎn)生n個服從均勻分布的隨機變量Ui。

(三)計算違約率和違約強度

按照Merton模型，通過已知的股東權(quán)益值VE和前面計算出的股價日波動率，推算出一年的σE=股價日波動率×槡T，就可以推算出VA和σA，各公司的總資產(chǎn)和波動率如表4所示。

表4 各公司的總資產(chǎn)和波動率

由于Merton模型有個前提是違約只在到期日T才發(fā)生，而這明顯不符合現(xiàn)實。只要資產(chǎn)總值V小于債務(wù)總值F，就應(yīng)該宣布違約。根據(jù)Merton擴展模型推導(dǎo)首次離開時間的參數(shù)、違約率和違約強度。

表5 各公司的違約率和違約強度

(四)各要素對CDO定價的影響

1．回復(fù)率(R)對CDO定價的影響

假設(shè)在正態(tài)copula函數(shù)下，違約強度λ取5個資產(chǎn)中最小的那個，λ =0．006 94，相關(guān)系數(shù)都為0．3，只改變回復(fù)率，看對CDO定價會有什么影響，模擬結(jié)果見表6、表7。

表6 R為0．2時各公司的預(yù)期損失和溢價

表7 R為0．6時各公司的預(yù)期損失和溢價

從不同回復(fù)率的比較可以看出，回復(fù)率越大，CDO溢價越小。這很好理解，因為貸款回收得越好，投資人的損失越小，價格自然也就越低。

2．相關(guān)系數(shù)對CDO定價影響

假設(shè)在正態(tài)copula函數(shù)下，違約強度λ取5個資產(chǎn)中最小的那個，λ =0．006 94，回復(fù)率都為0．4，只改變相關(guān)系數(shù)，看對CDO定價會有什么影響，模擬結(jié)果見表8、表9。

表8 相關(guān)系數(shù)為0．1各公司的預(yù)期損失和溢價

表9 相關(guān)系數(shù)為0．5各公司的預(yù)期損失和溢價

從上表比較可以看出，相關(guān)系數(shù)越大，股權(quán)類分層(假設(shè)為0% ～3%)越小，而最優(yōu)先類分層(30% ～100%)越大。這是因為相關(guān)系數(shù)增加，CDO資產(chǎn)組合的聯(lián)合分布會呈現(xiàn)出比較明顯的肥尾狀，CDO的極端損失風(fēng)險會增加;相反，相關(guān)系數(shù)減少，CDO資產(chǎn)組合的聯(lián)合損失分布的尾部風(fēng)險縮小，從而使CDO的極端損失風(fēng)險減少。所以說，優(yōu)先類分券的價格和標(biāo)的資產(chǎn)的違約相關(guān)性成正比，相關(guān)性越高，其需支付的保險費越高。根據(jù)市場上的CDO價格，推導(dǎo)出各分券隱含的違約相關(guān)性發(fā)現(xiàn)，中間類分券的相關(guān)性往往低于權(quán)益類及優(yōu)先類分券，同時優(yōu)先類分券的相關(guān)性又高于權(quán)益類分券。

3．違約強度對CDO定價影響

假設(shè)在正態(tài)copula函數(shù)下，回復(fù)率都為0．4，相關(guān)系數(shù)不變都為0．3，只改變違約強度，看λ對CDO定價會有什么影響，模擬結(jié)果見表10、表11。

表10 λ為0．006 94時各公司的預(yù)期損失和溢價

表11 λ為0．185 27時各公司的預(yù)期損失和溢價

從表中比較可以看出，違約強度越大，違約可能性越大，所以CDO價格越高。

4．不同copula函數(shù)對CDO定價的影響

假設(shè)違約強度λ取5個資產(chǎn)中最小的那個，λ=0．006 94，回復(fù)率都為0．4，看不同copula函數(shù)對CDO定價會有什么影響，模擬結(jié)果見表12、表13、表14。

表12 正態(tài)copula函數(shù)各公司的預(yù)期損失和溢價

表13 t copula函數(shù)各公司的預(yù)期損失和溢價

表14 Clayton copula函數(shù)各公司的預(yù)期損失和溢價

從上表比較可以看出，Clayton copula函數(shù)下股權(quán)類分層(假設(shè)為0% ～3%)價格最大;而最優(yōu)先類分層(30% ～100%)最小，相對誤差也較小。t copula函數(shù)下股權(quán)類分層(假設(shè)為0% ～3%)價格最小，相對誤差也較小;而最優(yōu)先類分層(30% ～100%)最大。正態(tài)copula函數(shù)介于兩者之間。這可能跟不同copula函數(shù)下的相關(guān)關(guān)系有關(guān)，Clayton copula函數(shù)下的相關(guān)系數(shù)較小，所以股權(quán)類分層(假設(shè)為0% ～3%)價格最大，而最優(yōu)先類分層(30% ～100%)最小。而t copula函數(shù)下相關(guān)系數(shù)較大，所以股權(quán)類分層(假設(shè)為0% ～3%)價格最小，而最優(yōu)先類分層(30% ～100%)最大。

5．實際情況比較

國際CDO產(chǎn)品都是5個層級，但國內(nèi)CDO產(chǎn)品分層普遍較少，于是只能選取國開行2005年首次發(fā)行的“開元”一期作大致比較。

表15 CDO“開元”一期的分層和溢價

從模擬的結(jié)果和實際發(fā)行的產(chǎn)品溢價相比較，可以發(fā)現(xiàn)模擬的產(chǎn)品在優(yōu)先A檔溢價偏低，而在次級檔溢價過高，因此在模擬國內(nèi)CDO產(chǎn)品時，可以對優(yōu)先檔調(diào)低回復(fù)率、調(diào)高相關(guān)系數(shù)和違約強度、選取t copula函數(shù);而對次級檔調(diào)高回復(fù)率和相關(guān)系數(shù)、調(diào)低違約強度、依然選取t copula函數(shù)。

四、結(jié)論

本文分析了CDO定價的4種影響因素，通過實證研究發(fā)現(xiàn)：回復(fù)率越大，CDO溢價越小;相關(guān)系數(shù)越大，股權(quán)類分層溢價越小，而優(yōu)先類分層溢價越大;違約強度越大，CDO溢價越大;Clayton copula函數(shù)下股權(quán)類分層價格最大，而最優(yōu)先類分層最小，t copula函數(shù)下股權(quán)類分層價格最小，而最優(yōu)先類分層最大，正態(tài)copula函數(shù)介于兩者之間。由于本文采用的是蒙特卡羅方法來定價，所以不能產(chǎn)生唯一的解析解，可能得到的結(jié)果不夠精確，但從多次模擬結(jié)果來看標(biāo)準(zhǔn)差不是很大，所以結(jié)果還比較滿意。

［1］LI D．On default correlation：A copula approach［J］．Journal of Fixed Income，2000，9(4)：43 －54．

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［4］ROGGE E，SCHONBUCHER J．Modeling dynamic portfolio credit risk［R］．Working Paper，2003．

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［8］朱世武．基于 Copula 函數(shù)度量違約相關(guān)性［J］．統(tǒng)計研究，2005(4)：61－64．

［9］馮謙，楊朝軍．擔(dān)保債權(quán)憑證定價——Copula函數(shù)的非參數(shù)估計與應(yīng)用［J］．運籌與管理，2006，15(5)：104－107．

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［13］尹占華，徐昕，高春梅．基于蒙特卡洛模擬的 CDO損失分布測算研究及實證分析［J］．統(tǒng)計信息與論壇，2008，9(23)：13 －16．

［14］楊瑞成，秦學(xué)志，陳田．基于混合分布單因子模型的CDO定價問題［J］．?dāng)?shù)理統(tǒng)計與管理，2009(6)：1082－1090．

The Influence of Factors on CDO Pricing Based on Mote Carlo Simulation

LIU Pin
(The Banking Regulatory Bureau of Sichuan，Chengdu 610042，P．R．China)

CDO is a kind of complex pricing credit derivatives．The key of pricing is the default probability and the default correlation．Based on Monte Carlo method， the paper uses Merton extension model and combines with Copula function to generate default time distribution．And then it calculates the underlying asset portfolios default loss．Based on the premiums and losses of asset portfolios， the paper prices the multiple levels of CDO and analyzes different influence on CDO pricing．

CDO;Monte Carlo simulation;Merton expansion model;Copula function

(責(zé)任編輯 傅旭東)

F830.91

A

1008-5831(2014)03-0055-06

2013－01－18

劉平(1978－)，女，四川成都人，四川省銀監(jiān)局博士，主要從事金融衍生品定價與風(fēng)險管理研究。

10．11835/j．issn．1008 －5831．2014．03．008