李明哲， 戈寶軍， 孫玉田， 李金香， 梁彬

(1.哈爾濱理工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150080;2.哈爾濱大電機研究所水力發(fā)電設(shè)備國家重點實驗室，黑龍江哈爾濱150040)

0 引言

水輪發(fā)電機的阻尼繞組可以抑制轉(zhuǎn)子的自由振蕩，提高電力系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性。同時還可以削弱過電壓，提高發(fā)電機承載不對稱負荷的能力，并提高發(fā)電機自同期并入電網(wǎng)的能力［1］。阻尼條電流的諧波成分十分復(fù)雜，對發(fā)電機在運行過程中的振動、噪聲和損耗等方面都會產(chǎn)生一定的影響。文獻［2］在假設(shè)每根阻尼條電流有效值都相等的條件下，研究了阻尼條電流對電機磁動勢的諧波產(chǎn)生的影響。文獻［3－5］則利用間接測量法，獲得了不同發(fā)電機內(nèi)阻尼條電流的近似分布。文獻［6］在考慮阻尼條電流近似分布的條件下，研究了阻尼條電流對電機磁動勢諧波的影響。文獻［7］介紹了一種全解析的方法，通過建立電機磁導(dǎo)解析模型來計算凸極同步電機的阻尼條諧波受力情況。文獻［8－11］通過等效電路的方法，將阻尼繞組等效成交、直軸兩套阻尼多回路，分析了阻尼繞組對電機短路電流的影響。文獻［12］采用同樣的方法，計算了發(fā)電機在故障狀態(tài)下的阻尼條電流。隨著數(shù)值法在電機電磁場分析領(lǐng)域內(nèi)的進展，無法用解析法準確模擬的氣隙磁導(dǎo)，可通過有限元的方法得以解決。文獻［13］利用有限元法推導(dǎo)出氣隙磁導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型，將其用于發(fā)電機阻尼條電流的解析計算中。與全解析法相比，這種方法將解析法與有限元法相結(jié)合，能夠更加準確模擬的定子開槽對氣隙磁導(dǎo)所產(chǎn)生的影響，使阻尼條電流的計算更加準確。在此基礎(chǔ)上，文獻［14－17］建立包含電機相應(yīng)橫截面上所有阻尼條的等效多回路繞組，計算了阻尼條電流及其附加損耗。文獻［18］對該多回路模型作了進一步的優(yōu)化和完善。文獻［19］采用完全時步有限元的方法計算了大型水輪發(fā)電機在額定工況和負序工況下的阻尼條電流。

本文在文獻［20］中采用場路耦合的方法，建立包含電機定、轉(zhuǎn)子相應(yīng)截面上所有繞組組成的多回路，并結(jié)合2D有限元與3D有限元，計算了特殊端部結(jié)構(gòu)電機的阻尼條電流。本文將利用文獻［20］中的計算方法，計算分析了發(fā)電機在空載、額定負載以及穩(wěn)態(tài)負序運行工況下阻尼條電流的諧波及其產(chǎn)生的原因，并對阻尼條電流各次諧波成分在不同阻尼條內(nèi)的分布進行了分析和研究。

1 電機數(shù)學(xué)模型

為了計算發(fā)電機的阻尼繞組電流，把電機鐵心段與端部分開考慮。鐵心段用二維電磁場有限元計算方法，以動態(tài)矢量磁位A和電流密度向量J作為變量。二維有限元計算模型如圖1所示。

圖1 電機有限元計算模型Fig.1 FEM model of the generator

假設(shè)電機內(nèi)電磁場是似穩(wěn)場，忽略位移電流。并假設(shè)在電機鐵心直線部分的二維電磁場中動態(tài)矢量磁位A和電流密度向量都只J有軸向分量Az和Jz，那么在應(yīng)用洛侖茲條件后的二維時變場泊松方程的混合邊值問題可以表示為

式中:μ為磁導(dǎo)率;ε為介電常數(shù)。

采用線性三角剖分單元，忽略有源電流區(qū)域的渦流，將上式離散可得

式中:p為微分算子;A為節(jié)點向量磁位矢量;Ib為電流矢量;Q、K為系數(shù)矩陣;C為線圈電流與單元節(jié)點的關(guān)聯(lián)矩陣。

電機為全阻尼結(jié)構(gòu)，假設(shè)一個單元電機內(nèi)有n根阻尼條，每相鄰兩根阻尼條構(gòu)成一個阻尼繞組回路。則電機內(nèi)各回路的電壓方程為

式中:U為電壓列向量;I為電流列向量;R為電阻矩陣;Ψ為磁鏈列向量。

在本文的場路耦合數(shù)學(xué)模型中，回路磁鏈可分成兩部分:鐵心直線部分磁鏈與端部漏磁鏈，即

端部漏磁鏈

端部漏感矩陣

式中:Lse為定子回路端部漏感矩陣;Lfe為勵磁繞組的端部漏感;LDe為阻尼繞組回路的端部漏感矩陣。

鐵心直線段磁鏈可由有限元計算獲得

式中:lef為電機鐵心軸向有效長度;G為系數(shù)矩陣。據(jù)此，電機內(nèi)回路電壓方程(3)可變?yōu)?/p>

該狀態(tài)方程內(nèi)端部的電感系數(shù)需要采用文獻［20］中介紹的方法求得。

圖2 電機電路模型Fig.2 The circuit model of the generator

搭建電機仿真電路，如圖2所示。電路可分為3個部分:電樞繞組回路、勵磁繞組回路與阻尼繞組回路。圖中虛線所包圍部分內(nèi)的電路為處于電機鐵心段內(nèi)區(qū)域的電路，其余部分為電機端部區(qū)域和電機外加邊界條件。

圖2(a)中，Coil－A、Coil－B、Coil－C 分別為電機鐵心直線部分內(nèi)A、B、C三相電樞繞組與有限元計算的耦合模型;Le為定子三相電樞繞組的端部漏感。圖2(b)中，Coil－f為勵磁繞組與有限元計算的耦合模型;Rfe、Lfe分別為勵磁繞組端部電阻與漏感。圖2(c)中，D－1、D－2、…、D－n分別表示電機鐵心直線部分內(nèi)的阻尼條;RDei、LDei(i=1，2，…，n)分別表示第i個阻尼回路中電機某側(cè)端部的電阻與漏感。

根據(jù)圖2(c)可以推導(dǎo)出阻尼條電流id－i與阻尼繞組回路電流之間的關(guān)系為

2 數(shù)學(xué)模型的試驗驗證

為了證明本文數(shù)學(xué)模型和計算方法的準確性，這里通過試驗測量了該發(fā)電機在兩相相間穩(wěn)態(tài)短路工況下的阻尼條電流，并與利用前文數(shù)學(xué)模型所得的計算結(jié)果進行對比。試驗電機如圖3所示。該電機利用安裝在電機阻尼條上的無線電流傳感器可直接測量得到阻尼繞組電流在短路后的實時曲線。

圖3 試驗被測電機Fig.3 Tested machine

為了計算發(fā)電機在兩相相間穩(wěn)態(tài)短路時的阻尼條電流，令圖2(a)中

通過前文場路耦合數(shù)學(xué)模型即可計算求出此時的阻尼條電流。

圖4為電機發(fā)生空載兩相相間穩(wěn)態(tài)短路時采用本方法計算所得的阻尼繞組電流結(jié)果與實測結(jié)果的對比。阻尼條編號如圖5所示。結(jié)果表明本文計算阻尼繞組電流與實測結(jié)果相吻合。

圖4 阻尼條電流計算結(jié)果與試驗結(jié)果的對比Fig.4 Comparison among the measured data and the calculated current in damper bars

圖5 阻尼條編號示意圖Fig.5 Sketch of the damper bar’s number

下面將對發(fā)電機在長時間穩(wěn)定運行時的阻尼條電流進行分析。令圖2(a)中電樞繞組回路內(nèi)的三相電流分別為

式中，每相電流均分為兩個部分:第一部分的系數(shù)為k1，三相電流相序為正序，所形成電樞反應(yīng)磁場與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速大小相等、方向相同;第二部分的系數(shù)為k2，三相電流相序為負序，所形成的電樞反應(yīng)磁場與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速大小相等，方向相反。

為了分別研究電機內(nèi)不同磁場對阻尼條電流產(chǎn)生的影響，這里建立了3種運行工況，如表1所示。

表1 電機運行工況Table 1 the operating conditions

工況1:三相電樞繞組電流為零，相當于發(fā)電機的空載運行。工況2:三相電樞繞組電流為額定正序電流，相當于發(fā)電機額定運行工況。工況3:三相電樞繞組電流中僅存在負序分量，負序電流大小為額定電流的12%。該工況只是為了單獨分析負序磁場對阻尼條電流產(chǎn)生的影響而建立的模擬工況。選擇負序電流為額定電流的12%，是因為12%為國內(nèi)行業(yè)標準中規(guī)定的臨界值。

3 工況1的阻尼條電流分析

該工況電機電樞繞組電流為零，相當于發(fā)電機空載運行。此時電機內(nèi)磁場只有勵磁電流產(chǎn)生的主磁場。忽略漏磁，并假設(shè)主磁場產(chǎn)生的所有磁通都從極靴頂部進入氣隙，那么圖2(c)中的第i個阻尼繞組回路所穿過的的磁通φDi為

式中:N為勵磁繞組匝數(shù);If為勵磁繞組電流;ΛDi為穿過第i個阻尼繞組回路磁通所經(jīng)磁路的磁導(dǎo)。

該阻尼繞組回路所產(chǎn)生的感應(yīng)電勢為

因為忽略漏磁的影響，因此這里ΛDi只包括氣隙磁導(dǎo) Λδi與鐵心磁導(dǎo) ΛFei兩部分，即

于是，式(13)可整理成

假設(shè)進入定子鐵心的磁力線全部沿齒頂垂直進入，也就是定、轉(zhuǎn)子鐵心磁路的磁導(dǎo)都不受定、轉(zhuǎn)子相對位置的變化而改變，即

受定子開槽的影響，Λδi大小隨轉(zhuǎn)子位置的不同而改變，即 Λδi= Λδi(θr)，θr為轉(zhuǎn)子位置電角度。若以360°電角度為一個周期，那么Λδi可以寫成傅里葉級數(shù)表達形式為

式中:ωr為轉(zhuǎn)子電角速度，Λ0i為第i個阻尼繞組回路所對應(yīng)的等效均勻氣隙磁導(dǎo)，Λni為第i個阻尼繞組回路所對應(yīng)的n階氣隙磁導(dǎo)幅值，Zs為定子槽數(shù)，p為轉(zhuǎn)子極對數(shù)。

觀察式(18)可知，水輪發(fā)電機在空載運行時，阻尼繞組回路的感應(yīng)電勢受以下因素的影響:

1)阻尼繞組回路感應(yīng)電勢的頻率只能為kZsωr/p。

2)當電機轉(zhuǎn)速恒定，且忽略飽和影響時，阻尼繞組回路感應(yīng)電勢有效值與NIf成正比。

3)阻尼繞組回路感應(yīng)電勢大小與跟電機內(nèi)主磁路的各部分磁導(dǎo)有關(guān)。

4)當電機內(nèi)磁場出現(xiàn)飽和時，阻尼繞組回路感應(yīng)電勢會隨鐵心磁導(dǎo)ΛFei的減小而降低。

為了便于闡述，將阻尼條感應(yīng)電勢或電流中頻率等于kZsωr/p的諧波成分定義為齒頻諧波。

3.1 阻尼條電流的諧波分析

假設(shè)圖2(c)中第i個阻尼繞組回路的v次感應(yīng)電勢與電流分別為，忽略阻尼條電阻則

其中:

式中:LDii為圖2(c)中第i個阻尼繞組回路的自感;MDij為第i個阻尼繞組回路對第j個回路的互感，MDij=MDji。

由于電感矩陣L為可逆矩陣，因此每個阻尼繞組回路電流的v次諧波計算公式為

每根阻尼條電流的v次諧波

可見阻尼條電流諧波幅值不僅受該阻尼條所屬阻尼繞組回路(圖2)的感應(yīng)電勢的影響，還與阻尼繞組回路的電感系數(shù)矩陣有關(guān)。

本文電機模型Zs/p=15，因此該電機在此工況下的阻尼條電流中應(yīng)只含有15及其倍數(shù)次的諧波成份。圖6(a)所示為3號阻尼條電流隨時間變化曲線，圖6(b)所示為3號阻尼條電流的諧波分布，圖中的橫坐標的第0次表示電流的直流分量。

圖6 工況1時3號阻尼條電流Fig.6 Current in the 3rddamper bar under the 1stoperating condition

阻尼條感應(yīng)電流中只含有15及其倍數(shù)次的諧波。這與前文的推論吻合。

3.2 電流諧波在不同阻尼條內(nèi)的分布

圖7為一個磁極內(nèi)每根阻尼條電流的各次諧波幅值分布。

圖7 一個磁極內(nèi)阻尼條電流的15、30次諧波分布(工況1)Fig.7 The 15thand the 30thharmonics of current in the damper bars of one pole under the 1stoperating condition

觀察上圖可以發(fā)現(xiàn)，磁極兩側(cè)阻尼條電流幅值要大于磁極中間阻尼條。這是因為當電機內(nèi)磁場出現(xiàn)飽和時，磁極兩側(cè)飽和程度最低。磁極兩側(cè)阻尼條所屬的阻尼繞組回路對應(yīng)磁路的鐵心磁導(dǎo)ΛFe最大。因此圖中1號、6號阻尼條電流的各次諧波幅值要明顯大于其他阻尼條。

4 工況2的阻尼條電流分析

本工況除施加了正序磁場以外，其余條件都與工況1相同。

若忽略正序磁勢的高次諧波，此時氣隙磁場為勵磁電流形成的主磁場與正序基波磁場疊加的結(jié)果，即

相對轉(zhuǎn)子，F(xiàn)m與f1均恒定不變。此時圖2(c)中第i個阻尼繞組回路的感應(yīng)電勢為

與主磁場類似，正序磁場基波成分雖然相對轉(zhuǎn)子靜止，但也會在阻尼繞組回路中產(chǎn)生齒頻感應(yīng)電勢。

4.1 阻尼條電流的諧波分析

本文電機每極每相槽數(shù)為2.5，因此該電機正序磁場的磁動勢含有除3及其倍數(shù)次以外的所有諧波成分，即:1，－2，4，－5，7，…。其中帶負號的諧波旋轉(zhuǎn)方向與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向相反，不帶負號的諧波旋轉(zhuǎn)方向與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向相同。當轉(zhuǎn)子以同步轉(zhuǎn)速運動時，轉(zhuǎn)子與正序磁動勢的基波相對靜止，正序磁動勢的－2與4次諧波在轉(zhuǎn)子上會產(chǎn)生3次諧波電流，－5與7次諧波在轉(zhuǎn)子上會產(chǎn)生6次諧波電流。以此類推，可知正序磁動勢在該電機轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生的諧波電流次數(shù)為3及其倍數(shù)次。

圖8 工況2時3號阻尼條電流Fig.8 Current in the 3rddamper bar under the 2ndoperating condition

阻尼條電流計算方法與式(21)相同。圖8所示為此時3號阻尼條電流的計算結(jié)果及其諧波分布。諧波分布圖中橫坐標的第0次表示電流的直流分量。

觀察上圖可知，正序磁場的出現(xiàn)對本文計算電機的阻尼條電流產(chǎn)生了如下影響:

1)增加了3及其倍數(shù)次的諧波。這是由正序磁場的高次諧波在轉(zhuǎn)子阻尼條內(nèi)感應(yīng)產(chǎn)生的。

2)阻尼條內(nèi)的感應(yīng)電流齒頻諧波幅值減小。這是由于正序基波磁場對發(fā)電機主磁場的去磁作用導(dǎo)致的。

4.2 電流諧波在不同阻尼條內(nèi)的分布

正序磁場在氣隙空間內(nèi)的基波磁勢為

式中θs為電角度，是氣隙內(nèi)某點與正序磁場基波磁勢最大位置處的夾角。若將坐標系由定子轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)子，則

可見此時阻尼條感應(yīng)電流的齒頻諧波幅值還取決于定子正序磁場與轉(zhuǎn)子主磁場之間的夾角，即內(nèi)功率因數(shù)角ψ0。下面計算了該發(fā)電機阻尼條電流15次諧波受ψ0影響的變化曲線。計算結(jié)果如圖9所示。

觀察圖9可知，阻尼條感應(yīng)電流幅值受ψ0的影響很大。當正序磁場對主磁場產(chǎn)生去磁作用時，阻尼條電流幅值降低，當正序磁場對主磁場產(chǎn)生增磁作用時，阻尼條電流幅值增大。

圖9 3號阻尼條電流15次諧波幅值隨ψ0的變化曲線Fig.9 Current in the 3rddamper bar versus ψ0under the 2ndoperating condition

圖10所示為一個磁極內(nèi)6根阻尼條電流的15次諧波分布，與圖9中的曲線的分布規(guī)律基本吻合。

圖10 一個磁極內(nèi)阻尼條15次諧波幅值分布(工況2)Fig.10 The 15thharmonic of current in the damper bars of one pole under the 2ndoperating condition

5 工況3的阻尼條電流分析

本工況除施加了負序磁場以外，其余條件都與工況1相同。負序電流形成的磁場(以下簡稱負序磁場)相對轉(zhuǎn)子以同步轉(zhuǎn)速沿相反方向運動，因此在阻尼條內(nèi)會產(chǎn)生2倍頻的感應(yīng)電勢與電流。此外受定子開槽的影響，負序磁場同樣會在阻尼繞組電流中產(chǎn)生相應(yīng)頻次的諧波成分。

5.1 阻尼條電流的諧波分析

此時電樞繞組磁動勢含有與正序磁動勢相同頻次的諧波成分，旋轉(zhuǎn)方向與正序磁勢的方向相反，即諧波次數(shù)包括:－1，2，－4，5，－7，8，…。其中帶負號的諧波旋轉(zhuǎn)方向與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向相反，不帶負號的諧波旋轉(zhuǎn)方向與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向相同。相應(yīng)的，負序磁場各頻次諧波在轉(zhuǎn)子上會產(chǎn)生的諧波電流頻次為:2，1，5，4，8，7，…。由于這些頻次的諧波幅值與阻尼繞組電流的2次諧波和齒頻諧波成分相比都很小，因此在工程計算時可忽略不計。

圖11所示為此時3號阻尼條電流的計算結(jié)果及其諧波分布。諧波分布圖中的橫坐標的第0次表示電流的直流分量。

與工況1相比，此時圖中出現(xiàn)了2的倍數(shù)次諧波和13、17次諧波。其中2的倍數(shù)次諧波是由于負序磁場相對阻尼條以2倍同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)引起的。13、17次諧波則分別由電樞繞組磁動勢中的一階齒諧波14、－16次在轉(zhuǎn)子上感應(yīng)產(chǎn)生。

圖11 工況3時3號阻尼條電流Fig.11 Current in the 3rddamper bar under the 3rd operating condition

為了觀察負序磁場的變化對各次諧波的影響，本文計算了阻尼條電流的各次諧波幅值與負序電流幅值的變化關(guān)系曲線，如圖12所示，圖中橫坐標為式(11)中的負序電流系數(shù)k2，曲線數(shù)字標記為諧波次數(shù)。

圖中阻尼條電流中的15次諧波在負序電流較小時，為恒定值。當磁場出現(xiàn)飽和后，15次諧波幅值則開始減小。2次諧波隨負序電流的增加而增大，其變化曲線與電機鐵心材料的磁化曲線形狀相似。其他各次諧波變化情況則比較復(fù)雜，并不隨負序電流的增加而簡單增大或減小。

圖12 3號阻尼條電流諧波隨負序電流變化曲線Fig.12 Harmonics of the current in the 3rddamper bar vs.the negative sequence current

5.2 電流諧波在不同阻尼條內(nèi)的分布

工況3條件下，一個磁極內(nèi)6根阻尼條電流的諧波幅值分布如圖13所示。

圖13 一個磁極內(nèi)阻尼條電流的各次諧波分布Fig.13 The harmonics of current in the damper bars of one pole under the 3rdoperating condition

與工況1相比，圖中的15次諧波分布出現(xiàn)了變化。可見此時磁場的飽和已經(jīng)開始對該次諧波的分布產(chǎn)生影響。當磁場出現(xiàn)飽和時，無論是阻尼繞組回路的感應(yīng)電勢，還是阻尼繞組回路的電感矩陣，都出現(xiàn)了變化。由于飽和的影響使得電機內(nèi)磁場分布比較復(fù)雜，因此此時阻尼繞組電流的分布變得沒有太明顯的分布規(guī)律。

6 結(jié)論

1)本文對水輪發(fā)電機在穩(wěn)態(tài)運行工況下的阻尼條電流諧波進行了研究。首先通過試驗對本文計算方法進行了驗證。然后分別研究了電機的主磁場、正序磁場和負序磁場對阻尼條電流及其各次諧波所產(chǎn)生的影響。

2)文中證明水輪發(fā)電機內(nèi)的主磁場在阻尼條內(nèi)會產(chǎn)生齒頻諧波電流。電樞繞組電流正序分量所產(chǎn)生的正序磁場在阻尼繞組內(nèi)也會產(chǎn)生同樣頻率的電流，該電流幅值與阻尼條相對正序磁場的空間位置有關(guān)。同時正序磁場磁勢諧波也會在阻尼條內(nèi)產(chǎn)生相應(yīng)頻次的感應(yīng)電流。

3)電樞繞組電流所產(chǎn)生的負序磁場基波成分會在阻尼條內(nèi)產(chǎn)生頻率為轉(zhuǎn)子同步角頻率偶次倍的感應(yīng)電流。同時，負序磁勢的齒諧波也會在阻尼條內(nèi)產(chǎn)生相應(yīng)頻次的感應(yīng)電流。隨著電樞繞組電流負序分量的增加，阻尼條電流的各次諧波呈現(xiàn)不同的變化規(guī)律。其中2次諧波隨負序電流增加而增大，曲線變化規(guī)律與電機鐵心材料的磁化曲線相一致。

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