三角形課程難度的定量分析比較

陳丹媛　張磊

摘 要： “三角形”是最基本的幾何圖形，在我國(guó)初中數(shù)學(xué)課程體系中有著非常重要的作用.2011年的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》與2000年的《全日制九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）》中對(duì)三角形的教學(xué)要求相比，發(fā)生了很大的變化.本文利用課程難度定量模型N=αG/T+（1-α）S/T，對(duì)我國(guó)初中階段“三角形”的課程難度進(jìn)行定量分析和比較，總結(jié)出一些值得廣大數(shù)學(xué)教師共同關(guān)注的變化與調(diào)整.

關(guān)鍵詞： 三角形 課程難度 可比深度 可比廣度 課程時(shí)間

一、問(wèn)題的提出

2011年的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》[1]（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）與2000年的《全日制九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）》[2]（以下簡(jiǎn)稱《大綱》）中的幾何內(nèi)容相比，發(fā)生了較大的變化.這些變化對(duì)初中數(shù)學(xué)教師理解和實(shí)施《標(biāo)準(zhǔn)》提出了挑戰(zhàn).與《大綱》相比，《標(biāo)準(zhǔn)》中的幾何內(nèi)容難度有何變化？本文利用刻畫課程難度的數(shù)學(xué)模型，對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中三角形的難度進(jìn)行定量分析和比較，探討幾何課程難度變化給學(xué)生發(fā)散思維能力和推理能力發(fā)展帶來(lái)的影響.

二、課程難度模型的注釋

據(jù)東北師范大學(xué)史寧教授對(duì)課程難度的研究方法，他們對(duì)概念的界定是[3，4]：影響課程難度的基本要素至少有三個(gè)：課程深度、課程廣度和課程實(shí)施時(shí)間.其中，課程深度是指課程內(nèi)容所需要的思維的深度，可以用課程口標(biāo)要求的不同程度來(lái)量化；課程廣度是指課程內(nèi)容涉及的范圍和領(lǐng)域的廣泛程度，可以用知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量來(lái)量化；課程實(shí)施時(shí)間是指完成課程內(nèi)容所需要的時(shí)間，可以用“課時(shí)”來(lái)量化.也就是說(shuō)，課程難度可以看成是關(guān)于課程廣度、課程深度、課程實(shí)施時(shí)間的一個(gè)函數(shù)，其中任何一個(gè)量的變化均會(huì)引起函數(shù)值，即課程難度的變化.

顯然，課程難度與課程深度、課程廣度成正比，與課程實(shí)施時(shí)間成反比.因此，可以用單位課時(shí)下課程的廣度和課程的深度衡量課程難度，前者被稱為課程的“可比廣度”，后者被稱為課程的“可比深度”.這樣，課程的可比廣度與可比深度越大，這門課程越難.但有一個(gè)側(cè)重程度，即需要考慮課程的可比廣度和課程的可比深度哪個(gè)對(duì)課程難度的影響大.因此，課程難度可以看成是“可比廣度”和“可比深度”的加權(quán)平均值.

如果用N表示課程難度，用S表示課程深度，用G表示課程廣度，用T表示課程時(shí)間，綜上所述，可以建立刻畫數(shù)學(xué)課程難度的模型如下：

N=αG/T+（1-α）S/T（1）

其中G/T表示可比廣度，S/T表示可比深度，α稱為加權(quán)系數(shù)，0<α<1，是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性常數(shù)，反映了可比廣度、可比深度對(duì)課程難度影響的側(cè)重程度.

三、《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中三角形的難度量化比較

（一）課程時(shí)間

對(duì)于《標(biāo)準(zhǔn)》，在“人教版”[5]中：八年級(jí)上冊(cè)第11章“三角形”中出現(xiàn)“與三角形有關(guān)的線段”、“與三角形有關(guān)的角”是6課時(shí)，第12章“全等三角形”是11課時(shí)，第13章“軸對(duì)稱”中出現(xiàn)“等腰三角形”是5課時(shí)；八年級(jí)下冊(cè)在第17章“勾股定理”是9課時(shí)；九年級(jí)下冊(cè)在第27章“相似”中出現(xiàn)“相似三角形”是7課時(shí)，第28章“銳角三角函數(shù)”中是12課時(shí)，共計(jì)50課時(shí)，于是T■=50.

而在《大綱》下的教科書(shū)中安排45課時(shí)，于是，T■=45.

（二）課程廣度

《標(biāo)準(zhǔn)》中三角形的知識(shí)點(diǎn)分布較散，相應(yīng)課程內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)合計(jì)41個(gè)，取綜合的課程廣度系數(shù)G■=41.考慮到“圖形與變換”在《大綱》中出現(xiàn)在《三角形》之中，并且僅出現(xiàn)軸對(duì)稱，相應(yīng)課程內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)合計(jì)39個(gè)（不含選學(xué)內(nèi)容“反證法”），取綜合的課程廣度系數(shù)為G■=39.

（三）課程深度

《大綱》中是按四個(gè)層次“了解”“理解”“靈活應(yīng)用”陳述目標(biāo)（要求）的，《標(biāo)準(zhǔn)》中則是按三個(gè)層次陳述目標(biāo)（要求）的。考慮到“掌握”這一要求與“靈活應(yīng)用”區(qū)別并不是很大，為了與《標(biāo)準(zhǔn)》中的層次對(duì)應(yīng)，將“掌握”與“靈活應(yīng)用”合并為同一個(gè)層次，則對(duì)《大綱》和《標(biāo)準(zhǔn)》中過(guò)程性目標(biāo)賦值如表1.

表1 課程目標(biāo)動(dòng)詞賦值

（四）課程內(nèi)容要求的對(duì)比

1.《標(biāo)準(zhǔn)》中“三角形”相應(yīng)課程內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的課程深度值分別如下。

（1）概念部分

三角形（包括三角形頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、角平分線、中線和高）：2；全等三角形：2；等腰三角形：1；直角三角形：1；三角形重心：l；三角形的內(nèi)心、外心：1；相似三角形：1；銳角三角函數(shù)：2.

（2）定理部分

三角形的穩(wěn)定性：1；三角形內(nèi)角和定理：3；三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系：3；三角形外角和定理：3；三角形中位線定理：3；三角形全等判定SAS：3；三角形全等判定ASA：3；三角形全等判定AAS：3；三角形全等判定SSS：3；等腰三角形性質(zhì)定理：3；等腰三角形判定定理：3；三線合一定理：3；等邊三角形性質(zhì)定理：3；等邊三角形判定定理：3；直角三角形的性質(zhì)定理：3；直角三角形全等判定：3；勾股定理：3；勾股定理的逆定理：3；三角形的中位線定理：3；三角形相似的判定定理：1；三角形相似的性質(zhì)定理：1.

（3）技能部分

作三角形的角平分線、中線和高：2；作等腰三角形的對(duì)稱軸：2；三邊作三角形：2；兩邊及其夾角作三角形：2；兩角及其夾邊作三角形：2；底邊及底邊上的高作等腰三角形：2；一直角邊及斜邊作直角三角形：2；30°，45°，60°的三角函數(shù)：l；解三角形：2；用計(jì)算器求銳角三角形函數(shù)值：2；求三角形函數(shù)值對(duì)應(yīng)的銳角：2；作三角形的內(nèi)切圓：2.

2.《大綱》中“三角形”相應(yīng)課程內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的課程深度值分別如下。

（1）概念部分

三角形（包括三角形頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、角平分線、中線和高）：1；全等三角形：l；三角形的內(nèi)心、外心：1；相似三角形：2；相似比：2；銳角三角函數(shù)：1.

（2）定理部分

三角形的穩(wěn)定性：1；三角形內(nèi)角和定理：3；三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系：2；三角形外角和定理：3；三角形中位線定理：3；三角形全等判定SAS：3；三角形全等判定ASA：3；三角形全等判定AAS：3；三角形全等判定SSS：3；等腰三角形性質(zhì)定理：3；等腰三角形判定定理：3；三線合一定理：3；等邊三角形性質(zhì)定理：3；等邊三角形判定定理：3；直角三角形的性質(zhì)定理：3；直角三角形全等判定：2；勾股定理：3；勾股定理的逆定理：2；三角形的中位線定理：3；三角形相似的判定定理：3；三角形相似的性質(zhì)定理：2.

（3）技能部分

作三角形的角平分線、中線和高：2；作等腰三角形的對(duì)稱軸：2；三邊作三角形：2；兩邊及其夾角作三角形：2；兩角及其夾邊作三角形：2；底邊及底邊上的高作等腰三角形：2；一直角邊及斜邊作直角三角形：2；30°，45°，60°的三角函數(shù)：l；解三角形：2；用計(jì)算器求銳角三角形函數(shù)值：2；求三角形函數(shù)值對(duì)應(yīng)的銳角：2；作三角形的內(nèi)切圓：2.

3.與《大綱》相比，《標(biāo)準(zhǔn)》中“三角形”課程內(nèi)容要求的變化。

（1）概念部分

對(duì)“三角形（包括三角形頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、角平分線，中線和高）、全等三角形、銳角三角函數(shù)”三個(gè)內(nèi)容的難度要求從了解提高到理解，而對(duì)“相似三角形”，則從理解降低到了解；增加“等腰三角形、直角三角形、三角形重心”三個(gè)內(nèi)容，并要求理解；刪除原本要求理解的“相似比”.

（2）定理部分

對(duì)“三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系、直角三角形全等判定、勾股定理的逆定理”三個(gè)內(nèi)容的難度要求，從理解提高到掌握，而對(duì)“三角形相似的判定定理”、“三角形相似的性質(zhì)定理”，則分別從靈活運(yùn)用、理解降低到了解.

（3）技能部分

分別增加會(huì)作“作三角形的外接圓”，刪除原本要求會(huì)作“作三角形的角平分線、中線和高”的技能要求.

（五）難度比較

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，分別求出《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中三角形部分的可比廣度、可比深度[6]，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及比較結(jié)果如表2所示：

表2 《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中三角形部分的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

注：右上角的數(shù)字分別代表與《大綱》中三角形相比，《標(biāo)準(zhǔn)》中三角形的可比廣度與可比深度的變化，用“+”代表增加，用“-”代表降低.

1.根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型N=αG/T+（1-α）S/T，分別表示出《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中三角形部分的課程難度：

四、結(jié)論

從以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，課程實(shí)施時(shí)間、課程廣度、課程深度三個(gè)量當(dāng)中的任何一個(gè)有微小變化，都會(huì)引起課程難度的變化.分析上述表格的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)，《標(biāo)準(zhǔn)》下的《大綱》下的《大綱》下的《三角形》內(nèi)容基本一致.《標(biāo)準(zhǔn)》下的《三角形》課程難度有所降低，主要原因是《標(biāo)準(zhǔn)》中該部分內(nèi)容的課程廣度和課程深度增加不大，但課程實(shí)施時(shí)間增加較大，使其可比廣度和可比深度分別降低了0.05和0.14.也就是說(shuō)如果時(shí)間充足的話，可比廣度和可比深度也會(huì)有所降低.

這啟示我們，如果課程實(shí)施時(shí)間較長(zhǎng)，課程難度就會(huì)大大降低.也就是說(shuō)，時(shí)間允許的話，完成《標(biāo)準(zhǔn)》中很多的探索對(duì)學(xué)生更好地掌握知識(shí)有很大的幫助，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和推理能力.

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：2014年廣東省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目：基于課程難度定量分析模型下的初中幾何課程難度研究，項(xiàng)目編號(hào)：201410578047。