陳吉清,鄭炳杰,蘭鳳崇,馬芳武

(1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院,廣州 510640; 2.華南理工大學(xué)，廣東省汽車工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510640;3.浙江吉利汽車研究院,杭州 311228)

前言

汽車的碰撞分析是一個(gè)復(fù)雜的工程技術(shù)，在實(shí)際工程中由于材料性質(zhì)、制造工藝和結(jié)構(gòu)外部環(huán)境的復(fù)雜性以及人為假定等因素的存在，使設(shè)計(jì)過程中需要考慮的參數(shù)存在很大的不確定性，因此在研究碰撞問題的確定性設(shè)計(jì)的同時(shí)，也有必要關(guān)注其結(jié)構(gòu)可靠性，降低目標(biāo)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏性[1]。

傳統(tǒng)的可靠性優(yōu)化方法往往是將可靠性約束轉(zhuǎn)化成確定性約束，利用某種算法尋優(yōu)，最后采用蒙特卡羅法進(jìn)行可靠性分析，評(píng)估優(yōu)化效果。這種雙循環(huán)策略的缺點(diǎn)是計(jì)算成本高，為改善可靠性分析的計(jì)算效率，文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]中提出了序列優(yōu)化與可靠性評(píng)估(SORA)方法，這種方法將可靠性分析與確定性優(yōu)化分開，依次進(jìn)行，通過在循環(huán)迭代中修正約束的方法逼近可靠性解。由于SORA方法的單循環(huán)策略明顯改善了優(yōu)化效率，該算法在某些領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用，包括飛航導(dǎo)彈和飛機(jī)設(shè)計(jì)等復(fù)雜工程問題[4-8]。

本文中將SORA方法引入到汽車前端碰撞的可靠性分析中，同時(shí)借助Kriging[9-10]插值技術(shù)，建立了碰撞響應(yīng)的Kriging代理模型，對(duì)汽車前端進(jìn)行輕量化優(yōu)化，得到符合可靠性設(shè)計(jì)的優(yōu)化結(jié)果，有效地提高了計(jì)算效率和精度。

1 序列優(yōu)化與可靠性評(píng)估

一般可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型可描述為

(1)

式中：F(·)表示目標(biāo)函數(shù)；d為確定性設(shè)計(jì)變量；x為隨機(jī)變量；Pr為滿足括號(hào)內(nèi)邊界條件的概率；G(·)為約束條件函數(shù)；R為要求達(dá)到的可靠度。

傳統(tǒng)的可靠性優(yōu)化方法將任意分布參數(shù)的可靠性約束等價(jià)轉(zhuǎn)化為

G+βσg≥0

(2)

式中：β為可靠度R對(duì)應(yīng)的可靠性指標(biāo)；σg為響應(yīng)的方差。

該優(yōu)化過程須要計(jì)算響應(yīng)的均值、方差和隨機(jī)約束的概率，以評(píng)估響應(yīng)的可靠性，常用的方法有蒙特卡羅法[1]、一次二階矩法[11]等。它是一個(gè)雙循環(huán)策略，其外部循環(huán)是確定性優(yōu)化，內(nèi)部的可靠性分析嵌套在優(yōu)化循環(huán)中，每次迭代皆須進(jìn)行完整的可靠性分析，計(jì)算效率低。為彌補(bǔ)這一缺陷，文獻(xiàn)[2]中提出了一種單循環(huán)策略的SORA方法，它將可靠性分析和確定性優(yōu)化分離，用上一次可靠性的分析結(jié)果來修改下一次確定性優(yōu)化的約束條件，這樣大大提高了可靠性分析的效率。

一個(gè)包含兩個(gè)隨機(jī)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化模型為

(3)

式中：μx為隨機(jī)變量的均值，μx=(μx1,μx2)。

狀態(tài)函數(shù)為

G(x1,x2)=0

(4)

假設(shè)x1和x2為相互獨(dú)立的正態(tài)分布變量，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行當(dāng)量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化變換：

x=(x-μx)/σx

(5)

式中：σx表示隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，σx=(σx1,σx2)。

定義可靠性指標(biāo)為

(6)

則可靠度可表示為

R=φ(β)

(7)

將式(5)代入式(4)可得到在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布空間的約束界面，如圖1所示，進(jìn)一步求解式(3)中的目標(biāo)函數(shù)F(·)的最小值，即能在界面上搜索到設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)MPP。點(diǎn)(μ1,μ2)就是該約束條件下的確定性分析的最優(yōu)解。

如圖1所示，MPP處的正態(tài)分布曲線表示變量的概率分布密度，可見確定性分析的可靠度大約為50%，對(duì)于可靠性分析來說，其可靠度太低。由設(shè)計(jì)要求的可靠度R，可得到概率性失效點(diǎn)MPPi，它即為變量可行性區(qū)域的邊界點(diǎn)。為達(dá)到可行性要求，變量的可行性區(qū)域應(yīng)該全部落在確定性邊界以內(nèi)。因此須進(jìn)行約束修正，約束的移動(dòng)距離用s表示。此時(shí)的確定性約束修正為

G(μx1-s1,μx2-s2)≥0

(8)

于是，第k次循環(huán)的優(yōu)化模型可表示為

(9)

每一次循環(huán)的可靠性相對(duì)上一次循環(huán)得到了改善，若可靠性仍達(dá)不到設(shè)計(jì)要求，則繼續(xù)修正約束條件，直到計(jì)算收斂，其流程如圖2所示。以此類推，多個(gè)變量的優(yōu)化模型也能通過同樣的序列化循環(huán)方法，在較短的時(shí)間內(nèi)求解得到可靠性結(jié)果。SORA方法相對(duì)于傳統(tǒng)可靠性優(yōu)化的優(yōu)勢(shì)在于，采用單循環(huán)策略很好地集成了可靠性分析和確定性優(yōu)化，并且在進(jìn)行可靠性分析時(shí)，將前一輪循環(huán)得到的最優(yōu)解，作為下一輪循環(huán)中優(yōu)化的初始點(diǎn)，前一輪循環(huán)得到的逆MPP，作為下一輪循環(huán)中搜索逆MPP時(shí)的初始位置，減少可靠性分析的次數(shù)，提高優(yōu)化效率。

2 汽車耐撞性仿真模型與代理模型

2.1 仿真模型與試驗(yàn)設(shè)計(jì)

圖3為汽車前端的數(shù)值模型，包括整車模型中發(fā)動(dòng)機(jī)艙防火墻以前的部分，后面部分由于在碰撞過程中變形較小，對(duì)分析前防撞系統(tǒng)的耐撞性影響較小，用一個(gè)集中質(zhì)量單元代替。模型被截?cái)嗵幍墓?jié)點(diǎn)定義為節(jié)點(diǎn)集，通過RBE單元與質(zhì)量單元連接起來。質(zhì)量單元處施加了一個(gè)運(yùn)動(dòng)約束，約束曲線為整車碰撞的B柱下方輸出頻率為1 000Hz的位移-時(shí)間曲線。這樣就確保了該模型的總質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與整車模型保持一致。該有限元模型包含184 991個(gè)節(jié)點(diǎn)，192 035個(gè)單元，其中三角形單元個(gè)數(shù)為8 711，占總單元數(shù)的4.5%，符合三角形單元不超過5%的精度要求。單元之間無(wú)穿透、干涉現(xiàn)象存在。

在構(gòu)造代理模型的過程中，試驗(yàn)點(diǎn)的選取非常重要，良好分布的試驗(yàn)點(diǎn)有利于更加精確地反映響應(yīng)和設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系[12]。相反，不具有代表性的試驗(yàn)點(diǎn)則可能導(dǎo)致所構(gòu)造的模型失真。本文中采用拉丁超立方抽樣方法，通過控制抽樣點(diǎn)的位置，避免出現(xiàn)小鄰域內(nèi)被多次抽樣，且無(wú)被忽略區(qū)域。若進(jìn)行n次抽樣，把m個(gè)隨機(jī)變量分別等分為n個(gè)區(qū)間，則整個(gè)抽樣空間就被劃分成n個(gè)m維區(qū)間。對(duì)于每個(gè)變量，保證n次隨機(jī)抽樣一定分別落在各小區(qū)間，因此抽樣點(diǎn)被等概率地分布到整個(gè)隨機(jī)空間內(nèi)。

運(yùn)用拉丁超立方抽樣方法選取了20組樣本點(diǎn)，各方案的試驗(yàn)結(jié)果見表1。其中方案0表示優(yōu)化前的狀態(tài)；T1～T5為設(shè)計(jì)變量，如圖4所示，分別表示前橫梁、吸能盒內(nèi)、外板和前縱梁內(nèi)、外板的板厚；M為被優(yōu)化零件的總質(zhì)量；E為碰撞過程中吸收的總內(nèi)能。

表1 拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)表

2.2 建立Kriging代理模型

Kriging方法是一種無(wú)偏插值方法[13-14]。Kriging近似模型假設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)由一個(gè)參數(shù)模型和一個(gè)非參數(shù)隨機(jī)過程聯(lián)合構(gòu)成：

y(x)=F(x)+Z(x)

(10)

式中：F(x)為參數(shù)模型，為多項(xiàng)式回歸方程；Z(x)為隨機(jī)分布，提供對(duì)模型局部偏差的估計(jì)，具有以下特性：

E[Z(x)]=0

(11)

(12)

(13)

式中：xi和xj表示樣本點(diǎn)中的任意兩個(gè)點(diǎn)；R(θ,xi,xj)為帶參數(shù)θ的相關(guān)函數(shù)。

任意一個(gè)待測(cè)點(diǎn)xn通過已知的抽樣點(diǎn)來預(yù)測(cè)，用抽樣點(diǎn)的響應(yīng)矩陣Y的線性組合表示為

(14)

Kriging的無(wú)偏特性要求預(yù)測(cè)誤差的均值為零，并且預(yù)測(cè)方差應(yīng)最小化，于是綜上所述能求得系數(shù)矩陣c。HyperWorks軟件中的HyperKriging工具箱集成了上述代理模型的構(gòu)建程序，通過調(diào)用該程序可計(jì)算得到Kriging近似模型。

半?yún)?shù)化的Kriging模型無(wú)須建立一個(gè)特定的數(shù)學(xué)模型[9]，相對(duì)于參數(shù)化模型而言，Kriging模型的應(yīng)用更加靈活和方便。圖5為經(jīng)典數(shù)學(xué)函數(shù)“墨西哥帽子”的各種擬合試驗(yàn)，“墨西哥帽子”的解析方程式為

z=sinr/r

(15)

圖5(a)為式(15)用Matlab軟件模擬的解析解；圖5(b)為運(yùn)用Kriging方法通過20個(gè)抽樣點(diǎn)插值構(gòu)造的模擬解；圖5(c)為用二次響應(yīng)面構(gòu)造的模擬解，采用的抽樣點(diǎn)與圖5(b)相同。通過這個(gè)簡(jiǎn)單的非線性算例，可以看出Kriging方法對(duì)高非線性問題的模擬精度和整體適應(yīng)性優(yōu)于二次響應(yīng)面方法。

將試驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入HyperWorks，通過以上求解程序求得吸能量E的Kriging響應(yīng)模型。直觀上可以預(yù)見板件的質(zhì)量與板厚的函數(shù)關(guān)系為線性關(guān)系，因此采用最小二乘法對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，即得到總質(zhì)量M與設(shè)計(jì)變量T之間的函數(shù)關(guān)系為

M=1.98T1+0.38T2+0.69T3+3.02T4+1.79T5

(16)

3 SORA優(yōu)化與驗(yàn)證

3.1 SORA優(yōu)化

本算例的優(yōu)化目標(biāo)是：在輕量化的同時(shí)要求吸能效果最佳。為達(dá)到輕量化目標(biāo)，制定以下約束：對(duì)吸能部件總質(zhì)量進(jìn)行約束，要求其至少能減質(zhì)量1kg，同時(shí)希望碰撞過程吸收的內(nèi)能最大，即減質(zhì)量對(duì)吸能的削弱影響最小。優(yōu)化問題用以下數(shù)學(xué)模型描述為

(17)

假設(shè)板厚T為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，令其方差為0.006，要求約束滿足可靠度為95%，將設(shè)計(jì)目標(biāo)和約束條件代入圖2的SORA流程進(jìn)行計(jì)算，經(jīng)過3次迭代達(dá)到收斂，迭代過程如表2所示。其中可靠性邊界解表示正態(tài)分布變量對(duì)應(yīng)的目標(biāo)解集中，發(fā)生概率為Pr=1-R處的邊界解。第1次確定性優(yōu)化所得到的解一般不滿足設(shè)定的可靠性條件，這一步得到的目標(biāo)解M剛好落在約束邊界，但可靠性邊界解不符合約束條件，因此通過尋找逆MPP點(diǎn)，確定s的值，對(duì)約束進(jìn)行修正進(jìn)入第2次迭代。經(jīng)過第2次優(yōu)化后，M的目標(biāo)解往可行區(qū)域內(nèi)移動(dòng)，可靠性得到改善，但可靠性邊界解仍不符合要求，即沒有達(dá)到可靠度為95%的要求，需進(jìn)一步修正約束。第3次迭代后，M的可靠性邊界解落在可行區(qū)域內(nèi)，計(jì)算收斂。

表2 迭代過程

文獻(xiàn)[1]中采用了傳統(tǒng)的可靠性優(yōu)化方法，在進(jìn)行了確定性優(yōu)化后，采用蒙特卡羅法抽取了100組設(shè)計(jì)變量對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行可靠性評(píng)估，若評(píng)估結(jié)果符合要求，計(jì)算終止；若評(píng)估結(jié)果不符合要求，須返回到整個(gè)優(yōu)化流程的第一步，重新進(jìn)行確定性優(yōu)化和可靠性評(píng)估。本文中采用SORA方法，僅進(jìn)行了3次約束修正即完成了可靠性優(yōu)化過程，其計(jì)算成本相對(duì)傳統(tǒng)可靠性優(yōu)化明顯降低。

3.2 結(jié)果驗(yàn)證

經(jīng)過SORA優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量如表3所示。將其預(yù)測(cè)值與有限元仿真的試驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果如表4所示。

表3 設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化結(jié)果 mm

表4 預(yù)測(cè)結(jié)果驗(yàn)證

從表4可以看出，質(zhì)量M的相對(duì)誤差很小，這是因?yàn)橘|(zhì)量與板厚是線性關(guān)系，用最小二乘法擬合能精確擬合線性問題。Kriging模型擬合的吸能量E也達(dá)到了很高的精度，可以認(rèn)為采用的代理模型有效。從優(yōu)化結(jié)果看，吸能部件的質(zhì)量從15.56kg下降到14.13kg，減質(zhì)量1.43kg，達(dá)到了優(yōu)化目標(biāo)；優(yōu)化后的吸能量為167.4kJ，相對(duì)原模型提高了0.3kJ，達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)，即減質(zhì)量對(duì)吸能效果影響最小。以上結(jié)果表明，Kriging結(jié)合SORA的優(yōu)化方法有效。

為驗(yàn)證結(jié)果的可靠性，采用蒙特卡羅描述性抽樣獲得1 000組設(shè)計(jì)變量，將1 000組設(shè)計(jì)變量分別代入代理模型中計(jì)算響應(yīng)的均值和方差，判斷約束的失效概率。圖6給出了質(zhì)量M和吸能量E的頻數(shù)直方圖。

如圖6所示，試驗(yàn)結(jié)果大致呈正態(tài)分布。質(zhì)量M大于14.5kg的試驗(yàn)次數(shù)為44次，即失效概率為4.4%，符合可靠度為95%的要求。同時(shí)，質(zhì)量M和吸能量E試驗(yàn)值的均方差值Dev相比其均值非常小，表明試驗(yàn)數(shù)據(jù)偏離均值的程度很小，優(yōu)化結(jié)果的響應(yīng)對(duì)該設(shè)計(jì)點(diǎn)自變量的敏感度不高，該優(yōu)化設(shè)計(jì)具有較高的魯棒性。綜上所述，本文中采用的優(yōu)化方法具有較高的精度，并且優(yōu)化結(jié)果符合可靠性要求。

4 結(jié)論

(1) 將SORA方法引入到汽車耐撞性的可靠性優(yōu)化，通過理論分析和實(shí)例分析，驗(yàn)證表明SORA方法可以有效地處理耐撞性優(yōu)化問題。

(2) 通過與傳統(tǒng)雙循環(huán)優(yōu)化策略的對(duì)比，表明SORA方法在處理可靠性優(yōu)化問題時(shí)更高效。

(3) SORA方法的關(guān)鍵在于不斷修正約束去逼近可靠性約束，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與約束條件的非線性程度太高或者出現(xiàn)不連續(xù)時(shí)，約束的修正和確定性優(yōu)化會(huì)影響可靠性指標(biāo)的收斂。本文中構(gòu)造了Kriging代理模型，避免了原模型的復(fù)雜性，保證了迭代的收斂，同時(shí)具有較高的模擬精度。

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