基于相平面法的制動(dòng)方向穩(wěn)定性分析*

李 靜，王子涵,2，王宣鋒

(1.吉林大學(xué),汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130022； 2.上海泛亞汽車技術(shù)中心有限公司,上海 201201;3.中國(guó)第一汽車集團(tuán)技術(shù)中心,長(zhǎng)春 130011)

前言

制動(dòng)方向穩(wěn)定性是指在制動(dòng)過(guò)程中，汽車按駕駛員給定的軌跡行駛的能力，即維持直線行駛或按預(yù)定彎道行駛的能力[1]，對(duì)車輛安全具有重要影響，本文旨在評(píng)價(jià)分析汽車制動(dòng)方向穩(wěn)定性，完善制動(dòng)方向穩(wěn)定性的評(píng)價(jià)方法。

目前，較多學(xué)者從整車特征參數(shù)時(shí)域角度對(duì)制動(dòng)方向穩(wěn)定性展開(kāi)研究，如文獻(xiàn)[2]中對(duì)轉(zhuǎn)向制動(dòng)的研究和文獻(xiàn)[3]中對(duì)差動(dòng)制動(dòng)穩(wěn)定性的研究，它們均應(yīng)用如橫擺角速度、質(zhì)心側(cè)偏角等整車參數(shù)的時(shí)間歷程曲線對(duì)制動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行定性分析，但也僅局限于定性評(píng)價(jià)。

文獻(xiàn)[4]中在前輪轉(zhuǎn)向控制研究中應(yīng)用了質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面，該類相平面通常用于轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性分析，較好地反映了轉(zhuǎn)向穩(wěn)定域，但其穩(wěn)定域受車速影響較大，不適用于速度實(shí)時(shí)變化的制動(dòng)穩(wěn)定性分析；文獻(xiàn)[5]中基于大量實(shí)驗(yàn)提出β相平面穩(wěn)定域，實(shí)現(xiàn)制動(dòng)穩(wěn)定性分析和判斷，該類相平面隨速度變化相對(duì)較小，可用于制動(dòng)穩(wěn)定性分析，但未明確提出穩(wěn)定域邊界函數(shù)的判定方法；文獻(xiàn)[6]中針對(duì)β-r相平面，通過(guò)求解2自由度模型穩(wěn)定點(diǎn)和相軌跡的向前合并與向后合并，得到了該類相平面的穩(wěn)定域；同時(shí)，文獻(xiàn)[7]中通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法提出一種得到穩(wěn)定邊界的方法，但較為復(fù)雜。除此之外，文獻(xiàn)[8]中提出能量相平面方法，用于分析兩軸車操縱穩(wěn)定性，通過(guò)能量相平面表征了諸如側(cè)向能量、轉(zhuǎn)向瞬態(tài)半徑等運(yùn)動(dòng)特性變化規(guī)律。

結(jié)合以上研究，本文中基于兩軸汽車Simulink模型，應(yīng)用β相平面和能量相平面法進(jìn)行制動(dòng)方向穩(wěn)定性分析，并針對(duì)β相平面，提出基于鞍點(diǎn)和初始穩(wěn)定相點(diǎn)分布的穩(wěn)定域邊界計(jì)算方法。

1 7自由度動(dòng)力學(xué)模型

為分析制動(dòng)方向穩(wěn)定性，須分別計(jì)算各輪縱向力與側(cè)向力。因此，本文中建立了7自由度動(dòng)力學(xué)模型，包括整車3自由度和4個(gè)車輪轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，既考慮了側(cè)向運(yùn)動(dòng)，又考慮了縱向運(yùn)動(dòng)，全面分析了整車運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

建立動(dòng)力學(xué)模型之前，作如下假設(shè)：忽略空氣阻力，認(rèn)為汽車只做平行于地面的平面運(yùn)動(dòng)；假設(shè)輪胎滾動(dòng)阻力矩為一定值，并且沒(méi)有輪胎變形引起的回正力矩，車輪半徑為定值，將每個(gè)車輪簡(jiǎn)化為具有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、只有轉(zhuǎn)動(dòng)的單自由度系統(tǒng)；不考慮載荷的轉(zhuǎn)移，制動(dòng)器簡(jiǎn)化為理想的1階慣性元件。

圖1為整車受力分析圖，包含建模所用的3種坐標(biāo)系：地面固定坐標(biāo)系OXYZ、車輛坐標(biāo)系oxyz和輪胎坐標(biāo)系owxwywzw。其中車輛坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于車輛質(zhì)心o，x軸位于車輛的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，且指向前進(jìn)方向?yàn)檎?，?guī)定y軸正向指向駕駛員左側(cè)，指向上方規(guī)定為z軸正向；規(guī)定輪胎坐標(biāo)系xw軸在車輪中分平面與水平地面的交線上、且指向前進(jìn)方向?yàn)檎?guī)定xw軸與車輪旋轉(zhuǎn)軸線在水平地面投影線的交點(diǎn)為輪胎坐標(biāo)系的原點(diǎn)ow，yw軸位于水平地面內(nèi)、且規(guī)定面向xw正方向時(shí)、指向左側(cè)為yw軸正方向，規(guī)定指向上方為zw軸正方向。

1.1 整車模型

假設(shè)整車模型包括簧載質(zhì)量、前非簧載質(zhì)量和后非簧載質(zhì)量3部分。整車的3個(gè)自由度為縱向速度u，側(cè)向速度v和橫擺角速度r。經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，得整車模型計(jì)算公式為

(1)

(2)

(3)

式中：mf、mr為前、后軸非簧載質(zhì)量，kg；Izzf、Izzr為前、后軸非簧載質(zhì)量橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；Iz為通過(guò)車身質(zhì)心關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；u為整車質(zhì)心縱向速度，m/s；v為整車質(zhì)心側(cè)向速度，m/s；r為整車橫擺角速度，rad/s；lf、lr為前、后軸中心到質(zhì)心的距離，m；mb為簧載質(zhì)量，kg。且Qu、Qv、Qr分別為對(duì)應(yīng)自由度u、v和r的廣義力，N，公式為

Qu=(Fxw1+Fxw2)cosδf-(Fyw1+Fyw2)sinδf+Fxw3+Fxw4

(4)

Qv=(Fxw1+Fxw2)sinδf+(Fyw1+Fyw2)cosδf+Fyw3+Fyw4

(5)

[(Fxw2+Fxw1)sinδf+(Fyw1+Fyw2)cosδf]lf+

(6)

式中：Fxwi為第i輪縱向力，N；Fywi為第i輪側(cè)向力，N；δf為轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角，rad；af為前軸輪距，m；ar為后軸輪距，m。

1.2 制動(dòng)器模型

制動(dòng)器模型指制動(dòng)器力矩與制動(dòng)壓力間的關(guān)系，假設(shè)制動(dòng)器為理想元件，則制動(dòng)方程為

Mbi=ki·Pi

(7)

式中：Mbi為第i輪制動(dòng)力矩，N·m；ki為第i輪制動(dòng)器制動(dòng)因數(shù),N·m/kPa；Pi為第i輪制動(dòng)壓力，kPa。對(duì)于制動(dòng)壓力到制動(dòng)力轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)，在此簡(jiǎn)化為一個(gè)帶遲滯的1階慣性環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為

(8)

式中Km和Tm為制動(dòng)器參數(shù)。

1.3 輪胎滾動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)車輪進(jìn)行受力分析，如圖2所示。建立車輪轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，輸入為車輪的縱向力Fxwi、制動(dòng)力矩Mbi；輸出為各輪角速度ωi。其中i=1、2、3、4分別代表不同車輪。

根據(jù)牛頓第二定律對(duì)每個(gè)車輪列動(dòng)力學(xué)平衡方程，得出車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(9)

式中：rdi為第i輪的滾動(dòng)半徑，m；Iwi為第i輪繞輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2。

1.4 輪胎模型

在此，輪胎模型采用GIM輪胎模型，輸入為各輪胎坐標(biāo)系下的輪心縱向線速度uxwi、車輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωi、側(cè)偏角βwi和垂向載荷Fzi，輸出為各輪所受縱向力Fxwi和輪胎側(cè)向力Fywi。其中uxwi、側(cè)偏角βwi通過(guò)車輛平面運(yùn)動(dòng)分析得到。

基于上述動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，建立包含ABS系統(tǒng)的2自由度整車動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示。

2 應(yīng)用于制動(dòng)方向穩(wěn)定性的β相平面及其穩(wěn)定域邊界函數(shù)

為便于非線性方程求解[11]，通過(guò)簡(jiǎn)化目標(biāo)車得到2自由度模型，求解非線性方程鞍點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)?；诎包c(diǎn)和相平面穩(wěn)定初始相點(diǎn)分布圖，得到相平面穩(wěn)定域邊界函數(shù)，用于制動(dòng)方向穩(wěn)定性的分析。

為簡(jiǎn)化動(dòng)力性模型，便于繪制相平面，簡(jiǎn)化的2自由度模型示意圖如圖4所示，其動(dòng)力學(xué)方程為

(10)

式中：Izz為整車相對(duì)oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；m為整車質(zhì)量，kg；Fyf為前輪側(cè)向力，N；Fyr為后輪側(cè)向力，N；其余參數(shù)與7自由度模型相同，且

結(jié)合以上公式，并簡(jiǎn)化得

(11)

(12)

輪胎受力Fyf和Fyr通過(guò)GIM模型計(jì)算。通過(guò)式(11)和式(12)求穩(wěn)定點(diǎn)，包括結(jié)點(diǎn)和鞍點(diǎn)，穩(wěn)定點(diǎn)即對(duì)應(yīng)式(11)和式(12)右側(cè)為0。對(duì)于β相平面的平衡點(diǎn)求解應(yīng)滿足如下關(guān)系式：

圖5為β相平面及其奇點(diǎn)分布圖，圖中星點(diǎn)表示式(11)和式(12)所求在合理范圍內(nèi)的結(jié)點(diǎn)(中間的穩(wěn)定點(diǎn))和鞍點(diǎn)(兩端的不穩(wěn)定點(diǎn))。

3 制動(dòng)方向穩(wěn)定性的能量相平面分析

能量相平面的分析機(jī)理為通過(guò)車輛轉(zhuǎn)向動(dòng)能與前進(jìn)動(dòng)能之比表征車輛方向穩(wěn)定性。制動(dòng)失穩(wěn)時(shí)，產(chǎn)生側(cè)向滑移等失穩(wěn)現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致側(cè)向能量的增大。根據(jù)前述動(dòng)力學(xué)方程，可得總能量為

(13)

式中：ms為車輛總質(zhì)量，kg；Izs為整車對(duì)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2。沿坐標(biāo)系縱軸ox的縱向動(dòng)能為ETrx：

(14)

沿oy軸的側(cè)向動(dòng)能為ETry：

(15)

側(cè)向能量和縱向能量之比為

(16)

(17)

分別以v/u為橫坐標(biāo)、ρr/u為縱坐標(biāo)做出能量相平面圖，在一定初始條件下開(kāi)始仿真，繪成的曲線看成是一種相平面曲線，該曲線上任意一點(diǎn)T，其坐標(biāo)值為(x，y)，對(duì)應(yīng)的向量oT的模代表了轉(zhuǎn)向能量相對(duì)前進(jìn)能量的水平，從能量的角度對(duì)運(yùn)行過(guò)程中側(cè)向能量進(jìn)行表述，進(jìn)而說(shuō)明是否失穩(wěn)。

轉(zhuǎn)向時(shí)瞬心半徑rds基本滿足關(guān)系rds·r=u，且能量相平面縱坐標(biāo)為ρr/u，則縱坐標(biāo)與轉(zhuǎn)向瞬心半徑成反比關(guān)系，結(jié)合相平面縱坐標(biāo)可進(jìn)行轉(zhuǎn)向情況的表征。

4 制動(dòng)方向穩(wěn)定性的能量相平面分析

為驗(yàn)證能量相平面和β相平面評(píng)價(jià)制動(dòng)方向穩(wěn)定性效果，進(jìn)行了極限工況轉(zhuǎn)向制動(dòng)仿真，通過(guò)制動(dòng)軌跡、能量相平面和β相平面對(duì)不同工況制動(dòng)方向穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)價(jià)。仿真工況包括：(1)無(wú)ABS時(shí)，高/低附著路面轉(zhuǎn)向制動(dòng)；(2)有/無(wú)ABS低附著路面轉(zhuǎn)向制動(dòng)運(yùn)動(dòng)。

一方面通過(guò)無(wú)ABS系統(tǒng)時(shí)高低附著路面轉(zhuǎn)向制動(dòng)，再現(xiàn)轉(zhuǎn)向制動(dòng)無(wú)失穩(wěn)與失穩(wěn)工況，驗(yàn)證相平面法對(duì)于制動(dòng)方向穩(wěn)定性表征的有效性；另一方面通過(guò)低附著路面有/無(wú)ABS轉(zhuǎn)向制動(dòng)，驗(yàn)證控制算法對(duì)制動(dòng)方向穩(wěn)定性的作用。

4.1 高低附著路面轉(zhuǎn)向制動(dòng)

仿真工況為無(wú)ABS系統(tǒng)高低附著路面轉(zhuǎn)向制動(dòng)。高附著路面附著系數(shù)為1.0，低附著路面附著系數(shù)為0.2，初始制動(dòng)車速為60km/h，轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角為1.4rad。仿真結(jié)果如圖7～圖9所示。

由圖7可知，高附著路面車輛可較好地按照駕駛員意圖實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向制動(dòng)，而低附著路面車輛幾乎無(wú)法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向動(dòng)作。由圖8可見(jiàn)，每個(gè)圓形虛線表明一個(gè)能量級(jí)，能量級(jí)越大對(duì)應(yīng)側(cè)向能量相對(duì)縱向能量比例越大，穩(wěn)定性越差。表1為能量相平面數(shù)據(jù)表，可定量進(jìn)行制動(dòng)方向穩(wěn)定性分析。結(jié)合圖表可知，低附著路面?zhèn)认蚰芰颗c縱向能量比值大約為高附著路面的5倍，且由縱坐標(biāo)可知，低附著路面轉(zhuǎn)向半徑小于高附著路面，無(wú)法保證車輛轉(zhuǎn)向能力。

表1 高/低附著能量相平面數(shù)據(jù)表

由圖9可知，低附著路面的相軌跡越過(guò)穩(wěn)定域邊界，進(jìn)入非穩(wěn)定區(qū)域，進(jìn)一步表明已失去制動(dòng)方向穩(wěn)定性，而高附著路面仍保持在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)。

4.2 低附著路面有/無(wú)ABS系統(tǒng)轉(zhuǎn)向制動(dòng)

4.2.1 基于PID控制的ABS控制器

制動(dòng)方向穩(wěn)定性的準(zhǔn)確評(píng)價(jià)可提高相關(guān)控制策略的有效性。為驗(yàn)證相平面分析方法對(duì)控制算法的評(píng)價(jià)效果，建立了基于PID控制的ABS控制器[12]，完成有/無(wú)ABS控制器低附著路面轉(zhuǎn)向制動(dòng)方向穩(wěn)定性評(píng)價(jià)。

PID控制器是利用設(shè)置給定的目標(biāo)值和實(shí)際控制輸出值的偏差，對(duì)控制對(duì)象進(jìn)行的一種控制，如圖10所示，以目標(biāo)滑移率s0和實(shí)際滑移率sx之差為控制偏差e，即e=s0-sx，通過(guò)對(duì)其進(jìn)行比例放大、微分放大和積分放大，進(jìn)行制動(dòng)壓力的調(diào)節(jié)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)滑移率的良好控制，其控制規(guī)律為

(18)

式中：pi為第i輪制動(dòng)壓力；KP為比例系數(shù)；KI為微分系數(shù)；KD為積分系數(shù)。在離線仿真模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了3個(gè)參數(shù)的匹配。

4.2.2 低附著路面有/無(wú)ABS轉(zhuǎn)向制動(dòng)仿真分析

基于7自由度整車模型和PID控制的ABS控制器，進(jìn)行低附著路面有/無(wú)ABS轉(zhuǎn)向制動(dòng)穩(wěn)定性評(píng)價(jià)。仿真工況為：低附著路面(附著系數(shù)為0.2)，初始制動(dòng)車速為60km/h，轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角為1.4rad。仿真結(jié)果如圖11～圖13所示。

由圖11可知，有ABS系統(tǒng)制動(dòng)過(guò)程與高附著路面制動(dòng)過(guò)程類似，可按駕駛員意圖完成轉(zhuǎn)向動(dòng)作。

同圖8，圖12中每個(gè)圓形虛線表明一個(gè)能量級(jí)，能量級(jí)越大對(duì)應(yīng)側(cè)向能量相對(duì)縱向能量比例越大，穩(wěn)定性越差。表2為有/無(wú)ABS轉(zhuǎn)向制動(dòng)能量相平面數(shù)據(jù)表，可定量進(jìn)行制動(dòng)方向穩(wěn)定性分析。結(jié)合圖表可知，無(wú)ABS時(shí)側(cè)向能量與縱向能量比值大約為有ABS時(shí)的3.4倍，且由縱坐標(biāo)可知，有ABS時(shí)轉(zhuǎn)向半徑較無(wú)ABS時(shí)小。

表2 有/無(wú)ABS能量相平面數(shù)據(jù)表

圖13為有/無(wú)ABS轉(zhuǎn)向制動(dòng)時(shí)β相平面圖。由圖可見(jiàn)，無(wú)ABS時(shí)系統(tǒng)很快失穩(wěn)，進(jìn)入非穩(wěn)定區(qū)域，而有ABS時(shí)，相軌跡隨著ABS作用，重新回到穩(wěn)定區(qū)域，表明ABS控制保證輪胎附著力，進(jìn)而起到了提高制動(dòng)方向穩(wěn)定性的功能，驗(yàn)證了β相平面對(duì)ABS評(píng)價(jià)的有效性。

5 結(jié)論

(1) 基于Matlab/Simulink搭建了7自由度整車模型和ABS控制器，應(yīng)用相平面法對(duì)制動(dòng)方向穩(wěn)定性進(jìn)行定量分析與評(píng)價(jià)，所用相平面法包括能量相平面和β相平面。

(2) 針對(duì)β相平面，基于鞍點(diǎn)與初始穩(wěn)定相點(diǎn)提出穩(wěn)定域與非穩(wěn)定域邊界函數(shù)的求解方法。

(3) 基于以上模型和分析方法，通過(guò)有/無(wú)ABS和高/低附著下的離線仿真，驗(yàn)證了相平面法定性判斷和定量分析制動(dòng)方向穩(wěn)定性的可行性和有效性。

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