朱廣富，徐 兵

(鹽城工學(xué)院 土木工程學(xué)院, 江蘇 鹽城 224055)

0 引 言

結(jié)構(gòu)損傷是引起結(jié)構(gòu)失效的主要原因，而裂紋的出現(xiàn)是損傷的主要表現(xiàn)形式[1]。大量的專家學(xué)者從實(shí)驗(yàn)角度研究結(jié)構(gòu)的損傷及斷裂，并取得一定成果。對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)，混凝土開裂是一個(gè)經(jīng)典結(jié)構(gòu)損傷問(wèn)題，伴隨著裂縫的擴(kuò)展會(huì)給結(jié)構(gòu)帶來(lái)不可恢復(fù)的損傷，甚至使結(jié)構(gòu)失去承載力。由于混凝土材料抗拉能力約為抗壓能力的1/10的特性，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免使混凝土結(jié)構(gòu)承受拉力作用使其最大限度發(fā)揮受壓性能[2]。通過(guò)眾多專家和學(xué)者的研究，目前從設(shè)計(jì)角度總結(jié)了大量的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)并制定了相關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范。

傳統(tǒng)有限元方法對(duì)結(jié)構(gòu)或者材料開裂通常通過(guò)細(xì)分網(wǎng)格后利用網(wǎng)格邊界模擬裂縫[3]。這種方法必須依靠單元的邊界而存在，裂縫的開展只能沿著單元邊界進(jìn)行，對(duì)于測(cè)裂縫開裂趨勢(shì)、裂縫的擴(kuò)展路徑都無(wú)法準(zhǔn)確的判斷。此外，密集的單元會(huì)造成計(jì)算成本增加[4]。

擴(kuò)展有限元法(XFEM)及其理論的出現(xiàn)，給裂縫的模擬仿真提供了一個(gè)新的發(fā)展方向。眾多的學(xué)者也借助于XFEM對(duì)工程問(wèn)題進(jìn)行了大量的分析，驗(yàn)證了XFEM是一種有效的工程斷裂問(wèn)題的仿真技術(shù)。XFEM實(shí)現(xiàn)了裂縫在單元內(nèi)部的任意傳播，克服了傳統(tǒng)方法的諸多缺陷[5-7]。

1 擴(kuò)展有限元法

擴(kuò)展有限元是一種新型的裂縫仿真分析的有限元理論，借助于水平集方法對(duì)于裂縫的擴(kuò)展進(jìn)行計(jì)算和仿真，能精確的描述單元內(nèi)部的裂縫間斷。

1.1 水平集函數(shù)

假設(shè)圖1中f(x)=0是位于兩個(gè)單元內(nèi)部的裂縫方程，其形式如圖1。

圖1 包含裂縫的單元Fig.1 Element with the crack

(1)

當(dāng)x處于裂縫位置時(shí)，f(x)=0，當(dāng)x處于其他位置時(shí)，則根據(jù)裂縫的相對(duì)位置判斷f(x)的正負(fù)[8-10]。

1.2 擴(kuò)充形函數(shù)

XFEM中的形函數(shù)包括3部分，其主要形式(圖2)如下：

(2)

圖2 XFEM擴(kuò)充單元Fig.2 Enriched element of XFEM

1.3 XFEM的基本方程

XFEM求解方程中的最大難點(diǎn)在于對(duì)不連續(xù)的形函數(shù)進(jìn)行場(chǎng)積分，在有限元中一般采用子區(qū)域積分法進(jìn)行積分，最終的方程形式為：

(3)

式中：u和q指的是單元的節(jié)點(diǎn)自由度和由于單元內(nèi)部的不連續(xù)引發(fā)的附加自由度；M是質(zhì)量矩陣；K為整體剛度矩陣，由材料剛度和集合剛度兩部分組成[8-10]。

2 混凝土材料

混凝土材料是一種準(zhǔn)脆性材料，其特征是對(duì)拉應(yīng)力特別敏感,當(dāng)材料一經(jīng)開裂就立即失穩(wěn)擴(kuò)展,裂紋尖端進(jìn)入塑性屈服狀態(tài)的區(qū)域很小。Hillerborg提出了如下假設(shè)來(lái)分析混凝土的非線性斷裂[9]：

1)材料是彈性的，當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到混凝土材料的拉伸強(qiáng)度f(wàn)t時(shí)，裂紋開始產(chǎn)生,切裂縫的方向垂直于最大拉應(yīng)力方向;

2)混凝土達(dá)到拉伸強(qiáng)度產(chǎn)生新裂紋后，裂尖后存在虛擬裂縫區(qū)，該區(qū)域裂紋表面應(yīng)力不為0，而為裂紋張開位移的單調(diào)遞減函數(shù)。裂縫表面應(yīng)力隨裂紋張開位移遞減的關(guān)系稱為軟化律，其斷裂區(qū)單位面積吸收的能量都等于混凝土的斷裂能Gf，即：

(4)

3 受彎構(gòu)件的受力計(jì)算

受彎構(gòu)件主要承受彎矩作用，是土木工程中最普遍的構(gòu)件，也是建筑結(jié)構(gòu)中承受荷載和傳遞荷載的重要部分。由于在梁的設(shè)計(jì)過(guò)程中需要滿足承載力極限狀態(tài)和正常使用極限狀態(tài)的要求，梁的正截面受彎承載力設(shè)計(jì)值就必須大于彎矩的設(shè)計(jì)值，由于混凝土材料的抗拉承載力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于抗壓承載力，因此在混凝土梁中需要配置一定數(shù)量的鋼筋使得正截面內(nèi)配置的受拉鋼筋抵消結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎曲正應(yīng)力[10]。

3.1 分析1——四點(diǎn)彎曲梁的非線性仿真

借助于有限元工具ABAQUS建立適筋鋼筋混凝土梁的四點(diǎn)彎曲有限元模型(圖3)。其中：混凝土的彈性模量為29.5 GPa，泊松比為0.2，抗壓強(qiáng)度為24 MPa，抗拉強(qiáng)度2.4 MPa，采用彌散塑性損傷模型本構(gòu)關(guān)系。鋼材彈性模量為190 GPa，泊松比為0.3，屈服強(qiáng)度為210 MPa。各材料材質(zhì)均勻，并不含有初始缺陷。所施加荷載由Midas/Building按四點(diǎn)彎曲計(jì)算得到，符合混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)相關(guān)規(guī)范要求。其變形后梁體和內(nèi)部鋼筋的應(yīng)力如圖4。

圖3 四點(diǎn)彎曲梁Fig.3 Four points bending beam

圖4 四點(diǎn)彎曲梁及其應(yīng)力Fig.4 Stress model of 4-points bending girder

3.2 分析2——四點(diǎn)彎曲梁的開裂模擬

結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)及材料參數(shù)如前，其中混凝土斷裂能為120 N/m,彈性模量折減系數(shù)為0.01，損傷穩(wěn)定性參數(shù)為0.000 1。選用最大主應(yīng)力判斷準(zhǔn)則，即當(dāng)單元有任一gauss點(diǎn)的最大主應(yīng)力超過(guò)抗拉強(qiáng)度24 MPa時(shí)，單元發(fā)生破裂。所施加荷載由Midas/Building按四點(diǎn)彎曲計(jì)算得到，符合混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)相關(guān)規(guī)范要求。結(jié)構(gòu)開裂方向與單元平均應(yīng)力的最大主應(yīng)力方向垂直且貫穿整個(gè)梁底部。計(jì)算模型中不考慮結(jié)構(gòu)帶有任何的初始裂縫，即裂縫僅是因?yàn)槭芰ψ饔?，由材料的?qiáng)度和斷裂準(zhǔn)則判斷其位置。通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)變形后在跨中彎矩最大處隨機(jī)出現(xiàn)了8條裂縫，如圖5。

圖5 梁彎曲開裂及其應(yīng)力Fig.5 Stress model of girder after crack

4 有限元仿真結(jié)果與討論

對(duì)比圖4、圖5可以發(fā)現(xiàn)兩次仿真過(guò)程中，從應(yīng)力分布的角度來(lái)看梁的應(yīng)力分布形式大致相同，但是由于分析2中的混凝土在受拉區(qū)出現(xiàn)了裂縫，使得梁中性軸上移，梁底部的受拉區(qū)也隨之上移。從梁的應(yīng)力云圖上來(lái)看，考慮混凝土開裂后的內(nèi)部鋼筋應(yīng)力屈服程度比非線性梁要明顯，這也符合結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中配置鋼筋的目的，即在混凝土開裂后由鋼筋承受彎矩所產(chǎn)生的彎曲正應(yīng)力[10]。

4.1 非線性分析結(jié)果分析

從非線性分析的結(jié)果中選取跨中混凝土和鋼筋的拉壓節(jié)點(diǎn)分別繪制撓度應(yīng)力曲線(圖6)。由圖6(a)可得，受拉區(qū)混凝土的應(yīng)力達(dá)到抗拉極限后，由于未考慮單元失效的影響使其繼續(xù)承受拉伸應(yīng)力作用，在混凝土抗拉本構(gòu)關(guān)系作用下表現(xiàn)為下降段；受壓區(qū)的混凝土承受壓應(yīng)力作用，表現(xiàn)為上升段直至混凝土壓應(yīng)力達(dá)到抗壓極限。圖6(b)中鋼筋受力形態(tài)和混凝土相一致，在受拉區(qū)混凝土達(dá)到抗拉強(qiáng)度后拉力主要由鋼筋承擔(dān)，且伴隨著位移增加，拉應(yīng)力增大直至抗拉強(qiáng)度。受壓區(qū)鋼筋的應(yīng)力伴隨著混凝土壓應(yīng)力同步增長(zhǎng)，在混凝土達(dá)到抗壓強(qiáng)度時(shí)鋼筋仍未達(dá)到屈服極限。

圖6 撓度應(yīng)力曲線Fig.6 Deflection stress curve

4.2 混凝土開裂分析結(jié)果

跨中受拉區(qū)混凝土的開裂模式如圖7，伴隨著裂縫的擴(kuò)展，結(jié)構(gòu)的中性軸逐步上移。

圖7 梁的裂縫擴(kuò)展Fig.7 Extent of crack

由于初始結(jié)構(gòu)中不含預(yù)設(shè)裂縫，初始裂縫的出現(xiàn)是由混凝土的斷裂準(zhǔn)則判斷的，此時(shí)在最大拉應(yīng)力區(qū)初始裂縫的位置是隨機(jī)的。初始裂縫出現(xiàn)后，伴隨著外部荷載的增加，受拉區(qū)所承受的彎曲拉應(yīng)力增大，使得裂縫擴(kuò)展，從圖7中觀察可得梁的最大裂縫深度超過(guò)梁高的1/2。從圖7中觀察發(fā)現(xiàn)裂縫的擴(kuò)展是隨機(jī)的，符合實(shí)際中裂縫擴(kuò)展的情況。但是這種隨機(jī)的裂縫擴(kuò)展會(huì)導(dǎo)致同一單元中出現(xiàn)多條裂縫的現(xiàn)象發(fā)生，此時(shí)水平集條件不滿足，XFEM退出計(jì)算。

提取跨中混凝土和鋼筋的撓度應(yīng)力曲線(圖8)。其中由于XFEM參數(shù)中只考慮混凝土彈性條件下的最大應(yīng)力開裂問(wèn)題，所以混凝土拉壓區(qū)的應(yīng)力皆為線性變化。由于混凝土的開裂，中性軸上移，且開裂后的混凝土不能承受彎曲拉應(yīng)力的作用，因此彎曲拉應(yīng)力由內(nèi)部鋼筋承擔(dān)，從圖5(b)中可以觀察到最終表現(xiàn)為受拉區(qū)和受壓區(qū)鋼筋達(dá)到拉壓極限，對(duì)比圖4發(fā)現(xiàn)，利用XFEM仿真得到的結(jié)果接近于真實(shí)情況下的適筋梁的配置要求，即在混凝土開裂后受拉區(qū)的拉應(yīng)力主要由鋼筋承擔(dān)，最終得到的拉壓區(qū)的鋼筋應(yīng)力符合適筋梁配筋的設(shè)計(jì)要求。

圖8 開裂梁撓度應(yīng)力曲線Fig.8 Deflection stress curve of beam after crack

4.3 結(jié)果對(duì)比

通過(guò)上述分析，發(fā)現(xiàn)兩種方法對(duì)鋼筋混凝土適筋梁的計(jì)算都是有效的，其結(jié)果在某種程度上都是有意義的。但是由于XFEM算法的局限性，混凝土材料只考慮彈性本構(gòu)，在結(jié)果中表現(xiàn)為拉壓區(qū)的應(yīng)力皆為線性變化，但是對(duì)于考慮混凝土開裂即裂縫擴(kuò)展趨勢(shì)的預(yù)測(cè)是準(zhǔn)確和可靠的；在結(jié)果中考慮混凝土開裂后，鋼筋的應(yīng)力變化更符合實(shí)際情況，并且驗(yàn)證了鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中關(guān)于鋼筋混凝土配筋的原則要求，即最大程度的發(fā)揮鋼筋和混凝土兩種材料的性能使其同時(shí)達(dá)到破壞極限。

5 結(jié) 論

筆者借助于有限元程序ABAQUS中非線性和XFEM裂縫算法計(jì)算了四點(diǎn)彎曲的適筋梁在承受荷載作用下的變化規(guī)律，通過(guò)對(duì)比分析得到如下結(jié)論：

1)計(jì)算所使用的四點(diǎn)彎曲梁在計(jì)算前曾經(jīng)過(guò)Midas/Building校核，符合混凝土結(jié)構(gòu)原理中適筋梁的要求。

2)兩種方法都能夠計(jì)算得到鋼筋混凝土梁在承受荷載作用下應(yīng)力、應(yīng)變和變形的發(fā)展，其變化程度和實(shí)際所測(cè)相符合。由于XFEM考慮了斷裂的影響，其結(jié)果更加接近真實(shí)值。

3)擴(kuò)展有限元法能夠更好的解決傳統(tǒng)有限元方法中對(duì)于裂縫模擬的不足，通過(guò)仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)變形后鋼筋的應(yīng)力變化規(guī)律，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)規(guī)范的要求，即合理的利用材料特性，使受彎梁破壞時(shí)鋼筋同時(shí)達(dá)到拉壓極限的要求。

4)由于在仿真過(guò)程中沒(méi)有預(yù)設(shè)裂縫，所有裂縫的出現(xiàn)都是隨機(jī)，中間考慮到裂縫擴(kuò)展出現(xiàn)了水平集條件失效的問(wèn)題未能分析至整梁的開裂。由于裂縫出現(xiàn)的隨機(jī)性，其結(jié)果更加符合實(shí)際情況的需要。這也從另外一個(gè)方面驗(yàn)證了XFEM算法對(duì)于隨機(jī)開裂問(wèn)題的有效性，也是首次對(duì)不含預(yù)設(shè)裂縫結(jié)構(gòu)的損傷行為的嘗試。

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