蘇文旭
【摘 要】一元二次方程應(yīng)用歸納 解法 舉例 總結(jié)
【關(guān)鍵詞】一元二次方程應(yīng)用 題型歸類
在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中,應(yīng)用題的教學(xué)是一個(gè)難點(diǎn),一元二次方程的應(yīng)用也不例外是一個(gè),在近幾年的中考中時(shí)時(shí)刻刻困擾著學(xué)生,下面我就一元二次方程的應(yīng)用做一個(gè)歸納。僅供參考:
應(yīng)用一元二次解決實(shí)際問題有下面常見的幾種類型:
增長率或降低率問題:
關(guān)于一元二次方程應(yīng)用題中的增長(降低)率問題,根據(jù)相等關(guān)系,多渠道籌措會得出基本關(guān)系式為: a(1±x)2=b,
套用公式a(1±x)2=b,注:(1)a是初始量,b是連續(xù)增長兩次或連續(xù)降低兩次的量,x為百分率,“+”為增長,“-”為降低;(2)解的過程用直接開平方法,無論是增長的百分率還是降低的百分率都是正值,把負(fù)值舍去。
青山村種的水稻2001年平均每公頃產(chǎn)7200kg,2003年平均每公頃產(chǎn)8712kg,求水稻每公頃產(chǎn)量的平均增長率。
解:設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的平均增長率為x,于是有
7200(1+x)2=8712
解方程,得
x1=0.1=10%, x2=-2.1(舍去)
根據(jù)問題的實(shí)際意義,水稻每公頃產(chǎn)量的平均增長率為10%。
這類問題在現(xiàn)實(shí)世界中有許多原形,它可以用一元二次方程作為數(shù)學(xué)模型,設(shè)平均變化率為x,則有下列關(guān)系
變化前數(shù)量×(1+x)2=變化后數(shù)量
營銷問題:
問題背景是商品買賣中的定價(jià)、銷量、利潤的關(guān)系,其中定價(jià)的高低直接影響到銷量的變化,價(jià)格降低,銷量增加;價(jià)格升高,銷量減少,進(jìn)而會引起利潤和管理成本的變化,主要數(shù)量關(guān)系由售價(jià)、成本、銷量、利潤四部分組成。
百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn):某品牌童裝平均每天可售出20件,每件盈利40元,為了迎 “六一”國際兒童節(jié),商場決定采取降價(jià)措施,擴(kuò)大銷售量,增加盈利,減少庫存,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果每件童裝降價(jià)1元,那么平均每天就可多售2件,要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元,那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元?
解:設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)x元,于是有:
(40-x)(20+2x)=1200 即 x2-30x+200=0
解方程,得 x1=20, x2=10
根據(jù)題意,因?yàn)橐獢U(kuò)大銷售量,增加盈利,減少庫存,所以x=20。
方程的兩個(gè)根都是正數(shù),但它們并不都適合問題的解,必須根據(jù)它們的值來確定哪個(gè)合乎實(shí)際,這種取舍選擇要考慮問題的實(shí)際意義,教學(xué)中應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識與實(shí)際問題結(jié)合的能力。
幾何問題:
與幾何問題有關(guān)的一元二次方程應(yīng)用題主要有兩類:(1)幾何圖形的面積問題:這類問題的面積公式的等量關(guān)系,如果圖形不規(guī)則,應(yīng)分割或組合成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關(guān)系,再運(yùn)用規(guī)則圖形的面積公式找出等量關(guān)系列出方程。(2)勾股定理問題:直角三角形的兩直角邊的平方等于斜邊的平方是這類問題的等量關(guān)系。
下面是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個(gè)問題:“直天積(矩形面積),八百六十四步,(平方步),只云闊(寬)不及長一十二步,(寬比長少一十二步,問闊及長各幾步?
解:設(shè)闊(寬)x步,則長為(x+12)步,
根據(jù)題意,列出方程:
x(x+12)=864
即 x2+12x-864=0
解方程,得 x1=24, x2=-36(舍去)
答:矩形的闊(寬)為24步,長為36步。
與幾何圖形有關(guān)的一元二次方程的應(yīng)用題主要是將數(shù)字及數(shù)字間的關(guān)系隱蔽在圖形中,用圖形表示出來,這樣的圖形主要有三角形、四邊形,涉及三角形的三邊關(guān)系、三角形全等、面積的計(jì)算、體積的計(jì)算、勾股定理等。解決這類問題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題數(shù)字化,這就要求我們認(rèn)真分析題意,先把實(shí)際問題中的已知條件與未知條件歸結(jié)到某一個(gè)幾何圖形中,然后用幾何定理來尋找它們之間的關(guān)系,列出一個(gè)相關(guān)的一元二次方程,從而問題得以解決。
數(shù)字問題:利用一元二次方程解決數(shù)字問題的關(guān)鍵是正確而巧妙地設(shè)未知數(shù),一般采用直接設(shè)未知數(shù)的方法。
一個(gè)兩位數(shù),個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3,個(gè)位數(shù)字的平方剛好等于這個(gè)兩位數(shù),求這個(gè)兩位數(shù)。
解:設(shè)十位數(shù)字為x,則個(gè)位數(shù)字為x+3,于是有:
(x+3)2=10x+x+3
解方程,得 x1=2, x2=3
根據(jù)題意,x1, x2都是方程的解
所以這個(gè)兩位數(shù)是52或63
方法技巧:從文字語言中找出存在的相等關(guān)系
注意:做一元二次方程的應(yīng)用這些題目時(shí),首先要正確地設(shè)未知數(shù)并列出方程,然后正確地解方程,所以要對這類問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w納,但不要搞成偏重死記硬背題型的教學(xué)方式,要教會學(xué)生分析問題的能力。
本內(nèi)容的背景和表達(dá)都比較貼近實(shí)際,其中的有些數(shù)量關(guān)系比較隱蔽,所以在探究過程中正確地建立一元二次方程是主要難點(diǎn),突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是弄清問題背景,把有關(guān)數(shù)量關(guān)系分析透徹,特別是找出可以作為列方程依據(jù)的主要相等關(guān)系。
經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程,探索問題中的數(shù)量關(guān)系,并能運(yùn)用一元二次方程對之進(jìn)行描述。
通過對一元二次方程解決身邊問題,體會數(shù)學(xué)知識的價(jià)值,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,了解數(shù)學(xué)對促進(jìn)社會進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用;學(xué)會將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,體驗(yàn)解決問題策略的多樣性,發(fā)展實(shí)踐應(yīng)用能力。
本內(nèi)容是以列一元二次方程解應(yīng)用題為中心,深入探究數(shù)量關(guān)系,提高學(xué)生應(yīng)用方程分析解決問題的能力,強(qiáng)調(diào)解題應(yīng)用,使學(xué)生體會解題方法的多樣性,開闊解題思路,優(yōu)化解題方法,并增強(qiáng)擇優(yōu)能力,讓學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中學(xué)習(xí),獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。endprint