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      “至多”或“至少”型計(jì)數(shù)題解答策略

      2014-03-10 08:36:55戴三紅
      關(guān)鍵詞:內(nèi)科醫(yī)生腦外科筆筒

      戴三紅

      提問: 在計(jì)數(shù)問題中,經(jīng)常有“至多”“至少”“不都”等詞語出現(xiàn).一看到這些詞,我就頭腦混亂,弄不清它們到底是什么意思……

      回答: 排列組合問題中,“至多”“至少”這類詞語是許多同學(xué)的困擾.要想準(zhǔn)確理解題意,首先要理解這些詞語的含義.

      至少: 表示最小限度、不少于,即“大于或等于”.

      例如,從5名女生和5名男生中選4人參賽,至少有2名女生被選中,表示被選中的女生人數(shù)大于或等于2名,即女生人數(shù)可能為2名、3名或4名.

      至多: 表示最大限度、不超過,即“小于或等于”.

      例如,從5名女生和5名男生中選4人參賽,至多有2名女生被選中,表示被選中的女生人數(shù)小于或等于2名,即女生可能為2名、1名或沒有.

      在準(zhǔn)確理解這些詞的含義后,就需要掌握解題方法.通常我們可以采用“分類討論直接計(jì)算”和“考慮反面情形間接計(jì)算”兩種方法處理這類問題.

      例1 [2013年湖州市高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(理科)第14題]將7支不同的筆全部放入兩個(gè)不同的筆筒中,每個(gè)筆筒中至少放2支筆,有 種不同的放法(用數(shù)字作答).

      解析: 例1含有的不確定因素是“每個(gè)筆筒中至少放2支筆”,具體哪個(gè)筆筒放幾支不明確.我們將這一不確定因素轉(zhuǎn)化為幾類明確的情形:兩個(gè)筆筒中分別放2支筆和5支筆、3支筆和4支筆、4支筆和3支筆、5支筆和2支筆.因此所求的放法有+++=2(+)=2×(21+35)=112種.

      點(diǎn)評: 在例1中,我們采用分類討論直接計(jì)算的方法,將不確定因素轉(zhuǎn)化為幾類確定的、可計(jì)數(shù)的情形,這樣的處理使得題意更為清晰,便于逐類解答問題.

      例2 [2013年高考數(shù)學(xué)重慶卷(理科)第13題] 從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1個(gè)人的選派方法有 種(用數(shù)字作答).

      解析: 從12名醫(yī)生中不加限制隨意選派5名醫(yī)生的方法有種.1名內(nèi)科醫(yī)生都不選,只從3名骨科和4名腦外科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種;1名腦外科醫(yī)生都不選,只從3名骨科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種;1名骨科醫(yī)生都不選,只從4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種.其中后兩類中有重復(fù)的選派法:選派的5人都是內(nèi)科醫(yī)生.由此可得每個(gè)科至少有1人的選派方法有:

      -(++-1)=792-(21+56+126-1)=590種.

      點(diǎn)評: 其實(shí)我們也可以采用分類討論直接計(jì)算的方法,將選派的5名醫(yī)生明確分為六類: 1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生;1名骨科、2名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生;1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生;2名骨科、1名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生;2名骨科、2名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生;3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生,可得+++++=590種.

      在將不確定因素轉(zhuǎn)化后得到的確定情形較多的情況下,直接分類討論法會(huì)使解題過程煩瑣,因此,在這種情況下,可以考慮反面情形進(jìn)行間接計(jì)算,提高效率.

      不管是運(yùn)用直接分類討論法還是考慮反面情形間接計(jì)算,其實(shí)質(zhì)都是為了消除不確定因素,將不確定的問題轉(zhuǎn)化為確定的情形,方便求解.

      提問: 在計(jì)數(shù)問題中,經(jīng)常有“至多”“至少”“不都”等詞語出現(xiàn).一看到這些詞,我就頭腦混亂,弄不清它們到底是什么意思……

      回答: 排列組合問題中,“至多”“至少”這類詞語是許多同學(xué)的困擾.要想準(zhǔn)確理解題意,首先要理解這些詞語的含義.

      至少: 表示最小限度、不少于,即“大于或等于”.

      例如,從5名女生和5名男生中選4人參賽,至少有2名女生被選中,表示被選中的女生人數(shù)大于或等于2名,即女生人數(shù)可能為2名、3名或4名.

      至多: 表示最大限度、不超過,即“小于或等于”.

      例如,從5名女生和5名男生中選4人參賽,至多有2名女生被選中,表示被選中的女生人數(shù)小于或等于2名,即女生可能為2名、1名或沒有.

      在準(zhǔn)確理解這些詞的含義后,就需要掌握解題方法.通常我們可以采用“分類討論直接計(jì)算”和“考慮反面情形間接計(jì)算”兩種方法處理這類問題.

      例1 [2013年湖州市高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(理科)第14題]將7支不同的筆全部放入兩個(gè)不同的筆筒中,每個(gè)筆筒中至少放2支筆,有 種不同的放法(用數(shù)字作答).

      解析: 例1含有的不確定因素是“每個(gè)筆筒中至少放2支筆”,具體哪個(gè)筆筒放幾支不明確.我們將這一不確定因素轉(zhuǎn)化為幾類明確的情形:兩個(gè)筆筒中分別放2支筆和5支筆、3支筆和4支筆、4支筆和3支筆、5支筆和2支筆.因此所求的放法有+++=2(+)=2×(21+35)=112種.

      點(diǎn)評: 在例1中,我們采用分類討論直接計(jì)算的方法,將不確定因素轉(zhuǎn)化為幾類確定的、可計(jì)數(shù)的情形,這樣的處理使得題意更為清晰,便于逐類解答問題.

      例2 [2013年高考數(shù)學(xué)重慶卷(理科)第13題] 從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1個(gè)人的選派方法有 種(用數(shù)字作答).

      解析: 從12名醫(yī)生中不加限制隨意選派5名醫(yī)生的方法有種.1名內(nèi)科醫(yī)生都不選,只從3名骨科和4名腦外科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種;1名腦外科醫(yī)生都不選,只從3名骨科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種;1名骨科醫(yī)生都不選,只從4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種.其中后兩類中有重復(fù)的選派法:選派的5人都是內(nèi)科醫(yī)生.由此可得每個(gè)科至少有1人的選派方法有:

      -(++-1)=792-(21+56+126-1)=590種.

      點(diǎn)評: 其實(shí)我們也可以采用分類討論直接計(jì)算的方法,將選派的5名醫(yī)生明確分為六類: 1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生;1名骨科、2名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生;1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生;2名骨科、1名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生;2名骨科、2名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生;3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生,可得+++++=590種.

      在將不確定因素轉(zhuǎn)化后得到的確定情形較多的情況下,直接分類討論法會(huì)使解題過程煩瑣,因此,在這種情況下,可以考慮反面情形進(jìn)行間接計(jì)算,提高效率.

      不管是運(yùn)用直接分類討論法還是考慮反面情形間接計(jì)算,其實(shí)質(zhì)都是為了消除不確定因素,將不確定的問題轉(zhuǎn)化為確定的情形,方便求解.

      提問: 在計(jì)數(shù)問題中,經(jīng)常有“至多”“至少”“不都”等詞語出現(xiàn).一看到這些詞,我就頭腦混亂,弄不清它們到底是什么意思……

      回答: 排列組合問題中,“至多”“至少”這類詞語是許多同學(xué)的困擾.要想準(zhǔn)確理解題意,首先要理解這些詞語的含義.

      至少: 表示最小限度、不少于,即“大于或等于”.

      例如,從5名女生和5名男生中選4人參賽,至少有2名女生被選中,表示被選中的女生人數(shù)大于或等于2名,即女生人數(shù)可能為2名、3名或4名.

      至多: 表示最大限度、不超過,即“小于或等于”.

      例如,從5名女生和5名男生中選4人參賽,至多有2名女生被選中,表示被選中的女生人數(shù)小于或等于2名,即女生可能為2名、1名或沒有.

      在準(zhǔn)確理解這些詞的含義后,就需要掌握解題方法.通常我們可以采用“分類討論直接計(jì)算”和“考慮反面情形間接計(jì)算”兩種方法處理這類問題.

      例1 [2013年湖州市高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(理科)第14題]將7支不同的筆全部放入兩個(gè)不同的筆筒中,每個(gè)筆筒中至少放2支筆,有 種不同的放法(用數(shù)字作答).

      解析: 例1含有的不確定因素是“每個(gè)筆筒中至少放2支筆”,具體哪個(gè)筆筒放幾支不明確.我們將這一不確定因素轉(zhuǎn)化為幾類明確的情形:兩個(gè)筆筒中分別放2支筆和5支筆、3支筆和4支筆、4支筆和3支筆、5支筆和2支筆.因此所求的放法有+++=2(+)=2×(21+35)=112種.

      點(diǎn)評: 在例1中,我們采用分類討論直接計(jì)算的方法,將不確定因素轉(zhuǎn)化為幾類確定的、可計(jì)數(shù)的情形,這樣的處理使得題意更為清晰,便于逐類解答問題.

      例2 [2013年高考數(shù)學(xué)重慶卷(理科)第13題] 從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1個(gè)人的選派方法有 種(用數(shù)字作答).

      解析: 從12名醫(yī)生中不加限制隨意選派5名醫(yī)生的方法有種.1名內(nèi)科醫(yī)生都不選,只從3名骨科和4名腦外科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種;1名腦外科醫(yī)生都不選,只從3名骨科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種;1名骨科醫(yī)生都不選,只從4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5名醫(yī)生的方法有種.其中后兩類中有重復(fù)的選派法:選派的5人都是內(nèi)科醫(yī)生.由此可得每個(gè)科至少有1人的選派方法有:

      -(++-1)=792-(21+56+126-1)=590種.

      點(diǎn)評: 其實(shí)我們也可以采用分類討論直接計(jì)算的方法,將選派的5名醫(yī)生明確分為六類: 1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生;1名骨科、2名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生;1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生;2名骨科、1名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生;2名骨科、2名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生;3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生,可得+++++=590種.

      在將不確定因素轉(zhuǎn)化后得到的確定情形較多的情況下,直接分類討論法會(huì)使解題過程煩瑣,因此,在這種情況下,可以考慮反面情形進(jìn)行間接計(jì)算,提高效率.

      不管是運(yùn)用直接分類討論法還是考慮反面情形間接計(jì)算,其實(shí)質(zhì)都是為了消除不確定因素,將不確定的問題轉(zhuǎn)化為確定的情形,方便求解.

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