朱明芬

經(jīng)驗是數(shù)學的基礎，問題是數(shù)學的心臟，思考是數(shù)學的核心，發(fā)展是數(shù)學的目標，思想方法是數(shù)學的靈魂，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁. 在概率知識中蘊含著豐富的數(shù)學思想，運用這些數(shù)學思想，不僅可使我們深刻理解和掌握概率的基礎知識，而且可以使我們學會用數(shù)學思想進行推理，為解決數(shù)學問題起到促進和深化的作用.

一、 建模思想

經(jīng)過七年級、八年級的學習，我們已經(jīng)具備了一些概率模型，如拋硬幣、摸小球、擲骰子等，現(xiàn)實生活中抓鬮、抽簽等問題都可以轉(zhuǎn)化為這樣的數(shù)學模型，這樣我們就可以用列表法或者畫樹狀圖的方法列出等可能的各種結(jié)果，求出隨機事件的概率，從而也可判斷游戲的公平性. 想一想，下面的問題可以轉(zhuǎn)化為怎樣的數(shù)學模型呢？

例1 只有一張電影票，小明和小麗用抽簽的方法來決定誰可以去看電影，于是準備了兩張相同的小紙條，一張寫“去”，另一張寫“不去”，誰抽到“去”，則這個人就去看電影，這種方法公平嗎？

例2 我們用抽簽的方法從3名同學中選一名去參加某音樂會. 事先準備3張相同的小紙條，并在1張紙條上畫上記號，其余兩張紙條不畫. 把3張紙條放在一個盒子中攪勻，然后讓3名同學去摸紙條，這種方法公平嗎？

【分析】例1實際上就是：拋一枚硬幣，求正面朝上（或反面朝上）的概率問題；例2可以轉(zhuǎn)化為摸球問題，如：一只小袋子裝有兩個白球和一個紅球，這三個球除了顏色外完全一樣.甲、乙、丙三人依次從袋子中摸出一個球，求每人摸到紅球的概率.

二、 數(shù)形結(jié)合的思想

有關(guān)概率的問題層出不窮，解決的方法也多種多樣，我們常用的方法是列舉法，即用列表或畫樹狀圖的方法來解決問題，這種圖文并茂的解題方法直觀形象地展示了隨機事件的所有等可能結(jié)果，可以說是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)，而現(xiàn)在又出現(xiàn)了很多概率問題與幾何知識相結(jié)合的例子，真可謂是“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔斷分家萬事難”.

例3 如圖，在方格紙中，△ABC的三個頂點及D，E，F(xiàn)，G，H五個點分別位于小正方形的頂點上.

（1） 現(xiàn)以D，E，F(xiàn)，G，H中的三個點為頂點畫三角形，在所畫的三角形中與△ABC不全等但面積相等的三角形是______；（只需要填一個三角形）

（2） 先從D，E兩個點中任意取一個點，再從F，G，H三個點中任意取兩個不同的點，以所取的這三個點為頂點畫三角形，求所畫三角形與△ABC面積相等的概率（用畫樹狀圖或列表格求解）.

【分析】（1） ∵△ABC的面積為×3×4=6，只有△DFG或△DHF的面積也為6且不與△ABC全等，故填△DFG或△DHF；

（2） 畫樹狀圖：

由樹狀圖可知：共有六種等可能的結(jié)果，其中與△ABC面積相等的三角形有3種，即：△DFG、△DHF、△EGF，所以所畫三角形與△ABC面積相等的概率P==.

三、 方程思想

方程思想是數(shù)學解題的重要思想方法，在解決概率問題時，如能根據(jù)題目中所給的數(shù)量關(guān)系，列出方程或方程組，則可使問題圓滿解決.

例4 不透明的口袋里裝有紅、黃、藍三種顏色的小球（除顏色外其余都相同），其中紅球有兩個，藍球有一個，現(xiàn)從中任意摸出一個是紅球的概率為.

（1） 求袋中黃球的個數(shù)；

（2） 第一次摸出一個球（不放回），第二次再摸一個球，請用畫樹狀圖或列表法求兩次摸到都是紅球的概率；

（3） 若規(guī)定摸到紅球得5分，摸到黃球得3分，摸到藍球得1分，小明共摸6次小球（每次摸一個球，摸后放回）得20分，問小明有哪幾種摸法？

【分析】（1） 設口袋中黃球的個數(shù)為未知數(shù)m，根據(jù)摸到紅球的概率=，列方程=，解得m=1；

（2） 通過列表或畫樹狀圖來計算兩次都摸到紅球的概率為；

（3） 設小明摸到紅球有x次，摸到黃球有y次，則摸到藍球有（6-x-y）次，根據(jù)摸到三種球的分數(shù)和等于20，列出關(guān)于x、y的二元一次方程5x+3y+（6-x-y）=20，即2x+y=7，所以y=7-2x，然后討論二元一次方程組的自然數(shù)解的個數(shù)來確定摸法種數(shù). 因為x、y、6-x-y均為自然數(shù)，當x=1時，y=5，6-x-y=0；當x=2時，y=3，6-x-y=1；當x=3時，y=1，6-x-y=2. 綜上，小明共有三種摸法：摸到紅、黃、藍三種球分別為1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次.

在“有形”的數(shù)學知識中，蘊含著“無形”的數(shù)學思想方法. 數(shù)學知識是一條明線，寫在教材里；數(shù)學思想方法是一條暗線，體現(xiàn)在知識與技能的形成過程中. 若我們能在解決問題的過程中充分發(fā)揮數(shù)學思想方法的解題功能，不僅可少走彎路，而且還可大大提高我們的數(shù)學能力與綜合素質(zhì). 通過以上問題的闡述，你是否已經(jīng)掌握了這把開啟數(shù)學神奇之門的金鑰匙呢？

（作者單位：常熟市孝友中學）

經(jīng)驗是數(shù)學的基礎，問題是數(shù)學的心臟，思考是數(shù)學的核心，發(fā)展是數(shù)學的目標，思想方法是數(shù)學的靈魂，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁. 在概率知識中蘊含著豐富的數(shù)學思想，運用這些數(shù)學思想，不僅可使我們深刻理解和掌握概率的基礎知識，而且可以使我們學會用數(shù)學思想進行推理，為解決數(shù)學問題起到促進和深化的作用.

一、 建模思想

經(jīng)過七年級、八年級的學習，我們已經(jīng)具備了一些概率模型，如拋硬幣、摸小球、擲骰子等，現(xiàn)實生活中抓鬮、抽簽等問題都可以轉(zhuǎn)化為這樣的數(shù)學模型，這樣我們就可以用列表法或者畫樹狀圖的方法列出等可能的各種結(jié)果，求出隨機事件的概率，從而也可判斷游戲的公平性. 想一想，下面的問題可以轉(zhuǎn)化為怎樣的數(shù)學模型呢？

例1 只有一張電影票，小明和小麗用抽簽的方法來決定誰可以去看電影，于是準備了兩張相同的小紙條，一張寫“去”，另一張寫“不去”，誰抽到“去”，則這個人就去看電影，這種方法公平嗎？

例2 我們用抽簽的方法從3名同學中選一名去參加某音樂會. 事先準備3張相同的小紙條，并在1張紙條上畫上記號，其余兩張紙條不畫. 把3張紙條放在一個盒子中攪勻，然后讓3名同學去摸紙條，這種方法公平嗎？

【分析】例1實際上就是：拋一枚硬幣，求正面朝上（或反面朝上）的概率問題；例2可以轉(zhuǎn)化為摸球問題，如：一只小袋子裝有兩個白球和一個紅球，這三個球除了顏色外完全一樣.甲、乙、丙三人依次從袋子中摸出一個球，求每人摸到紅球的概率.

二、 數(shù)形結(jié)合的思想

有關(guān)概率的問題層出不窮，解決的方法也多種多樣，我們常用的方法是列舉法，即用列表或畫樹狀圖的方法來解決問題，這種圖文并茂的解題方法直觀形象地展示了隨機事件的所有等可能結(jié)果，可以說是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)，而現(xiàn)在又出現(xiàn)了很多概率問題與幾何知識相結(jié)合的例子，真可謂是“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔斷分家萬事難”.

例3 如圖，在方格紙中，△ABC的三個頂點及D，E，F(xiàn)，G，H五個點分別位于小正方形的頂點上.

（1） 現(xiàn)以D，E，F(xiàn)，G，H中的三個點為頂點畫三角形，在所畫的三角形中與△ABC不全等但面積相等的三角形是______；（只需要填一個三角形）

（2） 先從D，E兩個點中任意取一個點，再從F，G，H三個點中任意取兩個不同的點，以所取的這三個點為頂點畫三角形，求所畫三角形與△ABC面積相等的概率（用畫樹狀圖或列表格求解）.

【分析】（1） ∵△ABC的面積為×3×4=6，只有△DFG或△DHF的面積也為6且不與△ABC全等，故填△DFG或△DHF；

（2） 畫樹狀圖：

由樹狀圖可知：共有六種等可能的結(jié)果，其中與△ABC面積相等的三角形有3種，即：△DFG、△DHF、△EGF，所以所畫三角形與△ABC面積相等的概率P==.

三、 方程思想

方程思想是數(shù)學解題的重要思想方法，在解決概率問題時，如能根據(jù)題目中所給的數(shù)量關(guān)系，列出方程或方程組，則可使問題圓滿解決.

例4 不透明的口袋里裝有紅、黃、藍三種顏色的小球（除顏色外其余都相同），其中紅球有兩個，藍球有一個，現(xiàn)從中任意摸出一個是紅球的概率為.

（1） 求袋中黃球的個數(shù)；

（2） 第一次摸出一個球（不放回），第二次再摸一個球，請用畫樹狀圖或列表法求兩次摸到都是紅球的概率；

（3） 若規(guī)定摸到紅球得5分，摸到黃球得3分，摸到藍球得1分，小明共摸6次小球（每次摸一個球，摸后放回）得20分，問小明有哪幾種摸法？

【分析】（1） 設口袋中黃球的個數(shù)為未知數(shù)m，根據(jù)摸到紅球的概率=，列方程=，解得m=1；

（2） 通過列表或畫樹狀圖來計算兩次都摸到紅球的概率為；

（3） 設小明摸到紅球有x次，摸到黃球有y次，則摸到藍球有（6-x-y）次，根據(jù)摸到三種球的分數(shù)和等于20，列出關(guān)于x、y的二元一次方程5x+3y+（6-x-y）=20，即2x+y=7，所以y=7-2x，然后討論二元一次方程組的自然數(shù)解的個數(shù)來確定摸法種數(shù). 因為x、y、6-x-y均為自然數(shù)，當x=1時，y=5，6-x-y=0；當x=2時，y=3，6-x-y=1；當x=3時，y=1，6-x-y=2. 綜上，小明共有三種摸法：摸到紅、黃、藍三種球分別為1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次.

在“有形”的數(shù)學知識中，蘊含著“無形”的數(shù)學思想方法. 數(shù)學知識是一條明線，寫在教材里；數(shù)學思想方法是一條暗線，體現(xiàn)在知識與技能的形成過程中. 若我們能在解決問題的過程中充分發(fā)揮數(shù)學思想方法的解題功能，不僅可少走彎路，而且還可大大提高我們的數(shù)學能力與綜合素質(zhì). 通過以上問題的闡述，你是否已經(jīng)掌握了這把開啟數(shù)學神奇之門的金鑰匙呢？

（作者單位：常熟市孝友中學）

經(jīng)驗是數(shù)學的基礎，問題是數(shù)學的心臟，思考是數(shù)學的核心，發(fā)展是數(shù)學的目標，思想方法是數(shù)學的靈魂，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁. 在概率知識中蘊含著豐富的數(shù)學思想，運用這些數(shù)學思想，不僅可使我們深刻理解和掌握概率的基礎知識，而且可以使我們學會用數(shù)學思想進行推理，為解決數(shù)學問題起到促進和深化的作用.

一、 建模思想

經(jīng)過七年級、八年級的學習，我們已經(jīng)具備了一些概率模型，如拋硬幣、摸小球、擲骰子等，現(xiàn)實生活中抓鬮、抽簽等問題都可以轉(zhuǎn)化為這樣的數(shù)學模型，這樣我們就可以用列表法或者畫樹狀圖的方法列出等可能的各種結(jié)果，求出隨機事件的概率，從而也可判斷游戲的公平性. 想一想，下面的問題可以轉(zhuǎn)化為怎樣的數(shù)學模型呢？

例1 只有一張電影票，小明和小麗用抽簽的方法來決定誰可以去看電影，于是準備了兩張相同的小紙條，一張寫“去”，另一張寫“不去”，誰抽到“去”，則這個人就去看電影，這種方法公平嗎？

例2 我們用抽簽的方法從3名同學中選一名去參加某音樂會. 事先準備3張相同的小紙條，并在1張紙條上畫上記號，其余兩張紙條不畫. 把3張紙條放在一個盒子中攪勻，然后讓3名同學去摸紙條，這種方法公平嗎？

【分析】例1實際上就是：拋一枚硬幣，求正面朝上（或反面朝上）的概率問題；例2可以轉(zhuǎn)化為摸球問題，如：一只小袋子裝有兩個白球和一個紅球，這三個球除了顏色外完全一樣.甲、乙、丙三人依次從袋子中摸出一個球，求每人摸到紅球的概率.

二、 數(shù)形結(jié)合的思想

有關(guān)概率的問題層出不窮，解決的方法也多種多樣，我們常用的方法是列舉法，即用列表或畫樹狀圖的方法來解決問題，這種圖文并茂的解題方法直觀形象地展示了隨機事件的所有等可能結(jié)果，可以說是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)，而現(xiàn)在又出現(xiàn)了很多概率問題與幾何知識相結(jié)合的例子，真可謂是“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔斷分家萬事難”.

例3 如圖，在方格紙中，△ABC的三個頂點及D，E，F(xiàn)，G，H五個點分別位于小正方形的頂點上.

（1） 現(xiàn)以D，E，F(xiàn)，G，H中的三個點為頂點畫三角形，在所畫的三角形中與△ABC不全等但面積相等的三角形是______；（只需要填一個三角形）

（2） 先從D，E兩個點中任意取一個點，再從F，G，H三個點中任意取兩個不同的點，以所取的這三個點為頂點畫三角形，求所畫三角形與△ABC面積相等的概率（用畫樹狀圖或列表格求解）.

【分析】（1） ∵△ABC的面積為×3×4=6，只有△DFG或△DHF的面積也為6且不與△ABC全等，故填△DFG或△DHF；

（2） 畫樹狀圖：

由樹狀圖可知：共有六種等可能的結(jié)果，其中與△ABC面積相等的三角形有3種，即：△DFG、△DHF、△EGF，所以所畫三角形與△ABC面積相等的概率P==.

三、 方程思想

方程思想是數(shù)學解題的重要思想方法，在解決概率問題時，如能根據(jù)題目中所給的數(shù)量關(guān)系，列出方程或方程組，則可使問題圓滿解決.

例4 不透明的口袋里裝有紅、黃、藍三種顏色的小球（除顏色外其余都相同），其中紅球有兩個，藍球有一個，現(xiàn)從中任意摸出一個是紅球的概率為.

（1） 求袋中黃球的個數(shù)；

（2） 第一次摸出一個球（不放回），第二次再摸一個球，請用畫樹狀圖或列表法求兩次摸到都是紅球的概率；

（3） 若規(guī)定摸到紅球得5分，摸到黃球得3分，摸到藍球得1分，小明共摸6次小球（每次摸一個球，摸后放回）得20分，問小明有哪幾種摸法？

【分析】（1） 設口袋中黃球的個數(shù)為未知數(shù)m，根據(jù)摸到紅球的概率=，列方程=，解得m=1；

（2） 通過列表或畫樹狀圖來計算兩次都摸到紅球的概率為；

（3） 設小明摸到紅球有x次，摸到黃球有y次，則摸到藍球有（6-x-y）次，根據(jù)摸到三種球的分數(shù)和等于20，列出關(guān)于x、y的二元一次方程5x+3y+（6-x-y）=20，即2x+y=7，所以y=7-2x，然后討論二元一次方程組的自然數(shù)解的個數(shù)來確定摸法種數(shù). 因為x、y、6-x-y均為自然數(shù)，當x=1時，y=5，6-x-y=0；當x=2時，y=3，6-x-y=1；當x=3時，y=1，6-x-y=2. 綜上，小明共有三種摸法：摸到紅、黃、藍三種球分別為1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次.

在“有形”的數(shù)學知識中，蘊含著“無形”的數(shù)學思想方法. 數(shù)學知識是一條明線，寫在教材里；數(shù)學思想方法是一條暗線，體現(xiàn)在知識與技能的形成過程中. 若我們能在解決問題的過程中充分發(fā)揮數(shù)學思想方法的解題功能，不僅可少走彎路，而且還可大大提高我們的數(shù)學能力與綜合素質(zhì). 通過以上問題的闡述，你是否已經(jīng)掌握了這把開啟數(shù)學神奇之門的金鑰匙呢？

（作者單位：常熟市孝友中學）