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      正確理解概率公式

      2021-06-17 19:36:29王玉珍
      初中生世界·九年級 2021年6期
      關(guān)鍵詞:摸球白球個球

      王玉珍

      我們在解決概率問題時(shí),常常會因?yàn)閷σ恍└拍畎盐詹坏轿唬c正確答案失之交臂。

      一、使用概率公式的前提

      一般地,設(shè)一個試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個,它們都是隨機(jī)事件,每次試驗(yàn)有且只有其中的一種結(jié)果出現(xiàn)。如果每種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會均等,那么我們說這n個事件的發(fā)生是等可能的,也稱這個試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性。

      這個概念比較抽象。細(xì)讀之后我們能發(fā)現(xiàn),等可能性需要同時(shí)具備三個條件:(1)n表示試驗(yàn)的結(jié)果是有限個;(2)都是隨機(jī)事件;(3)每次試驗(yàn)有且只有其中的一種結(jié)果出現(xiàn),并且每種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會均等。這三個條件缺一不可。下面,我們一起來看看蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第128頁的例題:

      一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出1個球。摸到白球與摸到紅球的可能性相同嗎?

      小明同學(xué)說:摸到的球不是白球就是紅球,所以摸到白球和摸到紅球這兩個事件是等可能的。

      小麗同學(xué)說:摸到每一個球的可能性相同,而紅球有2個,白球只有1個,摸到紅球的可能性大。

      小明、小麗的說法哪一個正確?

      【分析】我們從題目中的關(guān)鍵詞“不透明”“這些球除顏色外都相同”“攪勻”等不難發(fā)現(xiàn),摸到白球和摸到紅球都是隨機(jī)事件;3個球中任意摸出1個球說明試驗(yàn)的結(jié)果是有限種。根據(jù)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性的定義,本試驗(yàn)已經(jīng)具備兩個條件,還缺一個條件,即每種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會均等。因此,我們只要把2個紅球編號:紅球1和紅球2,這樣從中摸到每一個球的機(jī)會就均等了。攪勻后從中任意摸出一個球會出現(xiàn)3種等可能的結(jié)果:白球、紅球1、紅球2,所以摸到紅球的可能性大。綜上可見,小麗對概念的理解是到位的。

      細(xì)心的同學(xué)還會發(fā)現(xiàn),摸球這個典型的試驗(yàn)貫穿了概率的整個章節(jié)。

      二、等可能條件下的概率公式

      一般地,如果一個試驗(yàn)有n種等可能的結(jié)果,當(dāng)其中的m種結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí),事件A發(fā)生。那么事件A發(fā)生的概率是P(A)=[mn](其中m表示事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù),n表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù))。

      細(xì)讀之后,我們能發(fā)現(xiàn)使用概率公式的前提條件是:一個試驗(yàn)有n種等可能的結(jié)果,也就是試驗(yàn)的結(jié)果必須具有等可能性。

      【拓展1】上面的例題,繼續(xù)問你:摸到紅球的概率是多少?

      【分析】這屬于一步摸球試驗(yàn)。我們可以先做出判斷:這個試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性,然后列出所有等可能的結(jié)果,直接代入公式求解。

      解:把2個紅球編號為紅球1和紅球2。攪勻后從中任意摸出一個球會出現(xiàn)3種等可能的結(jié)果:白球、紅球1、紅球2。摸到紅球1、摸到紅球2這兩種結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí),“摸到紅球”這一事件發(fā)生,所以P(摸到紅球)=[23]。

      【拓展2】我們將上面的例題改編如下:

      一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球,這些球除顏色外都相同。攪勻后從袋中任意摸出1個球,記錄顏色后放回。攪勻后再從中任意摸出1個球。求兩次都摸到紅球的概率。

      【分析】這屬于兩步摸球試驗(yàn)。我們要先做出判斷:這個試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性,然后列出所有等可能的結(jié)果,再直接代入公式求解即可。這個試驗(yàn)的所有等可能結(jié)果不能一眼看出,需要借助列表或畫樹狀圖進(jìn)行分析。當(dāng)然要想做對,還需仔細(xì)讀題,“放回”是這個問題的關(guān)鍵詞。

      解:把2個紅球編號為紅球1、紅球2,用表格列出所有可能的結(jié)果:

      由表格可知,共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果,“兩次都摸到紅球”的結(jié)果有4種,所以P(兩次都摸到紅球)=[49]。

      【拓展3】將【拓展2】的“放回”前加一個字“不”,你還能正確求出結(jié)果嗎?

      【分析】解答過程與【拓展2】類似,唯一不同的是第一次摸出白球,不放回,第二次摸時(shí)袋子里只有紅球1和紅球2,不可能摸出白球了,所以列表如下:

      【拓展4】又按照之前【拓展3】的方法再摸一次,求前兩次都摸到紅球,最后一次摸到白球的概率。又應(yīng)該怎么做呢?

      【分析】這屬于三步摸球試驗(yàn)。我們還是要先做出判斷:這個試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性,然后列出所有等可能的結(jié)果代入公式求解。我們嘗試列表發(fā)現(xiàn),第三步不便于書寫,所以本題應(yīng)借助樹狀圖來完成。

      解:把2個紅球編號為紅球1、紅球2,用樹狀圖列出所有可能的結(jié)果。

      由上圖可知,共有6種等可能的結(jié)果,其中“前兩次都摸到紅球,最后一次摸到白球”的結(jié)果有2種,所以P(前兩次都摸到紅球,最后一次摸到白球)=[26]=[13]。

      (作者單位:江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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