李 偉，王志剛

(1.西北工業(yè)大學 航天學院，西安 710072;2.航天飛行動力學技術(shù)重點實驗室，西安 710072)

0 引言

通過滾轉(zhuǎn)軸承連接的雙旋彈體是火箭彈加裝制導設(shè)備的一種新型彈體結(jié)構(gòu)，這種新型彈體結(jié)構(gòu)可采用鴨舵對前段實施滾轉(zhuǎn)控制，以保證捷聯(lián)慣導的精度和解決GPS接收機在高速滾轉(zhuǎn)情況下不利于接收衛(wèi)星信號的難題［1－2］。有關(guān)雙旋制導火箭彈的穩(wěn)定性研究，目前國內(nèi)外所發(fā)表的文獻較少。與火箭彈穩(wěn)定性研究相關(guān)的文獻，大多是針對常規(guī)剛性彈體的自旋火箭彈［3－7］。也有針對雙自旋航天器動力學問題展開研究的文獻［8－10］，但大多數(shù)研究不考慮其氣動特性。對于在大氣層內(nèi)飛行的雙旋制導火箭彈，氣動力和力矩起到主要作用，決定了火箭彈的飛行品質(zhì)。因此，有必要開展雙旋火箭彈的穩(wěn)定性問題研究。

Mark和Allen［11］提出了雙旋無控火箭彈的線性化理論，在此基礎(chǔ)上分析了動態(tài)穩(wěn)定因子和陀螺穩(wěn)定因子對其穩(wěn)定性的影響，文中給出的動態(tài)穩(wěn)定因子沒有考慮前后段的極轉(zhuǎn)動慣量比，也就忽略了雙旋彈體結(jié)構(gòu)對火箭彈穩(wěn)定性的影響因素，這對于穩(wěn)定性的分析來說是不全面的。Dr Philippe Wernert［12］在文獻［11］的基礎(chǔ)上，進一步研究了加舵的雙旋火箭彈的穩(wěn)定性問題。但文中給出的陀螺穩(wěn)定因子并未考慮赤道阻尼力矩對其影響，且沒有針對各個氣動系數(shù)對穩(wěn)定性的影響展開進一步分析。

本文將從復(fù)數(shù)形式的角運動方程出發(fā)，采用微分方程特征根求取雙旋制導火箭彈的動穩(wěn)定因子和陀螺穩(wěn)定因子。給出雙旋制導火箭彈穩(wěn)定性判據(jù)的數(shù)學解析解，并與常規(guī)剛體火箭彈穩(wěn)定因子進行比較，分析二者的不同特性。

1 雙旋制導火箭彈動力學模型

鑒于雙旋制導火箭彈的特殊彈體結(jié)構(gòu)，其運動模型包含3個平移運動和4個旋轉(zhuǎn)運動。3個平移運動分別是整彈質(zhì)心位置矢量的3個分量;4個旋轉(zhuǎn)運動分別是俯仰運動、偏航運動、前段和后段的滾轉(zhuǎn)運動。所用到的坐標系定義參看文獻［13－14］。

1.1 質(zhì)心運動動力學方程

由于火箭彈伸出鴨舵時處于火箭彈被動段，因此在動力學方程中僅考慮重力、空氣動力。則質(zhì)心運動動力學方程為

式中 u、v、w為火箭彈速度V在準彈體坐標系中的分量;－rtanψ、q、r為準彈體坐標系相對地面慣性坐標系的角速度在準彈體系中的分量;ψ為偏航角;m為整彈質(zhì)量;Fx4、Fy4、Fz4為作用力F在準彈體坐標系中的分量。

1.2 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動力學方程

由文獻［15］可知，前段和后段的俯仰、偏航運動同整彈是一致的，僅在滾轉(zhuǎn)方向不同。因此，雙旋制導火箭彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動力學方程為

式中 C為火箭彈繞縱軸x的極轉(zhuǎn)動慣量;A為繞體軸y和z的赤道轉(zhuǎn)動慣量;Mx4、My4、Mz4為火箭彈受到的外力矩M在準彈體坐標系中投影;下標f代表前段，下標a代表后段;A=Af+Aa;C=Cf+Ca。

2 力和力矩的復(fù)數(shù)形式

火箭彈角運動模型是用來描述火箭彈彈軸的擺動運動特性，故力和力矩的復(fù)數(shù)形式是由其在準彈體坐標系中oy4軸和oz4軸中的分量構(gòu)成，其中重力、氣動力和氣動力矩的分量表達式可參見文獻［13］，則火箭彈受到的力和力矩的復(fù)數(shù)形式如下:

重力復(fù)數(shù)式為

式中 g為重力加速度;?為俯仰角。

阻力復(fù)數(shù)式為

式中 ρ為大氣密度;S為火箭彈特征面積(即火箭彈最大橫截面積);Cx為火箭彈阻力系數(shù)，Cx＞0;Vr為火箭彈相對于空氣的速度;V為火箭彈速度矢量V的模;α*、β*分別為準攻角和準側(cè)滑角;W=［Wx4Wy4Wz4］T為當時當?shù)?火箭彈質(zhì)心處)的風速矢量在準彈體坐標系下的投影。

升力復(fù)數(shù)式為

式中 C＇y為升力系數(shù)對相對攻角τr的導數(shù)，τr為相對速度Vr與彈軸之間的夾角;Vrx4、Vry4、Vrz4表示相對速度Vr在準彈體坐標系下的投影。

馬格努斯力復(fù)數(shù)式為

式中 d為火箭彈橫向參考長度(即彈徑長度)、C″z為火箭彈馬格努斯力系數(shù)分別對無量綱自旋速度p－和相對攻角τr的二階導數(shù)?？刂屏?fù)數(shù)形式為

式中 Sc是鴨舵的表面積;δy=(δ1+δ3)/2是1號舵和3號舵平均舵偏;δz=(δ2+δ4)/2是2號舵和4號舵平均舵偏是每片舵法向力系數(shù)對速度與舵之間夾角的導數(shù)是修正準攻角，該角度是速度在準彈體坐標系中ox4y4平面內(nèi)的投影與彈軸之間的夾角。

靜力矩復(fù)數(shù)式為

式中 l為火箭彈縱向參考長度(即彈長);m＇z為火箭彈靜力矩系數(shù)對相對攻角的導數(shù)。

赤道阻尼力矩復(fù)數(shù)式為

式中 m＇zd為火箭彈赤道阻尼力矩系數(shù)對無量綱的擺動角速度 的導數(shù)，m＇zd＞0。

馬格努斯力矩復(fù)數(shù)式為

控制力矩復(fù)數(shù)形式為

式中 xc=xg－xcanard，是鴨舵轉(zhuǎn)軸在彈軸上的位置到整彈質(zhì)心的距離，其中xg是質(zhì)心到彈頂?shù)木嚯x，xcanard是鴨舵轉(zhuǎn)軸在彈軸上的位置到彈頂?shù)木嚯x。

由式(3)～式(13)可得，雙旋制導火箭彈力和力矩的復(fù)數(shù)形式為

3 雙旋火箭彈角運動模型

研究擾動運動，特別是火箭彈飛行穩(wěn)定性問題，最關(guān)心的是攻角變化律。圖1描述了攻角的幾何關(guān)系。速度矢量V在準彈體系中的三分量與總攻角τ的二分量α*和β*有關(guān)。

圖1 總攻角的幾何描述Fig.1 Geometric description of general attack angle

在小攻角情況下，可近似認為

對式(16)求導，并略去 α*、β*、q、r、ψ 小量的乘積項，可得

對方程組(2)中最后兩式變形，并略去小量乘積項，可得

簡化后的方程組直接求解較困難，可將角運動方程組表示為復(fù)數(shù)形式。定義復(fù)數(shù)形式的攻角Δ=α*－iβ*、角速度 μ=q+ir、復(fù)數(shù)形式舵偏角 δc=δz+iδy、復(fù)數(shù)形式垂直風 W┴=Wy4+iWz4，結(jié)合式(17)、式(18)，整理得

將式(19)和式(20)自變量變?yōu)閺椀阑￠Ls。對任意變量X，有:

記X″、X＇分別為變量X對s的二階導數(shù)和一階導數(shù)。為方便分析攻角運動穩(wěn)定性，不考慮氣動系數(shù)和舵偏角隨時間的變化，g┴、W┴近似認為恒定不變。則角運動方程為

4 運動穩(wěn)定性分析

式(21)是攻角運動的線性形式，可近似描述雙旋制導火箭彈的攻角運動特性。根據(jù)齊次方程特征根實部的正負，可判斷攻角運動穩(wěn)定性。令方程特征根為

其通解為二圓模式［13］。故攻角運動在復(fù)平面上呈現(xiàn)快、慢圓運動的疊加，其幅值的變化趨勢依賴于阻尼指數(shù)dj的正負。復(fù)攻角運動收斂要求快、慢圓運動阻尼指數(shù)均小于零。

4．1 穩(wěn)定性判據(jù)

為了研究雙旋制導火箭彈快、慢圓運動的收斂性，需得到H、P、M、T與頻率和阻尼指數(shù)間的關(guān)系，它們使空氣動力系數(shù)與火箭彈運動參數(shù)直接聯(lián)系起來，令:

當B＞0時，可得齊次方程的根為

當B＜0時，可得齊次方程的根

當B=0時，可得齊次方程的根

從式(23)～式(26)看出，無論B是正是負，快圓的圓頻率和慢圓的圓頻率都是不變的，B=0時，兩圓運動的頻率相同，但3種情況下的阻尼指數(shù)有所不同。當H≤0時，可看出雙旋制導火箭彈彈軸的圓運動是不穩(wěn)定的，只有當H＞0時，才有可能出現(xiàn)穩(wěn)定的運動。將式中的H變形得

因為 bx＞0，by＞0，kzd＞0，bc＞0，因此 H 的正負取決于式(29)右端前2項。顯然，當火箭彈處于推力段時，即H＞0;當推力段結(jié)束，會出現(xiàn)的情況，但火箭彈速度較快(Ma＞1)的量級相比式(29)右端后4項之和小100倍左右，如圖2所示，給出式(29)右端前2項之和與by項在火箭彈整個飛行過程中的變化曲線，從圖2可看出，在火箭彈飛行過程中，總有 H＞0。

當B＞0時，慢圓運動是穩(wěn)定的，快圓運動不一定穩(wěn)定;當B＜0時，快圓運動是穩(wěn)定的，慢圓運動不一定穩(wěn)定。為使快、慢圓運動都是穩(wěn)定的，必須滿足如下關(guān)系式:

當B=0時，為使兩圓運動都穩(wěn)定，必須滿足如下關(guān)系式:

圖2 系數(shù)對比Fig.2 Comparison of coefficient

定義陀螺穩(wěn)定因子Sg=P2/4M，動穩(wěn)定因子Sd=2T/H－1，則有

根據(jù)文獻［13］知，式(32)為動態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)，式(33)為陀螺穩(wěn)定性判據(jù)?？梢?，動態(tài)穩(wěn)定的雙旋制導火箭彈必然陀螺穩(wěn)定，但陀螺穩(wěn)定的彈不一定動態(tài)穩(wěn)定，故式(32)即為雙旋制導火箭彈動穩(wěn)定性判據(jù)。

4.2 穩(wěn)定性分析

工程計算中，可對H、P、M、T進行適當?shù)暮喕?不考慮馬格努斯力bz的作用(馬格努斯力不到法向力的5%);不考慮幾何非線性，η＇≈0，η=u/V≈1;由式(29)的分析可知，V＇/V遠小于H等式右端后4項，因此可忽略。通過這些簡化，可得到如下近似表達式:

式(34)～式(37)給出的陀螺穩(wěn)定因子、動穩(wěn)定因子以及穩(wěn)定性判據(jù)，與文獻［12］給出的相應(yīng)結(jié)果比較，在形式上本文給出的結(jié)果引入了控制力對赤道阻尼力矩的影響，即kzdbc項。

在使用式(36)和式(37)進行穩(wěn)定性判定時，還需確定兩判據(jù)適用于快圓運動還是慢圓運動。因此，需引入B:

從式(38)可看出，B的正負P和Sd有關(guān)。簡化后的 P=(Cfγ＇f+Caγ＇a)/A，正負取決于雙旋火箭彈后段的轉(zhuǎn)速(前段轉(zhuǎn)速遠小于后段)。因此，以下給出的結(jié)論是在P≥0(即后段自旋速度為正)的條件下得到的。至于P＜0的情況分析方法與P≥0相同，在此不再詳述。P≥0的情況下，當B≥0，即Sd≥0，式(36)是快圓運動的穩(wěn)定性判據(jù);當 B＜0，即 Sd＜0，式(37)是慢圓運動的穩(wěn)定性判據(jù)。根據(jù)雙旋制導火箭彈的布局結(jié)構(gòu)可知，鴨舵安裝在火箭彈前段，即 xc＞0，kc＞0。因此，可得出如下結(jié)論:

(1)靜力矩系數(shù)kz。kz系數(shù)與導彈中靜穩(wěn)定系數(shù)作用相同，代表雙旋制導火箭彈的靜穩(wěn)定性。通常情況下，加裝鴨舵后不會影響整彈的靜穩(wěn)定性，因此有|kc|＜|kz|。從式(36)和式(37)可看出，雙旋制導火箭彈的靜穩(wěn)定性越強(kz＜0)，越有利于不等式(36)和式(37)成立，即有利于動穩(wěn)定性;反之，靜不穩(wěn)定時，會對火箭彈的動穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響。一般情況下，靜力矩是雙旋制導火箭彈角運動的主要作用，在各作用中影響最大。

(2)赤道阻尼力矩系數(shù)kzd:kzd系數(shù)在飛行過程中都是大于零的，從式(36)可以看出kzd系數(shù)對快圓運動總起穩(wěn)定作用。但對慢圓運動所起作用取決于kzd系數(shù)對應(yīng)項的正負，即當雙旋制導火箭彈是靜穩(wěn)定的，kzd系數(shù)有利于慢圓運動的穩(wěn)定性;若火箭彈是靜不穩(wěn)定的，則kzd系數(shù)不利于慢圓運動的穩(wěn)定性。

(3)法向力系數(shù)bN。從式(37)可看出，bN系數(shù)對慢圓運動的穩(wěn)定性總是有利的。當火箭彈是靜穩(wěn)定的，bN系數(shù)對快圓運動的穩(wěn)定性是有利的;當火箭彈是靜不穩(wěn)定的，bN系數(shù)會對快圓運動的穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響。

(4)馬格努斯力矩系數(shù)kfy、kay。鑒于彈體的特殊結(jié)構(gòu)，雙旋制導火箭彈前段由于滾轉(zhuǎn)軸承的作用，大大減弱了其自旋速度，馬格努斯力矩系數(shù)對火箭彈穩(wěn)定性的影響主要取決于后段。由式(36)和式(37)可知，無論kay取正負，它的存在總會對兩圓運動中的其中一個穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響。因此，馬格努斯力矩總是一個不穩(wěn)定的因素。

(5)馬格努斯力系數(shù)bhz、baz。通常情況下，馬格努斯力不到法向力的5%，研究可不考慮。

(6)控制力系數(shù)bc。當火箭彈是靜穩(wěn)定的，則bc系數(shù)對快圓運動的穩(wěn)定性是有利的;當火箭彈靜不穩(wěn)定時，bc系數(shù)對快圓運動的穩(wěn)定性是不利的。對于慢圓運動而言，bc系數(shù)對其穩(wěn)定性總是有利的。

(7)控制力矩系數(shù)kc。從式(36)和式(37)可看出，kc系數(shù)總對火箭彈的動穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響。

4.3 穩(wěn)定因子比較

為了進一步研究雙旋彈體結(jié)構(gòu)對火箭彈運動特性的影響，現(xiàn)引入改型前相同外形尺寸的常規(guī)無控火箭彈，將二者的穩(wěn)定因子進行分析比較。由式(32)可看出，動穩(wěn)定因子在動穩(wěn)定性判據(jù)中不是獨立存在的，其中含有陀螺穩(wěn)定因子，在對比2種火箭彈之間的動穩(wěn)定性時，僅通過對比2種動穩(wěn)定因子的大小是無法確定其動穩(wěn)定邊界的大小。因此，以下僅針對雙旋制導火箭彈和常規(guī)無控火箭彈的陀螺穩(wěn)定因子進行對比分析。

［13］，可得到常規(guī)無控火箭彈在無風干擾情況下的陀螺穩(wěn)定因子:

假設(shè)常規(guī)無控火箭彈的自旋角速度與雙旋制導火箭彈的后段自旋角速度相同，即·γ≈·γa;二者的總轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)心位置相同;相對速度大小近似為Vr=V－W，W為風速矢量W的模，則式(34)除以式(39)，并整理得

從式(40)可看出，影響雙旋制導火箭彈陀螺穩(wěn)定性的因素有3個:

綜上分析，雙旋制導火箭彈和常規(guī)無控火箭彈的陀螺穩(wěn)定因子比可改寫為

由式(41)可看出，簡化后的結(jié)果與文獻［12］給出的結(jié)果一致。本文研究的雙旋制導火箭彈，其鴨舵的外形尺寸和位置是給定的，即 xc=0.885 m，Sc=20 cm2。因此，接下來的討論基于以下兩點開展:

(1)不考慮鴨舵尺寸和位置的變化;

(2)轉(zhuǎn)動慣量Cf和Ca的變化不影響雙旋制導火箭彈整彈質(zhì)心位置的變化。

式(41)中，l=3 m，S=116 cm2，且由于CNδ＞0，所以當雙旋制導火箭彈和常規(guī)無控火箭彈是旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈時(即 m＇z＞0)，則即鴨舵的引入會不利于雙旋制導火箭彈的陀螺穩(wěn)定性。當雙旋制導火箭彈和常規(guī)無控火箭彈是靜穩(wěn)定彈時(即m＇z＜0)，則即鴨舵的引入會有利于雙旋制導火箭彈的陀螺穩(wěn)定性。

如圖3所示，S1曲面為陀螺穩(wěn)定因子比隨轉(zhuǎn)動慣量比和滾轉(zhuǎn)角速度比變化的曲面圖，當Cf/Ca=0和=1時，曲面S1上的2條交線組成的平面為S2，可看出，平面S2和Sg/Syg=1的平面S3不相等，這是由于鴨舵的影響，使得火箭彈的陀螺穩(wěn)定性發(fā)生了改變。位于平面S3以上的曲面S1部分表示此時的雙旋制導火箭彈的陀螺穩(wěn)定性高于同外形尺寸的常規(guī)無控火箭彈。

當轉(zhuǎn)動慣量比一定時，可通過提高滾轉(zhuǎn)角速度比的大小來加強陀螺穩(wěn)定性;也可令前后段滾轉(zhuǎn)方向相反，增加的值來提高陀螺穩(wěn)定性，但這種方案需要前段滾轉(zhuǎn)速度的絕對值遠大于后段，此時就會不利于導航設(shè)備正常工作。因此，在導航設(shè)備能夠正常工作的轉(zhuǎn)速情況下，保持前后段轉(zhuǎn)速方向一致，通過加大前段轉(zhuǎn)速或減小后段轉(zhuǎn)速，可提高雙旋制導火箭彈的陀螺穩(wěn)定性。

當滾轉(zhuǎn)角速度比一定時，可通過提高轉(zhuǎn)動慣量比Cf/Ca的大小來加強雙旋制導火箭彈的陀螺穩(wěn)定性。

圖3 陀螺穩(wěn)定因子比隨轉(zhuǎn)動慣量比和滾轉(zhuǎn)角速度比變化的曲面圖Fig.3 Ratio of gyroscopic stability coefficients vs inertia moment ratio and spin rates ratio

5 結(jié)論

(1)雙旋制導火箭彈的靜力矩系數(shù)是角運動的主要作用，靜穩(wěn)定的火箭彈對動穩(wěn)定性是有利的;赤道阻尼力矩系數(shù)對快圓運動總起穩(wěn)定作用，而法向力系數(shù)對慢圓運動的穩(wěn)定性總是有利的;對于雙旋制導火箭彈，馬格努斯力矩總是一個不穩(wěn)定的因素;鴨舵的引入所帶來的控制力系數(shù)對其慢圓運動總起有利作用，而控制力矩系數(shù)則相反，它總對雙旋制導火箭彈的動穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響。

(2)采用雙旋彈體方案的改型彈與改型前的火箭彈相比，在轉(zhuǎn)動慣量比一定時，保持前后段轉(zhuǎn)速方向一致，可通過加大前段轉(zhuǎn)速或減小后段轉(zhuǎn)速來提高雙旋制導火箭彈陀螺穩(wěn)定性，但前段轉(zhuǎn)速不能超過導航系統(tǒng)正常工作的轉(zhuǎn)速上限。

(3)與改型前的火箭彈相比，改型后的雙旋制導火箭彈在轉(zhuǎn)速比一定時，可通過提高轉(zhuǎn)動慣量比的大小來加強雙旋制導火箭彈的陀螺穩(wěn)定性。例如，在研制初樣階段前，可通過改變戰(zhàn)斗部的大小來調(diào)整前后段尺寸，達到增加穩(wěn)定性、提高命中精度的目的。

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