尚 彧，張 燕

(遼寧石油化工大學 計算機與通信工程學院，遼寧 撫順113001)

曲線擬合是一種用于對多維度數(shù)據(jù)進行處理和顯示的方法，廣泛的應用于計算機輔助設計、實驗分析以及圖形圖像顯示等方面。和大部分擬合課題一樣，曲線或曲面擬合課題的核心在于選擇目標函數(shù)，目標函數(shù)的好壞直接決定到曲線或曲面參數(shù)的準確性、結果的精確度和計算過程的復雜度[1]。

曲線擬合的信息點在采集過程中有著隨機性和模糊性等特點。云理論擁有綜合分析隨機性、模糊性以及相互間關聯(lián)性的優(yōu)點。本文以云理論特點的基礎上，提出了一種優(yōu)化的曲線擬合方法，即基于云理論曲線擬合。

1 云理論介紹

1.1 基本概念

云是使用語言值來表示某個定性概念與其定量表示之間的不確定性轉換理論模型。它主要用于反映客觀世界中事物或人類知識中概念的兩種不確定性因素：隨機性、模糊性，并將二者有效的集成在一起，構成定性和定量的映射。在數(shù)域空間中，云是一朵可伸縮、無邊沿、有彈性、近視無邊、遠觀象云的一對多的數(shù)學映射圖象，與自然現(xiàn)象中的云有著相似的不確定性質(zhì)，所以借用“云”來命名這個理論[2]。

設U是一個用精確數(shù)值表示的定量論域，X?U，T是U空間上的定性概念，若元素x(x?X)對T的隸屬的確定度：CT(x)∈[0，1]是一有穩(wěn)定傾向的隨機數(shù)，則概念T從論域U到區(qū)間[0，1]的映射在數(shù)域空間的分布，稱為云(cloud)。

云理論主要研究自然語言中的最基本的語言值所蘊含的不確定性的普遍規(guī)律，使得有可能從語言值表達定性信息中獲得定量數(shù)據(jù)的范圍和分布規(guī)律，也有可能把精確數(shù)值有效轉換為恰當?shù)亩ㄐ哉Z言值，從而將隨機性和模糊性有效的集成起來。

1.2 云的數(shù)學特征

云的數(shù)學特征是對定性概念的定量特性進行的表征，它云模型、虛擬云、云運算和云轉換的數(shù)值依據(jù)，主要由期望（Ex）、熵（En）和超熵（He）組成[3]。

1)期望（Ex）是某個定性概念在論域中的中心值，代表了該概念在數(shù)域空間中的點值，一般用是云中心對應的x值來表征。

2)熵（En）在云模型中用于定性概念的模糊度和概率進行綜合表征，對隨機性和模糊性以及之間的關聯(lián)性進行定義。

3)超熵（He）是熵的不確定度量，也稱為熵的熵，用于表征在數(shù)域空間代表該語言值的所有點的不確定度的凝聚性，即云滴的凝聚度。超熵的數(shù)值也間接地表征了云的離散程度和厚度，例如超熵的值越大，則云滴的離散度越大，云的“厚度”也越大。

使用上述3個特征數(shù)值就可以對云進行描述，把定性概念的模糊性和隨機性有機地結合在一起，從而實現(xiàn)了定性語言值與定量數(shù)值之間的有效轉換。

2 云模型簡介

2.1 云模型

云模型是進行定性語言值與定量數(shù)值之間轉換的基礎和模型，也是云理論的核心。云模型的單位是基云，與之對應的是自然語言中的基本單位語言原子。云模型能夠研究自然語言中的語言原子中所包含的不確定性的普遍規(guī)律，從而獲得定性信息中獲定量數(shù)據(jù)的范圍和分布規(guī)律，并進一步把精確數(shù)值轉換為定性語言值。云模型具有宏觀精確可控，微觀模糊不可控的特點，其本質(zhì)是云滴組成的概念云。云模型的這些優(yōu)點不但克服了概率統(tǒng)計論及粗集論的不足、解決了作為模糊集理論基石的隸屬函數(shù)的不徹底性，同時有效地反映語言值中蘊涵的模糊性和隨機性，為解決空間數(shù)據(jù)挖掘中的不確定性問題提供了可靠方法[4]。

2.2 正態(tài)云模型

1）正態(tài)云模型

正態(tài)云模型一種基礎的云模型，它是一種用于有效表征語言原子的工具[5]。很大一部分社會和自然科學中定性知識的云的期望曲線都近似服從正態(tài)或半正態(tài)分布。從論域空間來看，正態(tài)云模型的某一點的分布規(guī)律符合統(tǒng)計學意義上的正態(tài)分布規(guī)律，由期望和熵的值能夠確定具有正態(tài)分布規(guī)律的云期望曲線方程

正態(tài)云模型分為完整云、左半云和右半云3種。完整云用于表征具有雙側特征的定性概念，半云模型用于表征具有單側特征的定性概念，如圖1所示。

圖1 正態(tài)云圖Fig.1 Diagram of normal clouds

正態(tài)云的生成算法如下：

①Xi=G(Ex，En)，得到期望值 Ex，標準差 En的正態(tài)隨機數(shù)Xi；

②Eni=G(En，He)，得到期望值 Ex，標準差 He的正態(tài)隨機數(shù)Eni；

通過該算法可以得到由無數(shù)個云滴組成的具有不均勻厚度的正態(tài)云，由于云的腰部、頂部、底部等并不需要明確的定義，使用期望（E x）、熵（E n）和超熵（H e）就能夠很好的描述云。

2）云模型的3En規(guī)則

在論域空間中，X軸上任一區(qū)間上的元素△x對定性概念T的貢獻度計算出論域空間中所有元素對概念T的總貢獻度因為所以論域空間中的定性概念T有貢獻的定量值主要分布在區(qū)間[Ex.3En，Ex+3En]。在設計基于云模型的算法和發(fā)生器時應該以3En區(qū)間為重點，位于3En區(qū)間之外的云滴元素為小概率事件，可以忽略不計[6]。

2.3 云發(fā)生器

1）正向云發(fā)生器

正向云發(fā)生器是從定性到定量的確定性映射轉換模型，如圖2所示。它根據(jù)云的3個數(shù)字特征來得到云滴，并由云滴組成云。正向云發(fā)生器實現(xiàn)了從語言值表達的定性信息中獲得定量數(shù)據(jù)的范圍和分布規(guī)律，是一個前向的、直接的過程，其輸入為表示定性概念的期望值Ex、熵En和超熵He，云滴數(shù)量N，輸出是N個云滴在數(shù)域空間的定量位置及每個云滴代表該概念的確定度。

圖2 正向云發(fā)生器圖Fig.2 Diagram of forward cloud generator

2）逆向云發(fā)生器

逆向云發(fā)生器是是從定性到定量的不確定性映射轉換模型，如圖3所示。它將一定數(shù)量的精確數(shù)據(jù)有效轉換為以恰當?shù)亩ㄐ哉Z言值{Ex，En，He}表示的概念，并據(jù)此代表這些精確數(shù)據(jù)所反映的云滴的整體。云滴對應的精確數(shù)據(jù)的數(shù)量越多，反映的概念越確切。

圖3 逆向云發(fā)生器圖Fig.3 Diagram of backward cloud generator

逆向云發(fā)生器的傳統(tǒng)算法是基于數(shù)理統(tǒng)計規(guī)律的樣本均值和樣本方差的均值法。輸入的是N個云滴在數(shù)域空間的精確位置和每個云滴代表該概念的確定度，輸出的是這N個云滴表示的定性概念的期望Ex，熵En和超熵He。

3 云轉換簡介

3.1 云轉換

云轉換是一種用于將定量數(shù)據(jù)轉換為定性概念的方法，其主要思想是從連續(xù)的數(shù)值區(qū)間到離散的概念的轉換。假設論域空間上某個數(shù)值X的頻率為f(x)，根據(jù)X的頻率的分布情況生成若干個粒度不同的云C(Exi,Eni,Hei)的疊加，每個云代表一個離散的、定性的概念。其數(shù)學表達式為ai*C(Exi,Eni,Hei)，ai為幅度系數(shù)，n為變換后所生成的離散概念的個數(shù)。

云轉換的核心思想是利用云模型對空間數(shù)據(jù)分布的概率密度函數(shù)進行擬合，它是在論域空間中將定量描述轉換為定性描述的過程，也是一個概念歸納學習的最優(yōu)化過程，曲線分布函數(shù)可以由分布情況生成若干個不同粒度的云，將得到的這些云進行疊加就可以對曲線進行擬合。

3.2 基于云理論的曲線擬合算法

1）對分布的數(shù)據(jù)點進行統(tǒng)計，得到分布曲線f[i]；

2）查找數(shù)據(jù)點中峰值的位置，將峰值定義為云的中心點(期望)Ex[i](i=0,...,m-1)，然后計算用于擬合數(shù)據(jù)點的以Ex[i]為期望的云模型的熵Eni,得到云模型的數(shù)據(jù)分布函數(shù)fi(x)；

3）在數(shù)據(jù)點f[i]中減去已知云模型的數(shù)據(jù)分布fi(x)，得到新的數(shù)據(jù)分布 f’[i]；

4）重復步驟2)和步驟3),得到多個基于云的數(shù)據(jù)分布函數(shù) fi(x)；

3.3 對曲線擬合方程的優(yōu)化

1）確定峰值X的Ex；

2）在Ex左右兩邊隨機的各取n個點。以Ex的值為中心在區(qū)間(Ex-n，Ex)中找到第一個波谷的值和第一個波峰的值，并計算兩者之間的差是否大于設定的閾值P，如大于P則將其值記為x1，若小于P則繼續(xù)尋找下一個波峰的值，直至滿足條件為止，同理在波峰的右邊找到x2，比較Ex-x1與x2-Ex的大小，取兩者中的較小值，這里設為Ex-x1；

3）將區(qū)間[Ex-fabs(Ex-x1)，Ex+fabs(Ex-x1)]中的數(shù)據(jù)點作為云滴，利用無確定性信息的逆向云發(fā)生器來得到En的初始值；

4）通過比較波峰左右兩邊的誤差值M1和M2來優(yōu)化En值，如果M1和M2的絕對值都小于P，則En不需要優(yōu)化；如果誤差絕對值的最大值所對應的誤差值在兩邊都為正，則將En減去0.01；如果誤差絕對值的最大值所對應的誤差值在兩邊都為負時，則將En加上0.01；如果一邊的最大誤差絕對值小于P，而另外一邊的最大誤差絕對值大于P，并且所對應的誤差值為正時，讓En減去0.01。

4 實驗與分析

通過上述介紹的曲線擬合方法及優(yōu)化En的方法，可以得到很好的曲線擬合效果，如圖4所示。

為了驗證優(yōu)化方法的有效性，我們對En的優(yōu)化進行了實驗并取得了很好的效果，如圖5～圖7所示。

5 結論

曲線擬合在圖形圖像處理、多媒體技術等領域具有廣泛的應用。文中設計了一種基于云理論的曲線擬合優(yōu)化方法，以云模型為基礎，詳細論述了把離散的數(shù)據(jù)點轉換為若干個云曲線并疊加進行曲線擬合的關鍵技術，并說明了對En的優(yōu)化來提高結果的精度的算法過程。通過實驗表明，該優(yōu)化方法是是實現(xiàn)曲線擬合的實用工具。將該方法進行軟件化是下一步的研究方向。

圖4 優(yōu)化后的曲線擬合圖Fig.4 Optimized diagram of curve fitting

圖5 實驗一：誤差值在兩邊都為正Fig.5 Diagram of experiment 1

圖6 實驗二：誤差值在兩邊都為負Fig.5 Diagram of experiment 2

圖7 實驗三：誤差值在兩邊一整一負Fig.5 Diagram of experiment 3

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[3]陳天華,數(shù)字圖像處理[M].北京:清華大學出版社,2007.

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