地鐵直流牽引供電回路電氣參量的數(shù)值計算

王奎鵑 李夏青 田行軍 閆明富 史金京

(1.北京化工大學(xué)，100029，北京;2.北京石油化工學(xué)院，102617，北京;3.北京航空航天大學(xué)，100191，北京;4.北京地鐵運(yùn)營技術(shù)研發(fā)中心，102208，北京∥第一作者，碩士研究生)

采用電力牽引的地鐵車輛，其電能取自于直流牽引供電系統(tǒng)。這要求直流牽引供電系統(tǒng)不僅在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上要有很好的穩(wěn)定性，而且在繼電保護(hù)功能上也要有很高的可靠性。然而，隨著地鐵運(yùn)載能力的不斷提升和再生制動技術(shù)的應(yīng)用，直流牽引供電回路承載的負(fù)荷電流出現(xiàn)了新的變化，比較典型的是出現(xiàn)了類似諧振電流的低頻振蕩大電流。這說明了牽引供電系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性方面存在不足。另外，從錄波分析得知，此類振蕩電流具有持續(xù)時間較短和沖擊性較強(qiáng)的特點，其幅值特征和斜率特征與直流牽引網(wǎng)遠(yuǎn)端短路故障電流極為相似。這給既有的直流牽引網(wǎng)(d i/d t)－Δi(電流變化率－電流增量)保護(hù)方法帶來極大的挑戰(zhàn)。為提高直流牽引供電系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和完善繼電保護(hù)功能，需借助牽引供電回路對系統(tǒng)物理模型和暫態(tài)特性作深入的研究。因此，全面和準(zhǔn)確把握牽引供電回路電氣特性及其變化規(guī)律，對保障地鐵的安全和連續(xù)運(yùn)營具有現(xiàn)實意義。

在牽引供電回路中，軌道電阻、電感和電容等主要的電氣參數(shù)均為動態(tài)變化的物理量。其影響因素有既有負(fù)荷電流幅值、負(fù)荷電流脈動頻率及鋼軌規(guī)格等，又有鐵磁材料磁化曲線的非線性特征，因此直接利用簡單的數(shù)學(xué)公式難以獲得這些主要的電氣參數(shù)。為求取回路電氣參量和掌握其變化規(guī)律，文獻(xiàn)［2－3］研究了不同鋼軌規(guī)格的回路參數(shù)的計算方法，并給出部分電氣參量的數(shù)值;文獻(xiàn)［4－5］闡述了負(fù)荷電流頻率對供電回路電感的影響;文獻(xiàn)［6］描述接觸網(wǎng)電氣參量求解方法后，給出了部分實測值。但是，上述計算方法均存在一定的局限性，不僅沒有考慮地鐵隧道對回路電感的影響，而且提供的測量值僅限于特定對象或特定狀態(tài)。顯然，這樣的計算結(jié)果對構(gòu)建系統(tǒng)的物理模型和研究系統(tǒng)的暫態(tài)特性不夠理想。因此，有必要在考慮地鐵隧道影響的基礎(chǔ)上，尋求適合任意工況狀態(tài)下的回路電氣參數(shù)計算方法。

Matlab軟件具有強(qiáng)大的數(shù)值計算能力，且內(nèi)嵌的Simulink組件可提供系統(tǒng)級建模和仿真平臺;圖形化編程軟件Labview，不僅在開發(fā)人機(jī)界面功能上有獨特優(yōu)勢，而且通過SIT組件可實現(xiàn)與Matlab無縫連接。這里以牽引供電回路為研究對象，通過對負(fù)荷電流、鋼軌規(guī)格及接頭、地鐵隧道等多種影響因素的分析后，建立了鋼軌和地鐵隧道的物理模型，確定出回路電氣參量的數(shù)學(xué)模型;利用Simulink非線性函數(shù)模塊逼近原數(shù)學(xué)函數(shù)，并利用其它庫模塊處理非線性函數(shù)，可快速定解出回路電氣參量和描述出回路電感隨負(fù)荷電流的變化規(guī)律;用Labview編寫的友好界面可實現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的輸入和計算結(jié)果的輸出［8］。

1 地鐵直流牽引供電回路及其電氣參量

地鐵直流牽引供電系統(tǒng)是包含牽引變壓器、整流器、直流斷路器、接觸網(wǎng)及走行軌等器件的完整系統(tǒng)(如圖1所示)。牽引供電回路作為牽引供電系統(tǒng)的重要組成部分，通常僅指牽引供電網(wǎng)(接觸軌和走行軌)和連接附件。

圖1 直流牽引供電系統(tǒng)

在牽引供電回路中，連接附件的阻值較小，因此回路電阻主要是鋼軌電阻。接觸軌、走行軌承載負(fù)荷電流的交流頻率大于16 Hz時應(yīng)計算交流電阻［3］，但牽引負(fù)荷電流和故障電流均為直流波形，且所有系統(tǒng)振蕩電流的波動頻率約為10 Hz(如圖2所示)，因此計算回路電阻時只需考慮鋼軌直流電阻。牽引負(fù)荷電流和故障電流并非是恒流，其均含有一定脈動成分，且振蕩電流呈現(xiàn)為交流形態(tài)，這些大電流在形狀不規(guī)則的鋼軌內(nèi)流動時，趨膚效應(yīng)和飽和特性將會對回路內(nèi)電感產(chǎn)生顯著的影響。同時，鋼軌與隧道壁之間存在外自感，平行安置的鋼軌之間存在互感，這樣內(nèi)電感、外自感及互感共同作用構(gòu)成牽引供電回路的總電感。另外，鋼軌與隧道壁之間存在電容效應(yīng)，走行軌與大地之間有過渡電阻。因此，描述牽引供電回路的主要電氣參量為鋼軌直流電阻R、回路電感L、軌地電容C和過渡電阻Rg。

圖2 北京地鐵1號線振蕩電流錄波實景圖

2 回路電氣參量的數(shù)學(xué)模型

2.1 單位長度鋼軌電阻

鋼軌直流電阻可由式(1)計算

式中:

R——鋼軌電阻;

l——鋼軌長度;

ρ——電阻率;

A——鋼軌橫截面積。

走行軌 ρ取2.1×10－7Ω·m，接觸軌 ρ取1.25×10－7Ω·m。當(dāng)l取1 km時，可得單位長度鋼軌電阻Rd(Ω/km)。

2.2 單位長度回路電感

在地鐵車輛勻速運(yùn)行時，牽引負(fù)荷中脈動成分所占比重較小，電感效應(yīng)并不十分明顯。但在車輛起動和制動、牽引網(wǎng)短路故障等情況下，牽引電流的脈動分量將快速上升，這樣牽引回路電感效應(yīng)不能被忽視，且其取值受電流的頻率、幅值等多種因素影響。

2.2.1 單根鋼軌內(nèi)電感

鋼軌內(nèi)電感即其內(nèi)自感。由于鋼軌截面是非規(guī)則的幾何面，為方便計算和分析，求解鋼軌電感時通常將鋼軌等效為具有相同橫截面周長的圓柱形導(dǎo)體［2－3］，并定義截面的等效半徑為 r。

這樣，單位長度鋼軌交流內(nèi)電感Li的計算方法為［2－3］

式中:

μ0——真空磁導(dǎo)率;

μr——相對磁導(dǎo)率;

ber——貝塞爾實部(Bessel Real);

bei——貝塞爾虛部(Bessel Imaginary);

ber'——ber的一階導(dǎo)數(shù);

bei'——bei的一階導(dǎo)數(shù)。

中間變量ber、bei和p分別見式(3)。

式中:

δ——趨膚深度;

f——電流頻率;

γ——電導(dǎo)率，走行軌取 4.76 ×106S/m，接觸軌取8.0×106S/m。

綜合式(2)和式(3)可知，影響內(nèi)自感Li的因素主要是f及μr，而影響μr的是電流幅值。

2.2.2 鋼軌外自感的近似求法

地鐵線路位于封閉的隧道內(nèi)，且通過鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的隧道壁將其與外界隔離，因此計算鋼軌外自感時需考慮隧道的影響。在隧道內(nèi)，假定各鋼軌(接觸軌、走行軌)等效半徑分別為 r1、r2、r3，鋼軌軸間距分別為 d1，2、d2，3、d1，3，具體如圖 3 所示。

圖3 鋼軌空間位置

現(xiàn)以最靠近接觸軌的走行軌為例，闡述其同軸電纜建模方法和求解過程。其建模思想和求解過程如下:

1)單根走行軌1和隧道壁可視為不同半徑的同軸電纜模型，走行軌1的等效半徑為r2，并假定該走行軌1與隧道壁的水平和垂直距離分別為其外半徑d1、d2、d3和d4(如圖4所示)，這樣可得到4組同軸電纜模型。

圖4 鋼軌和隧道的同軸電纜等效模型

2)分別求取4組同軸電纜的外電感，并將這4組外電感平均值定義為該走行軌1的外電感

3)同軸電纜外自感求取方法，可借助既有的數(shù)學(xué)模型［6］:

式中:

R內(nèi)——同軸電纜的內(nèi)徑;R外——同軸電纜的外徑。

2.2.3 供電回路外電感

為方便外電感建模及計算，需對供電回路作必要的等效變換。等效后的模型如圖5所示。

圖5 供電回路等效模型

在圖5中，各鋼軌的自感Lz和互感Mz，q的計算公式分別為

假定雜散電流與牽引電流的比值為m，2根鋼軌間電流幅值比為k，則3根鋼軌的電流(I1，I2，I3)和牽引電流I之間存在如式(6)所示的關(guān)系:

考慮到根據(jù)2根走行軌在A、B兩點間(見圖5)的壓降均相等，則

式中:

ω——震蕩電流的角頻率。

將式(5)和式(6)代入式(7)，得

另外，3根鋼軌在l長度內(nèi)的交鏈磁通Φ分別為

為此，利用式(8)和式(9)，可求得3根鋼軌在l長度內(nèi)的等效外電感分別為

在牽引供電回路中，走行軌之間是并聯(lián)關(guān)系，而接觸軌與走行軌是串聯(lián)關(guān)系，因此整個回路的外電感為

2.2.4 回路總電感

從整個回路角度來講，鋼軌的內(nèi)自感表現(xiàn)為回路內(nèi)電感，而鋼軌外自感和互感綜合作用表現(xiàn)為回路的外電感。這樣，單個供電回路的總電感為

式中:

L1i——接觸軌內(nèi)電感;

L2i——單根走行軌內(nèi)電感;

L1c——為接觸軌接頭處電感;

n——每km鋼軌接頭數(shù)。

2.3 單位長度軌地電容及過渡電阻

單根鋼軌單位長度軌地電容(nF/km)為［7］

式中:

CLE——接觸軌對地電容;

CBE——單根走行軌對地電容;

εr——鋼軌與大地之間的相對介電常數(shù)，接觸軌取2.5，走行軌取3;

ε0——真空介電常數(shù);

ALE——接觸軌的橫截面積;

h——鋼軌對地高度。

考慮到地鐵隧道封閉且近似圓形，h可取d1～d4的平均值。

式(13)表明，軌地電容與頻率無關(guān)，因此其單位長度電容為定值。

回路電流以直流分量為主，過渡電阻對低頻低電壓不敏感，且溫度和濕度對過渡電阻影響很小，因此過渡電阻可視為定值。由CJJ 49—1992《地鐵雜散電流腐蝕防護(hù)技術(shù)規(guī)程》可知，新建線路的過渡電阻Rg≥15Ω/km，運(yùn)營中線路的過渡電阻 Rg≥3Ω/km。

3 關(guān)鍵參數(shù)的確定

由上述分析可知，鋼軌材質(zhì)和安裝位置確定后，影響回路電氣參量的主要因素是鋼軌規(guī)格、負(fù)荷電流幅值、鋼軌接頭數(shù)、線路長度及雜散電流比例。這些量可作為數(shù)值計算的輸入量。有實際意義的電氣參量，如單位長度的鋼軌電阻、電感、電容，以及整個回路的電阻、電感、電容可作為輸出參量。另外，鋼軌交流內(nèi)電感和回路外電感等作為數(shù)值計算的中間變量。

3.1 相對磁導(dǎo)率的確定

鋼軌的磁化特性非常復(fù)雜，且相對磁導(dǎo)率μr與負(fù)荷電流之間的函數(shù)關(guān)系未知，因此確定μr需借助其它參量。為此，通過鋼軌表面磁場強(qiáng)度H確定μr。H與μr的對應(yīng)關(guān)系如圖6所示［2］，其中H在數(shù)值上等于鋼軌電流幅值與其截面周長的比值。

圖6 鋼軌μr與H的關(guān)系曲線

3.2 參量 ber、bei、ber'及 bei'的確定

參量 ber、bei、ber'及 bei'，均可視為變量 p 的函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)。試驗中發(fā)現(xiàn)，求和函數(shù)時只有取前30項級數(shù)的計算才能達(dá)到滿意的精度，顯然這樣龐大的迭代計算非常容易形成誤差累積。為解決此問題，筆者采用近似的定解方法:首先求取每個參量與變量p的具體函數(shù)關(guān)系;然后利用Simulink非線性函數(shù)模塊逼近原數(shù)學(xué)函數(shù);再用其它庫模塊處理非線性函數(shù)。通過該方法，得到參量 ber、bei、ber'、bei'與變量p的函數(shù)曲線，如圖7所示。

圖7 ber、bei、ber'、bei'與 p 的函數(shù)曲線

3.3 其它參數(shù)的確定

按照北京地鐵鋼軌的安裝位置，d1，2、d1，3及 d2，3分別取684 mm、2176 mm和1505 mm。試驗中，每km鋼軌接頭數(shù)取10，雜散電流比例取10%。

Rg受環(huán)境影響較大，但其值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于鋼軌電阻［9］，因此Rg可設(shè)定為3Ω/km。另外，不同型號鋼軌截面的幾何參數(shù)，如表1所示。

表1 不同型號鋼軌截面的幾何參數(shù)

4 回路電氣參量計算及分析

4.1 開發(fā)環(huán)境及協(xié)同計算

Matlab軟件的優(yōu)勢是數(shù)值計算和內(nèi)嵌的Simulink可提供系統(tǒng)級建模和動態(tài)仿真平臺，但其人機(jī)交互功能較差。圖形化編程軟件Labview集成了豐富的圖形界面模板，不僅可模擬真實的物理儀器，而且可將編寫的程序生成可執(zhí)行文件，且具有很好的可移植性［10］。

更為重要的是，Labview內(nèi)嵌了仿真接口工具包SIT，通過TCP/IP數(shù)據(jù)傳輸協(xié)議，可實現(xiàn)兩種軟件的無縫集成和交互。因此，可采用Labview軟件開發(fā)人機(jī)交互界面來實現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的錄入和計算結(jié)果的顯示;利用Simulink搭建模型來實現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)值迭代計算，這樣可簡便且直觀地實現(xiàn)人機(jī)交互和動態(tài)系統(tǒng)的建模及計算［11］。

利用Simulink搭建的求解回路電氣參量的模型非常復(fù)雜，文中不再贅述。其模型如圖8－a)、圖8－b)所示。利用Labview軟件設(shè)計的人機(jī)交互界面，如圖8－c)所示。

4.2 計算結(jié)果

4.2.1 鋼軌電阻

根據(jù)上述回路電氣參量計算方法，得到單根鋼軌的單位長度電阻計算結(jié)果，并將幾組實際測量值［7］和計算誤差列入表2。

由表2可知，接觸軌單位長度電阻值低于走行軌單位長度電阻值;隨著走行軌質(zhì)量的增加，電阻不斷減小;單根鋼軌的計算值與測量值的偏差低于5%。

圖8 Matlab與Labview協(xié)同計算

表2 單根鋼軌單位長度電阻

4.2.2 回路電感

根據(jù)上述回路電感計算方法，當(dāng)頻率為50 Hz、牽引電流小于100 A，可求得P50鋼軌的回路電感為1.458 mH/km，與北京地鐵1978年用50 Hz小電流電壓電流阻抗法測得回路電感的平均值1.467 mH/km之間的誤差為0.61%。

為詳細(xì)說明單位長度回路電感與負(fù)荷電流之間的定量關(guān)系，圖9－a)～圖9－d)給出了P50、P60、P65、P75型鋼軌在牽引電流頻率為10 Hz時單位長度回路電感與負(fù)荷電流的關(guān)系曲線。

圖9 10 Hz回路電感與負(fù)荷電流關(guān)系

表3給出了在牽引電流頻率為10 Hz時單位長度回路電感與負(fù)荷電流關(guān)系的幾組典型值。

表3 牽引電流頻率為10 Hz時單位長度回路電感 mH/km

4.2.3 軌地電容

根據(jù)上述軌地電容參量計算方法，可得到單根鋼軌的單位長度軌地電容的計算結(jié)果，如表4所示。

表4 單位長度鋼軌軌地電容

由表4可知，單位長度的軌地電容相對較小，其產(chǎn)生的阻抗效應(yīng)遠(yuǎn)低于鋼軌電阻和回路電感。

5 結(jié)論

通過研究和分析地鐵牽引供電系統(tǒng)的電磁暫態(tài)特性和物理模型，來尋求提高其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和繼電保護(hù)可靠性方法，則必須準(zhǔn)確掌握直流牽引供電回路的電氣參量及其變化規(guī)律。但是，動態(tài)變化的牽引供電回路電氣參量與鋼軌規(guī)格、負(fù)荷電流等多種因素有關(guān)，導(dǎo)致其直接定解非常困難。為解決此問題，筆者通過構(gòu)建鋼軌和地鐵隧道的物理模型，得到回路電氣參量的數(shù)學(xué)模型，并利用Labview人機(jī)交互界面調(diào)用Matlab/simulink非線性函數(shù)模塊庫逼近原數(shù)學(xué)函數(shù)的有效計算方法，開發(fā)出供電回路電氣參量數(shù)值計算的軟件。

利用該計算軟件，不僅獲得了大量鋼軌電阻、回路電感等主要電氣參量的計算值，而且得到了影響回路電氣參量的主要因素和回路參數(shù)的變化規(guī)律，其具體變化規(guī)律如下:

1)單位長度鋼軌電阻隨著鋼軌橫截面積(取決于走行軌型號)的增加而減小;

2)牽引供電回路電感隨負(fù)荷電流的改變而改變，走行軌型號的改變對牽引供電回路電感的影響不大;

3)在電流相同的情況下，隨著鋼軌橫截面積的增加，回路電感緩慢遞減;

4)回路電感的峰值大約位于牽引負(fù)荷電流0.5 kA處;

5)單位長度軌地電容與電流、電壓、頻率無關(guān)，因此其單位長度電容可視為定值。

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