機(jī)床大規(guī)模公差設(shè)計(jì)策略與數(shù)字化方法

黃強(qiáng)

(重慶理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶400054)

機(jī)械產(chǎn)品的公差設(shè)計(jì)質(zhì)量，是影響其功能、質(zhì)量和成本的決定性因素［1］。公差的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以實(shí)現(xiàn)保障功能前提下的公差最大化，最終實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品成本的合理控制［2］。隨著計(jì)算機(jī)輔助公差設(shè)計(jì)(CAT)的誕生和發(fā)展，大量相關(guān)研究工作在國(guó)際范圍內(nèi)展開并取得了一系列進(jìn)展，包括公差的數(shù)學(xué)語(yǔ)義、數(shù)學(xué)模型、公差網(wǎng)絡(luò)自動(dòng)生成、公差分析以及優(yōu)化等［3－8］。目前，完全數(shù)字化的公差設(shè)計(jì)與優(yōu)化理論及技術(shù)水平距離工程應(yīng)用仍有不小的差距。首先，公差設(shè)計(jì)包含大量的智力工作，如公差項(xiàng)目選擇、封閉環(huán)及修配環(huán)選擇等，而智力恰恰是當(dāng)前計(jì)算機(jī)的短板;其次是大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題，如機(jī)床擁有數(shù)目眾多的幾何尺寸及公差，其優(yōu)化模型必然十分龐大，這可能導(dǎo)致優(yōu)化模型的可計(jì)算性下降甚至不可行。以機(jī)床為對(duì)象，探討大規(guī)模公差設(shè)計(jì)的策略及其數(shù)字化實(shí)現(xiàn)方法。

1 策略及其總體實(shí)施方案

公差設(shè)計(jì)包含兩項(xiàng)主要工作:(1)公差項(xiàng)目及數(shù)值的確定，(2)公差檢驗(yàn)及調(diào)整。在完全采用數(shù)字化技術(shù)實(shí)施機(jī)床大規(guī)模公差設(shè)計(jì)與優(yōu)化成為現(xiàn)實(shí)之前，研究一種基于人機(jī)結(jié)合、充分利用數(shù)字化手段的公差設(shè)計(jì)策略及方法是必要的?；静呗詾?利用數(shù)字化手段最大限度地為這兩項(xiàng)工作提供需要的量化依據(jù)，由人工完成計(jì)算機(jī)不能勝任的那一部分智力工作。其總體實(shí)施方案如圖1所示。

圖1 基于人機(jī)結(jié)合的機(jī)床公差設(shè)計(jì)方案簡(jiǎn)圖

1.1 基于誤差敏感性分析的公差數(shù)值分配

以機(jī)床裝配層公差設(shè)計(jì)為例進(jìn)行闡述。機(jī)床每一個(gè)部件視為一個(gè)誤差單元，即公差控制對(duì)象。在該層面上，只對(duì)各個(gè)部件中的部分功能表面進(jìn)行公差限定，即針對(duì)影響機(jī)床整機(jī)輸出精度的裝配結(jié)合面。在傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)模式下，公差項(xiàng)目及數(shù)值的確定主要依據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)和企業(yè)的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)沉淀，即經(jīng)驗(yàn)結(jié)合類比。限于目前計(jì)算機(jī)智能及推理能力的發(fā)展水平，形位公差類型仍只能采用人工制定，如床身－立柱安裝面與工作臺(tái)－導(dǎo)軌安裝面之間的平行度、主軸軸線與主軸箱主軸輸出端面的垂直度等。但在尺寸公差分配和形位公差數(shù)值確定中，則可以利用數(shù)字化分析方法獲得重要的設(shè)計(jì)依據(jù)——誤差敏感性分析。

(1)誤差敏感性分析

所謂誤差敏感性，即各個(gè)源誤差對(duì)輸出誤差的影響權(quán)重。機(jī)床的輸出精度是各個(gè)誤差單元綜合作用的結(jié)果。機(jī)床盡管具有多個(gè)誤差單元，但它們對(duì)機(jī)床輸出精度的影響程度不同，通過(guò)誤差敏感性分析掌握其量化規(guī)律，可以為公差數(shù)值的初步確定提供有力的依據(jù):越敏感的誤差制定越嚴(yán)格的公差。

(2)機(jī)床誤差模型

實(shí)施機(jī)床誤差敏感性分析及后續(xù)的公差控制效果預(yù)測(cè)，均需要依托目標(biāo)機(jī)床的誤差模型。機(jī)床誤差建?；诙囿w系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和齊次坐標(biāo)變換原理［9］，在裝配層面，該模型能準(zhǔn)確反映機(jī)床各個(gè)部件之間的幾何位置、姿勢(shì)、運(yùn)動(dòng)關(guān)系以及誤差傳遞規(guī)律，是計(jì)算機(jī)輔助系統(tǒng)精度分析及公差設(shè)計(jì)的核心。

1.2 公差控制效果檢驗(yàn)及公差調(diào)整

依據(jù)國(guó)標(biāo)、經(jīng)驗(yàn)和誤差敏感性分析結(jié)果完成機(jī)床大規(guī)模公差的初步設(shè)計(jì)之后，其控制效果是否滿足設(shè)計(jì)要求是未知的，此時(shí)可以通過(guò)數(shù)字化手段對(duì)各項(xiàng)相關(guān)公差的綜合控制效果預(yù)測(cè)檢驗(yàn)。如果預(yù)測(cè)檢驗(yàn)的結(jié)果不合格或者不理想，就需要結(jié)合敏感性分析的結(jié)果選擇公差調(diào)整對(duì)象并進(jìn)行針對(duì)性調(diào)整，而確定調(diào)整量大小，則需要先分析該項(xiàng)公差對(duì)系統(tǒng)輸出精度的量化作用規(guī)律。這是一項(xiàng)人機(jī)交互式的循環(huán)工作，直到設(shè)計(jì)結(jié)果滿意為止。

2 機(jī)床通用誤差模型的建立

不同種類和型號(hào)的機(jī)床具有不同的空間結(jié)構(gòu)、尺寸及相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以目前的機(jī)床誤差建模與分析通常只針對(duì)特定的目標(biāo)機(jī)床，這就意味著不同的機(jī)床需要單獨(dú)誤差建模并進(jìn)行所需的分析，建立一個(gè)具有一定通用性的機(jī)床誤差模型十分有利于機(jī)床誤差分析及公差設(shè)計(jì)。

2.1 機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的共性

一個(gè)通用的機(jī)床誤差模型，首先是一個(gè)面向任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的機(jī)床模型。金屬切削機(jī)床均需要通過(guò)刀具和工件之間的相對(duì)切削運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)工件的加工，因此，除并聯(lián)機(jī)床外，切削機(jī)床在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上應(yīng)存在共性。圖2 為一臺(tái)臥式車床的結(jié)構(gòu)示意圖，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖3所示。機(jī)床以基礎(chǔ)支承件床身7 為基點(diǎn)，各個(gè)相關(guān)部件分成兩支，一支從床身7 到工件10，另一支從床身7 至刀具1。所以，不同結(jié)構(gòu)的機(jī)床具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征，即任意一臺(tái)金屬切削機(jī)床的部件鏈均由一系列相鄰的部件串接而成。部件鏈分成兩個(gè)部分:工件鏈和刀具鏈，連接點(diǎn)為床身。部件鏈中的各相鄰部件之間的關(guān)系可以是固聯(lián)、移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖2 機(jī)床結(jié)構(gòu)示意圖

圖3 機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意圖

2.2 部件鏈關(guān)系的數(shù)學(xué)描述及其共性

機(jī)床部件鏈由一系列相鄰部件串接而成，部件鏈起始兩端部件的相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)及其誤差關(guān)系，是各個(gè)相鄰的部件的相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)及其誤差關(guān)系的綜合作用結(jié)果。在機(jī)床的各個(gè)部件上分別設(shè)置各自的局部坐標(biāo)系，則各個(gè)部件坐標(biāo)系在6 個(gè)自由度上的變動(dòng)可準(zhǔn)確表征機(jī)床各部件的相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)及其誤差關(guān)系。

(1)兩個(gè)相鄰部件

在機(jī)床中選取兩個(gè)相鄰的部件i 和j。在無(wú)誤差狀態(tài)下，部件j 相對(duì)于部件i 的位姿和運(yùn)動(dòng)關(guān)系可用兩個(gè)部件坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)變換矩陣表示［9］:

其中:Tijp為兩部件的位姿變換矩陣，Tijs為運(yùn)動(dòng)變換矩陣;c 表示cos，s 表示sin;xijp、yijp和zijp分別表示坐標(biāo)系j 相對(duì)于坐標(biāo)系i 在x、y 和z 方向上的相對(duì)位置;xijs、yijs和zijs分別表示坐標(biāo)系j 相對(duì)于坐標(biāo)系i 沿x、y 和z 軸的相對(duì)直線運(yùn)動(dòng)量;當(dāng)兩部件間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，Tijs為單位矩陣;α、β 和γ 分別表示兩個(gè)坐標(biāo)系的x、y 和z 軸之間的夾角或角位移，其下標(biāo)含義同線位移。

有誤差狀態(tài)下，部件j 與部件i 之間至少存在相對(duì)位姿誤差，其總誤差矩陣的原始形式與式(2)和式(3)相似(將xijp、yijp、zijp、αijp、βijp和γijp分別置換為誤差參量 Δxijp、Δyijp、Δzijp、Δαijp、Δβijp和Δγijp)。由于Δαijp、Δβijp和Δγijp均為微小量，故兩個(gè)部件之間總的位姿誤差矩陣在忽略高階誤差項(xiàng)后可表示為:

如果兩個(gè)部件之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)誤差矩陣ΔTijs可用與式(4)相同的形式表示(下標(biāo)換為ijs)。因此，部件j 相對(duì)于部件i 的關(guān)系可完整表示為:

Tij稱之為部件j 相對(duì)于部件i 的特征變換矩陣［10］。

(2)完整部件鏈

切削加工誤差可直觀描述為刀具與工件偏離理想的相對(duì)位姿和相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，因此，為分析機(jī)床各個(gè)部件誤差對(duì)加工精度的作用效應(yīng)以及累計(jì)效應(yīng)，部件鏈一般應(yīng)表示為:刀具→部件1→中間部件2→…→中間部件n→工件，其總特征變換矩陣應(yīng)為部件鏈中各相鄰部件間特征變換矩陣的順序連乘:

式(6)即為“刀具－工件”鏈的總特征變換矩陣，完整地描述了刀具與工件之間相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)和誤差的來(lái)源以及相互關(guān)系。

2.3 機(jī)床通用誤差模型的建立

上一節(jié)的分析結(jié)果顯示:盡管不同種類和型號(hào)的金屬切削機(jī)床具有不同的空間結(jié)構(gòu)、尺寸以及運(yùn)動(dòng)，但刀具與工件之間的相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)及其誤差關(guān)系均可用式(6)所示的特征變換矩陣表征，而該特征變換矩陣又取決于部件鏈中各個(gè)相鄰部件之間的相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)及其誤差矩陣如式(5)，且式中的Tijp、Tijs、ΔTijp及ΔTijs統(tǒng)一具有固定格式的4 ×4 形式，這就給建立通用的機(jī)床誤差模型提供了條件，即編制一個(gè)交互式的計(jì)算機(jī)軟件，就可以實(shí)現(xiàn)不同機(jī)床的數(shù)字化誤差建模與分析。

數(shù)字化機(jī)床誤差建模與分析的基本原理及結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 數(shù)字化機(jī)床誤差建模與分析的基本原理及結(jié)構(gòu)

其中建模工作包括3 個(gè)部分:

(1)建模準(zhǔn)備

針對(duì)一臺(tái)目標(biāo)機(jī)床，首先需要人工分析其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，理清該機(jī)床從刀具到工件的部件順序，并按“刀具－工件”鏈順序?qū)C(jī)床部件進(jìn)行編號(hào)并建立部件坐標(biāo)系。然后根據(jù)目標(biāo)機(jī)床的設(shè)計(jì)資料確定“刀具－工件”鏈上各個(gè)相鄰部件間的相對(duì)位置、姿勢(shì)和運(yùn)動(dòng)參數(shù):

①兩個(gè)局部坐標(biāo)系在x、y、z 軸方向上的相對(duì)位置xijp、yijp和zijp以及這兩個(gè)局部坐標(biāo)系的3 個(gè)坐標(biāo)軸的夾角αijp、βijp和γijp。

②局部坐標(biāo)系j 相對(duì)坐標(biāo)系i 的相對(duì)運(yùn)動(dòng):在x、y、z 軸方向上的相對(duì)直線運(yùn)動(dòng)xijs、yijs和zijs以及繞著3 個(gè)坐標(biāo)軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)αijs、βijs和γijs。

(2)機(jī)床部件相對(duì)位姿和運(yùn)動(dòng)參數(shù)輸入

將上述機(jī)床參數(shù)逐一輸入圖4所示界面。計(jì)算機(jī)首先將這些參數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的4 ×4 矩陣并儲(chǔ)存，然后按照式(2)和式(3)計(jì)算并儲(chǔ)存各個(gè)相鄰部件間的相對(duì)位姿關(guān)系矩陣Tijp及運(yùn)動(dòng)矩陣Tijs。根據(jù)通用化需求，程序的原始設(shè)置為兩個(gè)相鄰部件間同時(shí)存在6 自由度的相對(duì)位姿關(guān)系和6 自由度的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系。輸入實(shí)際的關(guān)系值后，其余關(guān)系參數(shù)自動(dòng)置零。

(3)誤差矩陣設(shè)置及其初始化

在實(shí)際狀況下，兩個(gè)相鄰部件相對(duì)位姿和運(yùn)動(dòng)均存在誤差，所以程序預(yù)置兩個(gè)相鄰部件的相對(duì)位姿和運(yùn)動(dòng)均存在如式(4)所示的6 自由度誤差ΔTijp和ΔTijs。由于誤差參量是被分析參量，故兩個(gè)誤差矩陣中的相關(guān)誤差項(xiàng)均初始化為零，即此時(shí)ΔTijp和ΔTijs均為單位矩陣。

完成上述3 項(xiàng)工作后，目標(biāo)機(jī)床的部件層誤差模型自動(dòng)在計(jì)算機(jī)中建立并儲(chǔ)存在對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)庫(kù)中。目標(biāo)機(jī)床各相鄰部件之間的關(guān)系如式(5)所示，刀具與工件的關(guān)系如式(6)所示。完成建模后即可進(jìn)行相應(yīng)的分析工作。圖5 是一個(gè)誤差單元的敏感性分析結(jié)果，對(duì)象是圖2所示機(jī)床的中拖板。機(jī)床誤差敏感性分析的基本原理及具體方法可參閱文獻(xiàn)［10］。

圖5 中托板單元誤差的敏感性分析

3 面向系統(tǒng)的公差語(yǔ)義及其數(shù)學(xué)模型

利用機(jī)床的誤差模型，不僅可以分析源誤差的傳遞與積累規(guī)律，也可以實(shí)現(xiàn)公差控制效果的預(yù)測(cè)檢驗(yàn)。進(jìn)行數(shù)字化公差檢驗(yàn)工作，首先必須建立對(duì)應(yīng)的公差數(shù)學(xué)模型。

對(duì)于單個(gè)零件，其公差語(yǔ)義為公差的原始定義，主要用于零件的加工工藝編制及檢驗(yàn)等工作，此處不再贅述。但在系統(tǒng)公差設(shè)計(jì)的實(shí)施中，則需要零件功能表面的公差具有面向系統(tǒng)的公差語(yǔ)義。仍以圖2所示機(jī)床為例，設(shè)床身7 上與主軸箱8 結(jié)合的表面為P，其公差為T，平面P 在公差范圍內(nèi)的變動(dòng)，必然造成部件8 位置和姿勢(shì)(以后簡(jiǎn)稱位姿)的變化，并通過(guò)部件9 傳遞到工件10，導(dǎo)致工件10 偏離理論位姿，從而最終影響零件的加工精度。公差T 的直接作用效應(yīng)，是使部件8 在6 自由度上偏離其理想位姿，即沿x 向、y 向和z 向平移;繞x 軸、y 軸和z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，文中用Δx、Δy、Δz、Δα、Δβ 和Δγ 表示。這一組輸出變量表征了公差T 在系統(tǒng)中對(duì)其廣義配合件的作用輸出，即公差T 面向系統(tǒng)的公差語(yǔ)義。

在公差控制效果預(yù)測(cè)中，最被關(guān)注的是該項(xiàng)公差對(duì)“刀具－工件”相對(duì)位姿的最終約束效果，所以，公差的對(duì)外作用語(yǔ)義應(yīng)表示為與機(jī)床誤差模型兼容的形式，即與式(4)相同的形式:

不同的公差項(xiàng)目具有不同的公差帶，這些公差帶均可用式(7)表示，其區(qū)別只是約束不同。因此，不同幾何要素的公差，需要建立不同的約束模型。

對(duì)一個(gè)指定的表面，根據(jù)需求可以有不同的公差約束形式，如尺寸公差、相對(duì)其他要素(平面和直線)的平行度、垂直度、傾斜度、對(duì)稱度以及本身的形狀。公差域由4 個(gè)要素決定，公差域的形狀可統(tǒng)一用式(7)表示，所以不同的表面公差約束體現(xiàn)為位置、大小和方向的不同。機(jī)床裝配中最常見的結(jié)合表面為平面和圓柱面，下面以平面為例介紹公差數(shù)學(xué)模型的建立方法。

如圖6所示，平面公差的自由度變量為線位移自由度變量Δy、轉(zhuǎn)動(dòng)自由度變量Δα 和Δγ。在平面P的中心建立局部坐標(biāo)系Oixiyizi，xi和zi軸分別平行于矩形的兩條邊，yi軸垂直平面P。設(shè)矩形邊長(zhǎng)分別為2a 和2b，平面P 上點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0，z)，其中－b≤x≤b，－a≤z≤a。實(shí)際平面P'偏離理想平面P，即平面 P 上點(diǎn)(x，0，z)偏離到(x'，y'，z')。平面P' 上的所有點(diǎn)應(yīng)約束在距離為T 的上下兩平行平面之內(nèi)。在該局部坐標(biāo)系內(nèi)，局部坐標(biāo)系在公差T 范圍內(nèi)的自由度變量的取值范圍和相互關(guān)系可表示為:

圖6 平面公差的幾何模型示意圖

4 公差控制效果的預(yù)測(cè)方法示例

由于整機(jī)的公差設(shè)計(jì)效果預(yù)測(cè)(積累效應(yīng)分析)包括一系列的公差項(xiàng)目，涉及過(guò)多的設(shè)定與分析描述，所以文中選取一個(gè)單項(xiàng)公差的控制效果及作用規(guī)律分析作為方法示例。

圖7 為YK3610 滾齒機(jī)的三維裝配示意圖，圖中工件主軸部件2 安裝在床身9 上，圖8 為兩者接觸面以及工件主軸部件的坐標(biāo)示意圖，此處將床身上的該平面簡(jiǎn)稱為P。工件主軸軸線應(yīng)平行于軸向進(jìn)給導(dǎo)軌(部件8 和部件9 之間的導(dǎo)軌)是機(jī)床設(shè)計(jì)的一項(xiàng)重要要求，床身上的平面P 與軸向進(jìn)給導(dǎo)軌安裝面之間的平行度要求，是保障該項(xiàng)設(shè)計(jì)要求的主要因素之一。

分析目標(biāo):預(yù)測(cè)分析平面P 在平行度公差Tp約束下工件芯棒軸線的變動(dòng)范圍及規(guī)律，用圖8 中x1和y1兩個(gè)方向的跳動(dòng)值表征。

圖7 YK3610 樣機(jī)的三維裝配示意圖

圖8 工件主軸部件安裝表面坐標(biāo)示意圖

在工件芯棒軸線上設(shè)定分析點(diǎn)Q(0，0，L)，L的取值范圍為工件安裝范圍。根據(jù)機(jī)床系統(tǒng)誤差建模結(jié)果，點(diǎn)Q 到床身坐標(biāo)系的傳遞關(guān)系為:

基于這一傳遞關(guān)系，設(shè)此時(shí)工件主軸部件到工件芯棒之間無(wú)誤差，即ΔT21為單位矩陣，再將ΔT92設(shè)為式(7)所示公差，就可以預(yù)測(cè)平面P 的平行度公差Tp在指定目標(biāo)下的約束效果及調(diào)整量。

(1)Tp的約束效果預(yù)測(cè)

設(shè)圖6 中x1和y1兩個(gè)方向跳動(dòng)值的設(shè)計(jì)要求為300:0.015 mm。如果公差Tp的初始設(shè)計(jì)值為0.02 mm，P 平面誤差可以引起的最大跳動(dòng)值為:

x1方向:小于0.001 mm

y1方向:0.020 8 mm

預(yù)測(cè)結(jié)果表明:如果Tp=0.02 mm ，即使在不考慮主軸芯棒自身誤差及軸向進(jìn)給導(dǎo)軌誤差的情況下，y1方向的最大跳動(dòng)值已超標(biāo)，所以Tp需要調(diào)整。另外，x1方向的跳動(dòng)值對(duì)Tp十分不敏感，這對(duì)后續(xù)分析及今后的設(shè)計(jì)和加工十分有利。

(2)Tp與作用結(jié)果之間的關(guān)系

圖9(a)是Tp大小與y1方向最大跳動(dòng)值之間的映射關(guān)系;如果P 平面誤差在Tp范圍內(nèi)服從正態(tài)分布，則造成的y1方向最大跳動(dòng)值的統(tǒng)計(jì)分布如圖9(b)所示。依據(jù)圖9 可反求滿足要求的Tp值。注:影響x1和y1兩個(gè)方向跳動(dòng)值的因素包括Tp、軸向進(jìn)給導(dǎo)軌誤差以及主軸芯棒自身誤差等，所以Tp的調(diào)整應(yīng)建立在合理的精度分配基礎(chǔ)之上。

圖9 P 平面公差與y1 方向最大跳動(dòng)值之間的關(guān)系

5 結(jié)論

(1)在目前數(shù)字化公差設(shè)計(jì)理論和技術(shù)沒有系統(tǒng)完善的情況下，可以采用人機(jī)結(jié)合的方式，充分利用數(shù)字化手段進(jìn)行機(jī)床的大規(guī)模公差設(shè)計(jì)與優(yōu)化。即利用數(shù)字化手段最大限度地為公差設(shè)計(jì)、檢驗(yàn)及調(diào)整工作提供需要的量化依據(jù)，由人完成計(jì)算機(jī)不能勝任的智力工作。

(2)機(jī)床的誤差敏感性分析、公差檢驗(yàn)及調(diào)整必須依托機(jī)床的誤差模型。由于機(jī)床在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和部件鏈關(guān)系的數(shù)學(xué)描述上均具有共性，所以可以采用編程方式建立一個(gè)通用的機(jī)床誤差模型。

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