孫彥清，龍姝明，黃朝軍，婁本濁

（陜西理工學(xué)院物理與電信工程學(xué)院，漢中723000）

1 引 言

近年來，囚禁超冷玻色氣體、超冷費(fèi)米氣體的理論和實(shí)驗(yàn)研究取得了一系列成果，極大地激發(fā)了相關(guān)學(xué)者對(duì)超冷量子氣體的研究熱情.有學(xué)者對(duì)囚禁在諧振勢(shì)場(chǎng)中的玻色-愛因斯坦凝聚、微弱電場(chǎng)中理想費(fèi)米體系的熱容量和化學(xué)勢(shì)、磁場(chǎng)中非廣延相對(duì)論理想費(fèi)米體系的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)、一般勢(shì)阱之中（T ≠0K）理想費(fèi)米氣體的空間囚禁范圍、諧振勢(shì)中自旋極化理想費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)等進(jìn)行了大量的研究［1-6］.關(guān)于有弱相互作用的量子體系，有學(xué)者對(duì)于囚禁在諧振勢(shì)中的費(fèi)米氣體熱力學(xué)性質(zhì)、簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體坍塌條件、6Li原子激光的輸出、外勢(shì)中費(fèi)米體系密度、簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體的穩(wěn)定性以及s波和p波作用的影響、諧振勢(shì)和冪函數(shù)勢(shì)中費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)、強(qiáng)磁場(chǎng)中費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)和超冷費(fèi)米氣體的相對(duì)論效應(yīng)、超流氦（HeⅡ）及弱相互作用費(fèi)米氣體和玻色氣體的Joule-Thomson 系數(shù)等問題開展了的研究，取得了一系列重要的研究成果［7-19］.

關(guān)于量子體系的現(xiàn)有研究，主要討論的是量子系統(tǒng)在單外場(chǎng)中的熱力學(xué)性質(zhì)，關(guān)于雙外場(chǎng)中量子系統(tǒng)熱力學(xué)性質(zhì)的研究較少.文獻(xiàn)［20］研究均勻電場(chǎng)和諧振場(chǎng)共同約束下的帶電費(fèi)米系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)在雙外場(chǎng)約束下的系統(tǒng)具有高溫弱簡(jiǎn)并效應(yīng)和分?jǐn)?shù)維運(yùn)動(dòng)空間效應(yīng).為深入研究復(fù)雜時(shí)空分布的外場(chǎng)對(duì)物質(zhì)體系熱力學(xué)性質(zhì)的影響、實(shí)驗(yàn)上選擇最佳外勢(shì)阱的形式及相關(guān)物理參數(shù)、探索新材料提供思路和理論參考，我們以處于均勻電場(chǎng)和諧振場(chǎng)中的帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)（忽略粒子間的相互作用后，可視為理想費(fèi)米氣體系統(tǒng)）為對(duì)象，研究雙外場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)Joule-Thomson 系數(shù)的調(diào)控作用.在滿足Thomas-Fermi半經(jīng)典近似的條件下，給出勻強(qiáng)電場(chǎng)和三維諧振場(chǎng)中的帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)、狀態(tài)方程和Joule-Thomson系數(shù)的解析表達(dá)式，分析有限溫度范圍內(nèi)雙外場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)Joule-Thomson系數(shù)的調(diào)控作用.

2 雙外場(chǎng)中費(fèi)米氣體的化學(xué)勢(shì)和狀態(tài)方程

質(zhì)量為m、帶電量為q的N 個(gè)費(fèi)米粒子在三維各向同性諧振場(chǎng)（振動(dòng)頻率為ω）和沿x軸方向的均勻電場(chǎng)E 構(gòu)建的雙外場(chǎng)中運(yùn)動(dòng).假定粒子數(shù)密度低，可以忽略粒子間相互作用，無相互作用的N 個(gè)費(fèi)米粒子與外場(chǎng)組成的系統(tǒng)可以視為理想費(fèi)米氣體，其體積為V，氣體內(nèi)能為U.單個(gè)費(fèi)米粒子的能量可表示為

式中p2／（2m）為費(fèi)米粒子的動(dòng)能，u（r）為粒子在諧振場(chǎng)和均勻電場(chǎng)中的勢(shì)能.

在原子氣體的囚禁實(shí)驗(yàn)中，通常滿足粒子數(shù)足夠多，粒子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能遠(yuǎn)大于能級(jí)間隔，所以Thomas-Fermi半徑典近似是適用的［21］，用相空間積分代替量子態(tài)求和，則受外電場(chǎng)和諧振場(chǎng)約束的費(fèi)米氣體在等能量曲面ε≥0 內(nèi)的量子態(tài)數(shù)Ω（ε）及量子態(tài)密度D（ε）分別為

式（2）中?=h／（2π）是約化普朗克常量，g 為系統(tǒng)中粒子的自旋簡(jiǎn)并度，與其內(nèi)部結(jié)構(gòu)有關(guān).自由理想 費(fèi) 米 粒 子 系 統(tǒng) 的 態(tài) 密 度 D（ε）= 2πg(shù)V（2m／h2）3／2ε1／2依賴于能量的1／2 次冪，與自由理想費(fèi)米粒子系統(tǒng)不同，雙外場(chǎng)中的理想費(fèi)米粒子系統(tǒng)的量子態(tài)密度依賴于能量的2次冪，而且與電場(chǎng)強(qiáng)度和諧振場(chǎng)頻率都密切相關(guān).

據(jù)統(tǒng)計(jì)力學(xué)原理，在均勻電場(chǎng)和諧振場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的費(fèi)米粒子的平均占有數(shù)為

式中z=eβμ=eμ／kT為理想費(fèi)米氣體的逸度，β=1／（kT），k 為玻耳茲曼常數(shù)，T 為熱力學(xué)溫度.為計(jì)算費(fèi)米粒子系統(tǒng)的熱力學(xué)量需要定義費(fèi)米積分

可以證明費(fèi)米積分有下面的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

z很大時(shí)（對(duì)應(yīng)低溫區(qū)），l＜5的費(fèi)米積分近似為

其中［l／2］表示對(duì)l／2取整.取l=1～4得到費(fèi)米積分大z值近似

據(jù)式（6）和式（8）并用迭代算法證明，如果費(fèi)米粒子取為電子，則粒子數(shù)不變的帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)在外場(chǎng)中的費(fèi)米能量μF和化學(xué)勢(shì)μ（大z 值近似）分別為（sF=α／μF）

取q=1.602×10-19C，w=2π×107Hz，N=6.02×1023，g=1，分別畫出費(fèi)米能量μF隨外電場(chǎng)E 變化和隨粒子質(zhì)量變化的曲線（見圖1）.

圖1 費(fèi)米能量隨外電場(chǎng)和粒子質(zhì)量的變化曲線（a）m=me=9.11×10-28 g，外電場(chǎng)E 對(duì)費(fèi)米能量的調(diào)控；（b）E=500V／m，費(fèi)米能量隨粒子質(zhì)量的變化Fig.1 The curves of the Fermi energy with the external electric field and particle mass changes

式（10）和圖1表明雙外場(chǎng)對(duì)費(fèi)米能量有明顯的調(diào)控作用.外電場(chǎng)越強(qiáng)，系統(tǒng)費(fèi)米能量越低.因α 隨質(zhì)量增加而減小，圖1（b）表明，外場(chǎng)中費(fèi)米粒子氣體的費(fèi)米能量μF隨粒子質(zhì)量的增加而快速增加.

若取m=9.11×10-28g，N=6.02×1023，ω=2π×107Hz，α=5.569eV，μF=1.969eV，畫出帶電費(fèi)米子系統(tǒng)化學(xué)勢(shì)隨溫度變化的曲線（見圖2）.由圖2顯見，外場(chǎng)對(duì)帶電費(fèi)米子系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)有調(diào)控作用.外電場(chǎng)越強(qiáng)，帶電費(fèi)米子系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)和費(fèi)米能量值越小，并且系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)由正變負(fù)的臨界溫度越低.

圖2 雙外場(chǎng)中的帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)化學(xué)勢(shì)隨溫度變化曲線（a）E=500V／m，μF=1.969eV，化學(xué)勢(shì)由正變負(fù)的臨界溫度Tμ=24800K；（b）E=1000V／m，μF=0.1704eV，化學(xué)勢(shì)由正變負(fù)的臨界溫度Tμ=12200KFig.2 The curves of the chemical potential with the temperature changes

外電場(chǎng)E=500V／m 時(shí)，由圖2（a）結(jié)合計(jì)算可知，T＜600K 時(shí)，外場(chǎng)中的帶電費(fèi)米子系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)μ／（kT）≈μF／（kT）＞38，即化學(xué)勢(shì)μ 在很大溫度范圍內(nèi)能近似等于系統(tǒng)的費(fèi)米能量μF=1.969eV，考慮這一結(jié)果，我們可以導(dǎo)出外場(chǎng)中的帶電費(fèi)米子系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度變化的顯函數(shù)關(guān)系是（其中，α／μF是由外場(chǎng)決定的常數(shù)）

據(jù)熱力學(xué)理論P(yáng)V=2U／3，結(jié)合式（11）得到雙外場(chǎng)中費(fèi)米氣體的狀態(tài)方程（即氣體的壓強(qiáng)P 與體積V 之積）為

3 雙外場(chǎng)中費(fèi)米氣體的Joule-Thomson系數(shù)

由式（12）得到

保持P 不變對(duì)式（13）關(guān)于T 求導(dǎo)可得

根據(jù)H =U+PV，得費(fèi)米氣體的焓

保持P 不變對(duì)式（15）關(guān)于T 求導(dǎo)，可得

對(duì)式（8）保持氣體系統(tǒng)粒子數(shù)N 和壓強(qiáng)P 不變關(guān)于T 求導(dǎo)，得到

引用費(fèi)米積分大z值近似，上式簡(jiǎn)化為

由統(tǒng)計(jì)力學(xué)理論可知費(fèi)米子氣體的Joule-Thomson系數(shù)為

式中，μJT、CP、H 分別是費(fèi)米氣體系統(tǒng)的焦耳-湯姆遜系數(shù)、定壓熱容量、狀態(tài)函數(shù)焓.聯(lián)立式（13）～（18）得到均勻電場(chǎng)和諧振場(chǎng)中帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)的Joule-Thomson系數(shù)

4 雙外場(chǎng)對(duì)焦湯系數(shù)的調(diào)控作用

引用式（7）、（17）、（19）得到帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)的焦湯系數(shù)μJT（大z值近似）為

若取P=20dn／cm2，m=9.11×10-28g，N=6.02×1023，ω=2π×107Hz，α=5.569eV，μF=1.969eV，依據(jù)式（20），可以畫出如圖3所示的帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)的焦湯系數(shù)隨溫度變化的曲線.注意式（20）有效的溫度范圍由μ／（kT）＞＞1 決定.T=8000K 時(shí)，μ／（kT）=2.56已經(jīng)不能滿足遠(yuǎn)大于一的條件了.

圖3 外場(chǎng)中的帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)的焦湯系數(shù)隨溫度變化曲線（a）E=500V／m，臨界溫度TC=8000K；（b）E=1000V／m，臨界溫度TC=1200KFig.3 The curves of the Joule-Thomson coefficient with the temperature changes

圖3表明，低溫情況下均勻電場(chǎng)和諧振場(chǎng)中帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)的Joule-Thomson效應(yīng)為負(fù)效應(yīng).隨著溫度的升高，系統(tǒng)的焦湯效應(yīng)將由負(fù)變正，其臨界溫度受外加電場(chǎng)調(diào)控，外電場(chǎng)越強(qiáng)，臨界溫度越低.計(jì)算表明，粒子質(zhì)量增加時(shí)，系統(tǒng)的費(fèi)米能量增加，系統(tǒng)的焦湯系數(shù)臨界溫度也將增加.

5 結(jié) 語(yǔ)

（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)和諧振場(chǎng)構(gòu)成的雙外場(chǎng)對(duì)帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)的焦耳-湯姆遜系數(shù)及所有熱力學(xué)量有十分明顯的調(diào)控作用.這表明，可以用加雙外場(chǎng)的方法改變帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)的溫度、壓強(qiáng)、體積等.

（2）外電場(chǎng)的存在會(huì)使帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)產(chǎn)生焦耳-湯姆遜正效應(yīng).隨著溫度的升高，帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)的焦耳-湯姆遜系數(shù)的值逐漸由負(fù)變正，而且臨界溫度TC隨外電場(chǎng)增強(qiáng)而降低.

（3）費(fèi)米粒子系統(tǒng)的焦耳-湯姆遜系數(shù)由負(fù)變正的臨界溫度TC隨粒子質(zhì)量μ 增加而明顯增加，這說明，大質(zhì)量帶電費(fèi)米粒子系統(tǒng)要取得正焦耳-湯姆遜效應(yīng)很困難.（4）費(fèi)米粒子系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)μ 隨溫度的升高，由正變負(fù)的臨界溫度Tμ隨外電場(chǎng)的增加而明顯降低.

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