張明君，邵 誠(chéng)，李世寬

（1.大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.大連大顯集團(tuán)，遼寧 大連 116620）

0 引 言

模糊自適應(yīng)控制近20年得到了快速發(fā)展，在非線性系統(tǒng)控制領(lǐng)域得到了大量應(yīng)用［1－13］.目前，模糊自適應(yīng)控制主要分為基于模糊建模規(guī)則的間接自適應(yīng)控制和基于模糊控制規(guī)則的直接自適應(yīng)控制［2］.間接自適應(yīng)控制中，模糊系統(tǒng)的語言描述能力被充分用來描述系統(tǒng)，從而使系統(tǒng)中的未知函數(shù)可以用模糊模型來建模，文獻(xiàn)［3－5］為典型的模糊間接自適應(yīng)控制.但是對(duì)于較高變量維數(shù)的系統(tǒng)，或當(dāng)模糊模型的規(guī)則數(shù)增加時(shí)，上述文獻(xiàn)中的控制器計(jì)算量將會(huì)增長(zhǎng)迅速.而直接自適應(yīng)控制通常采用模糊系統(tǒng)去逼近理想的等價(jià)控制器，一般要求系統(tǒng)增益函數(shù)已知，或者其界值可估計(jì)，但實(shí)際應(yīng)用中界值不易確定，這樣可能使控制器的設(shè)計(jì)過于保守.文獻(xiàn)［6－8］中的直接模糊控制方法均需已知控制增益函數(shù)；文獻(xiàn)［9－11］中均假設(shè)控制增益為常數(shù)；文獻(xiàn)［12－13］中控制方法則是在估計(jì)未知控制增益函數(shù)界值的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，可能使控制器設(shè)計(jì)具有保守性.

本文在文獻(xiàn)［13］基礎(chǔ)上，針對(duì)含有不確定項(xiàng)的非線性系統(tǒng)，在控制增益函數(shù)及其界值均未知的條件下，僅要求控制增益函數(shù)為有界函數(shù)，設(shè)計(jì)新穎的等價(jià)控制器，應(yīng)用廣義模糊雙曲正切模型在線逼近等價(jià)控制器，并用一個(gè)雙曲形式的魯棒補(bǔ)償控制項(xiàng)來消除系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)和逼近誤差，以期實(shí)現(xiàn)魯棒直接自適應(yīng)模糊控制.

1 預(yù)備知識(shí)

廣義模糊雙曲正切模型［14－16］是近年由Zhang等提出的模糊模型，已被證明是一種萬能逼近器.

定義1［15］已 知x＝（x1（t） …xn（t））T為MISO系統(tǒng)的狀態(tài)向量，通過平移常數(shù)dzj（z＝1，…，n，j＝1，…，wn）構(gòu)成廣義狀態(tài)變量＝xz－dzj，定義模糊集合P和N的隸屬函數(shù)分別為

式中：ki為常數(shù).模糊模型的模糊規(guī)則（第l條）為

其中Fxzj為廣義狀態(tài)變量＝xz－dzj的模糊子集，cFzj是與之對(duì)應(yīng)的常數(shù).系統(tǒng)的輸出變量y（t）由各模糊規(guī)則推得為

2 控制問題描述

考慮如下形式的SISO 非線性系統(tǒng)：

其中f（x）、g（x）是未知的非線性函數(shù)；系統(tǒng)的輸入、輸出變量為u（k）∈R，y（k）∈R，狀態(tài)向量為x＝（x…x（n－1））T＝（x1…xn）T∈Rn，系統(tǒng)的不確定項(xiàng)d∈R有界，包含外部干擾、未建模動(dòng)態(tài)和測(cè)量誤差項(xiàng)，

假設(shè)1［17］非線性系統(tǒng)（4）中的非線性函數(shù)f（x）和控制增益函數(shù)g（x）未知但有界，即x∈Rn，存在未知邊界使得成立.

假設(shè)2［17］對(duì)于任意x∈D，有g(shù)（x）／xn＝0，使得

其中D∈Rn表示模糊逼近域，也即（x）只取決于狀態(tài)向量x.

控制系統(tǒng)（4）的設(shè)計(jì)目標(biāo)是，設(shè)計(jì)一個(gè)控制算法，使系統(tǒng)輸出y（t）跟蹤有界參考信號(hào)ym（t）.定義e＝y(tǒng)m－y為系統(tǒng)的跟蹤誤差，假設(shè)ym具有n－1 階的各階導(dǎo)數(shù)，定義系統(tǒng)（4）等價(jià)表示為

3 魯棒直接自適應(yīng)模糊控制算法

由文獻(xiàn)［1］知，當(dāng)f（x）和g（x）均已知，d＝0時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)（6）可設(shè)計(jì)等價(jià)控制器

其中K＝（kn…k1）T∈Rn使得h（s）＝sn＋k1sn－1＋…＋kn的所有的極點(diǎn)均落在左半開平面上，即A－BKT為嚴(yán)格Hurwitz的.

假設(shè)Q為滿足Q＝QT＞0的正定對(duì)稱矩陣，P是滿足下列方程的正定解：

本文對(duì)上述控制器修改如下：

因?yàn)閒（x）和g（x）均未知，且d≠0，用廣義模糊雙曲正切模型在線逼近上述模糊控制器

注釋1 在線逼近等價(jià)控制器的模糊模型可以采用模糊基結(jié)構(gòu)的多種模糊模型.本文選用廣義模糊雙曲正切模型逼近模糊控制器有如下原因：首先，GFHM 已被證明是萬能逼近器，可以用來構(gòu)建模糊控制器；其次，其模糊語言簡(jiǎn)單易獲得，而且模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，算法易實(shí)現(xiàn)［15］.

定義自適應(yīng)參數(shù)θ的約束集為Ωθ＝｛θ∈Rl：θ≤Mθ｝.定義最優(yōu)參數(shù)向量和參數(shù)誤差向量分別為

模糊控制器的最優(yōu)逼近誤差表示為wf＝g（x）［u＊（x）－uc（x／θ＊）］.設(shè)計(jì)系統(tǒng)（6）的總體控制器如下：

其中的魯棒補(bǔ)償控制項(xiàng)us在后面給出.注意，此控制器表達(dá)式中無控制增益函數(shù)g（x）或函數(shù)的界值，克服了設(shè)計(jì)的保守性.

由式（6）、（9）、（12），進(jìn)一步推得系統(tǒng)的閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程

定義誤差w＝（wf－d）／g（x），并假設(shè)存在正常數(shù)wM，滿足w≤wM.把uc（x／θ）＝θTψ（x）代入式（13）得

設(shè)計(jì)魯棒補(bǔ)償控制項(xiàng)us和參數(shù)自適應(yīng)律分別為

其中λ∈（0，＋∞），r＝diag｛r1，r2，…，rl｝，ri∈（0，＋∞），l是θ的維數(shù)，λ、ri、ε是設(shè)計(jì)者設(shè)定的參數(shù).對(duì)比文獻(xiàn)［13］，本文的自適應(yīng)律（16）中不再含有未知函數(shù)g（x）或函數(shù)的界值，克服了設(shè)計(jì)中的保守性.下面給出魯棒自適應(yīng)控制律的有關(guān)定理.

定理1 假設(shè)形如式（6）的含有不確定項(xiàng)的非線性系統(tǒng)滿足假設(shè)1、2，同時(shí)滿足式（8），模糊控制器參數(shù)θ未知，則設(shè)計(jì)的模糊控制器式（12）、（15）及自適應(yīng)律（16）能夠保證系統(tǒng)的所有信號(hào)及參數(shù)均具有一致有界性；且任意給定ρ＞總存在T（ρ）使得t≥T時(shí)，其中rmin＝min｛r1，…，rl｝.

證明 選擇Lyapunov函數(shù)如下：

已知對(duì)任意的ε＞0和η∈R，存在

其中κ為滿足κ＝exp（－（κ＋1））的常數(shù)，即κ＝0.278 5［5］.設(shè)η＝wMBTPE，把式（15）代入式（18），并應(yīng)用式（19）得到

把式（16）代入式（20）得

因此，x、θ是一致漸近有界的［18］.進(jìn)一步，對(duì)于任意給定的存在T（ρ）使得t≥T時(shí)，滿足證畢.

注釋2 GFHM 是一個(gè)全局非線性模型，它由雙曲正切函數(shù)的集合組成，模糊控制項(xiàng)uc是連續(xù)光滑的變量；另一方面，雙曲正切函數(shù)形式的魯棒補(bǔ)償控制項(xiàng)us也是連續(xù)光滑的.所以，整個(gè)控制輸入是連續(xù)光滑控制，無切換抖振現(xiàn)象.

注釋3 當(dāng)ε取充分小，rmin、λmin（Q）取充分大時(shí)，可以使ρ充分小，即閉環(huán)跟蹤控制系統(tǒng)的跟蹤誤差充分小.

注釋4 為了確保參數(shù)θ∈Ωθ，需要采用投影算法修正參數(shù)的自適應(yīng)律［1］.即如果參數(shù)在約束集內(nèi)部或邊界，且正向約束集內(nèi)部移動(dòng)，則使用基本自適應(yīng)律；如果參數(shù)在約束集邊界上，且正向約束集外部移動(dòng)，則將參數(shù)向量的梯度映射到支撐超平面上.應(yīng)用投影定理修正的自適應(yīng)律為

其中投影算子

注釋5 在定理1 中，函數(shù)g（x）的上界只作分析用途，也即在設(shè)計(jì)控制器（12）時(shí)并不需要用到，從而降低了函數(shù)界值估計(jì)過大導(dǎo)致的控制器設(shè)計(jì)的保守性.

4 仿真實(shí)例

應(yīng)用上述魯棒自適應(yīng)控制算法來控制小車倒立擺跟蹤系統(tǒng).倒立擺的動(dòng)態(tài)方程［5］：

式中：倒立擺的擺角為x1，角加速度為x2.初始條件x（0）＝ （0.2 0）T，跟蹤信號(hào)ym（t）＝（π／30）sint，其 他參數(shù)同文獻(xiàn)［5］.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取wM＝3，應(yīng)用本文提出的控制算法，取λ＝1，（1tanh（0.2x1） tanh（0.4x2））T，外部不確定的干擾d＝0.2sin（20πt）.

仿真結(jié)果如圖1所示.圖中系統(tǒng)跟蹤誤差很快收斂趨于零，并且控制輸入量光滑連續(xù)有界，可見，本文的魯棒自適應(yīng)控制算法實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)跟蹤誤差收斂.

5 結(jié) 語

本文針對(duì)一類含有不確定項(xiàng)的非線性系統(tǒng)，在控制增益函數(shù)及其界均未知的條件下，僅要求控制增益函數(shù)為有界函數(shù)，提出了一種新的魯棒自適應(yīng)模糊控制算法，從而降低了函數(shù)界值估計(jì)過大導(dǎo)致的控制器設(shè)計(jì)的保守性.本文的控制策略能保證控制系統(tǒng)跟蹤誤差收斂至充分小，獲得較好的跟蹤效果，且所有的變量均具有一致有界性.

［1］ WANG Li－xin.Stable adaptive fuzzy control of nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，1993，1（2）：146－155.

［2］ PAN Yong－ping，Er M J，HUANG Dao－ping，etal.Adaptive fuzzy control with guaranteed convergence of optimal approximation error ［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2011，19（5）：807－818.

［3］ PAN Yong－ping，ZHOU Yu，SUN Tai－ren，etal.Composite adaptive fuzzyH∞tracking control of uncertain nonlinear systems［J］.Neurocomputing，2013，99：15－24.

［4］ Lin T C，Wang C H，Liu H L.Observer－based indirect adaptive fuzzy－neural tracking control for nonlinear SISO systems using VSS andH∞approaches［J］.Fuzzy Sets and Systems，2004，143（2）：211－232.

［5］ Park J H，Park G T，Seong S J，etal.Outputfeedback control of uncertain nonlinear systems using a self－structuring adaptive fuzzy observer［J］.Fuzzy Sets and Systems，2005，151（1）：21－42.

［6］ HAN Hu－gang，SU Chun－yi，Stepanenko Y.Adaptive control of a class of nonlinear systems with nonlinearly parameterized fuzzy approximators［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2001，9（2）：315－323.

［7］ SU Chun－yi，Oya M，Hong H.Stable adaptive fuzzy control of nonlinear systems preceded by unknown backlash－like hysteresis ［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2003，11（1）：1－8.

［8］ Chen C S.Quadratic optimal neural fuzzy control for synchronization of uncertain chaotic systems［J］.Expert Systems with Applications，2009，36（9）：11827－11835.

［9］ Lin C M，Hsu C F.Adaptive fuzzy sliding－mode control for induction servomotor systems［J］.IEEE Transactions on Energy Conversion，2004，19（2）：362－368.

［10］ Wai R J，Chang L J.Stabilizing and tracking control of nonlinear dual－axis inverted－pendulum system using fuzzy neural network ［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2006，14（1）：145－168.

［11］ 佟紹成，柴天佑.非線性系統(tǒng)的直接自適應(yīng)輸出反饋監(jiān)督模糊控制［J］.控制與決策，2004，19（3）：257－261.TONG Shao－cheng，CHAI Tian－you.Direct adaptive fuzzy output feedback control for uncertain nonlinear systems［J］.Control and Decision，2004，19（3）：257－261.（in Chinese）

［12］ 鄭亞琴，劉艷軍，佟紹成.具有監(jiān)督控制功能的非線性系統(tǒng)的直接自適應(yīng)模糊控制［C］／／2009中國(guó)控制與決策會(huì)議.沈陽：東北大學(xué)出版社，2009：918－923.ZHENG Ya－qin，LIU Yan－jun，TONG Shao－cheng.Direct adaptive fuzzy control for nonlinear systems with supervisory control performance［C］／／2009 Chinese Control and Decision Conference.Shanyang：Northeastern University Press，2009：918－923.（in Chinese）

［13］ 張明君，張化光.一種魯棒直接自適應(yīng)模糊控制算法［J］.東北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，27（1）：5－8.ZHANG Ming－jun，ZHANG Hua－guang.A robust direct adaptive fuzzy control algorithm ［J］.Journal of Northeastern University：Natural Science，2006，27（1）：5－8.（in Chinese）

［14］ ZHANG Hua－guang，QUAN Yong－bing.Modelling，identification and control of a class of non－linear system［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2001，9（2）：349－354.

［15］ 全永兵，張化光.廣義模糊雙曲正切模型及其逼近性研究［J］.東北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，24（1）：1－3.QUAN Yong－bing，ZHANG Hua－guang.Generalized fuzzy hyperbolic model：a universal approximator［J］.Journal of Northeastern University：Natural Science，2003，24（1）：1－3.（in Chinese）

［16］ ZHANG Hua－guang，WANG Zhi－liang，LIU Derong.Chaotifying fuzzy hyperbolic model using adaptive inverse optimal control approach ［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2004，14（10）：3505－3517.

［17］ Ge S S，Hang C C，Lee T H，etal.Stable Adaptive Neural Network Control［M］.Boston：Kluwer，2001.

［18］ Corless M.Guaranteed rates of exponential convergence for uncertain systems［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1990，64（3）：481－494.