傅 毅,張寄洲,仇亞尊

(1.上海師范大學(xué) 商學(xué)院, 上海 200234; 2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 上海 200234)

0 引 言

隨著債券市場的發(fā)展,債券市場上出現(xiàn)了多種債券衍生產(chǎn)品,如可轉(zhuǎn)換債券等.可轉(zhuǎn)換債券是20世紀(jì)7,80年代興起的一種混合金融產(chǎn)品,目前,已成為中國證券市場研究的熱點之一.可轉(zhuǎn)換債券是指持有者可以在一定時期內(nèi)按一定比例或價格轉(zhuǎn)換成一定數(shù)量的另一種證券的債券,通常轉(zhuǎn)換為發(fā)行公司的普通股票,一般具有較低的票面利率.從本質(zhì)上講是在發(fā)行公司債券的基礎(chǔ)上,附加了一份期權(quán),并允許購買人在規(guī)定的時間范圍內(nèi)將其購買的債券轉(zhuǎn)換成指定公司的股票.可轉(zhuǎn)債具有債權(quán)和期權(quán)的雙重特征,并具有如下性質(zhì): (1) 債權(quán)性: 與其他債券一樣,可轉(zhuǎn)債也有利率和期限,投資者持有到期可以收取本息.(2) 股權(quán)性: 可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換成股票后,原債券持有人變?yōu)楣镜墓蓶|,可參與公司的經(jīng)營與紅利分配.(3) 可轉(zhuǎn)換性: 債券持有人可以按約定的條件將債券轉(zhuǎn)換成公司股票,如果債券持有人不想轉(zhuǎn)換,則可以繼續(xù)持有直到期滿收取本息,或者在流通市場出售變現(xiàn).如果持有人看好發(fā)債公司股票的增值潛力,則可按約定的條件轉(zhuǎn)換成股票,發(fā)債公司不得拒絕.

近年來,許多學(xué)者主要從以下幾個方面研究了可轉(zhuǎn)債的定價等相關(guān)問題.

隨著Black-Scholes-Merton期權(quán)定價的模型的建立,一些學(xué)者在期權(quán)定價模型的基礎(chǔ)上對可轉(zhuǎn)債進行定價.Ingersoll(1977)[1]、Brennan和Schwartz(1977)[2]最早對可轉(zhuǎn)債的定價問題進行了理論研究,他們通過對公司的市值所滿足的隨機過程來研究可轉(zhuǎn)債的定價.不同于前面兩篇文章,Brennan和Schwartz(1980)[3]將利率的波動性考慮進了可轉(zhuǎn)債的定價中,并利用數(shù)值計算得出了可轉(zhuǎn)債的定價.Barone(2003)[4]等人又在以上模型的基礎(chǔ)上建立了關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)和利率的雙因素模型.Toshikazu(2006)[5]等從另一個角度對可轉(zhuǎn)債進行了定價,將可轉(zhuǎn)債分解成兩部分,一部分是純債券價值,另一部分是轉(zhuǎn)換的期權(quán)價值,把未來的債券利息和本金的現(xiàn)值以及認(rèn)股權(quán)證的現(xiàn)值相加得到可轉(zhuǎn)債的理論價值,并用Monte Carlo方法給出了帶有重置條款的可轉(zhuǎn)債的定價.

由于發(fā)行公司存在信用風(fēng)險,所以把信用風(fēng)險考慮進債券的定價中更貼近于現(xiàn)實.目前,研究信用風(fēng)險主要有兩種方法：結(jié)構(gòu)化方法和約化方法.結(jié)構(gòu)化方法是把債券看成關(guān)于公司資產(chǎn)的看跌期權(quán),但通常公司的資產(chǎn)情況并不能準(zhǔn)確得到.而約化方法則是把公司的破產(chǎn)事件看成是一個外在的泊松過程,用第一次發(fā)生跳的時間作為公司的破產(chǎn)時間,其中泊松過程的強度可以從市場相關(guān)的數(shù)據(jù)推得.Kostas(1998)[6]等對帶有信用風(fēng)險的可轉(zhuǎn)債進行了定價.Ayache(2003)[7]等利用對沖的思想通過構(gòu)造投資組合對帶有信用風(fēng)險的可轉(zhuǎn)債進行了定價.Wang(2010)[8]等人對帶有信用風(fēng)險的永久可轉(zhuǎn)債進行了定價.

為了吸引投資者,發(fā)行公司在發(fā)行可轉(zhuǎn)債時往往設(shè)計一些附加條款.Kyoko(2010)[9]等分析了帶有可贖回和可回售條款的可轉(zhuǎn)債的定價,探索了贖回和回售的實施邊界,并研究了可贖回和回售條款對可轉(zhuǎn)債的價值和最優(yōu)策略的影響,Fahuai(2011)[10]等對可轉(zhuǎn)債定價的自由邊界問題進行了研究,證明了變分不等式的解的存在性和唯一性,并且得到了自由邊界的單調(diào)性、有界性和光滑性等性質(zhì).Toshikazu(2006)[5]等研究了帶有重置條款的可轉(zhuǎn)債定價.熊思燦(2010)[11]等給出了附有巴黎期權(quán)特性的重置條款的可轉(zhuǎn)債定價模型,并采用有限差分方法求解模型.

另外,由于發(fā)行債券的公司都存在潛在的違約風(fēng)險,而公司的信用等級對可轉(zhuǎn)債的價格有著重要的影響,所以發(fā)行公司往往通過信用增級的方式來提高可轉(zhuǎn)債的價格,其中信用增級方式中第三方擔(dān)保得到了廣泛的應(yīng)用.任學(xué)敏(2009)[12]等用約化方法對有第三方擔(dān)保的企業(yè)債券進行了定價,得到了在擔(dān)保的情形下企業(yè)債券滿足的微分方程.劉易(2013)[13]等人在結(jié)構(gòu)化模型的框架下,考慮了擔(dān)保公司和被擔(dān)保公司之間的相關(guān)性,得到了具有相關(guān)性的第三方擔(dān)保的公司債券所滿足的偏微分方程.

如上所述,考慮帶有擔(dān)保的可轉(zhuǎn)債的定價問題具有重要的現(xiàn)實意義.本文作者在約化模型的框架下對可轉(zhuǎn)債進行了定價,并考慮了可轉(zhuǎn)債的擔(dān)保方可能違約的情況,運用偏微分方程的方法得到了有擔(dān)保的可轉(zhuǎn)債的定價公式.文章的第一部分對模型做了一些假設(shè)，第二部分利用對沖技巧分別就擔(dān)保公司是否違約兩種情況建立了可轉(zhuǎn)債的數(shù)學(xué)定價模型，并在文章的第三部分對模型求解,最終得到可轉(zhuǎn)債的顯式解，第四部分對模型的參數(shù)進行了分析.

1 基本假設(shè)

假設(shè)1A公司發(fā)行了零息票可轉(zhuǎn)換債券,到期日為T,公司B為其作擔(dān)保.

假設(shè)2若發(fā)行公司A破產(chǎn),其可轉(zhuǎn)債投資人的損失將由擔(dān)保公司B承擔(dān).但如果擔(dān)保公司先于發(fā)行公司破產(chǎn),則擔(dān)保失效.

假設(shè)3發(fā)行公司和擔(dān)保公司的破產(chǎn)是由不可預(yù)料事件引發(fā)的,違約強度分別為λ1,λ2,違約時間分別記為τ1,τ2.

假設(shè)4用Poisson過程的第一次跳來刻畫違約,Poisson過程在時間段[s,t]發(fā)生k次跳的概率為:

設(shè)τ為第一次跳的時刻,則公司在[0,T]時間段內(nèi)的違約概率為:

P(τ≤T)=1-P(τ>T)=1-e-λT.

假設(shè)5發(fā)行公司與擔(dān)保公司違約發(fā)生是相互獨立的.

假設(shè)6發(fā)行公司的股票價格S(t)服從幾何布朗運動:

dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t) .

其中μ為期望回報率;σ為波動率,且都為常數(shù);W(t)為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動.

假設(shè)7發(fā)行公司違約后,其股價變化滿足:

S+=S-(1-η) .

其中η為常數(shù),表示發(fā)行公司違約后,其股價下降的幅度,這里的違約表示廣義的違約,即發(fā)行可轉(zhuǎn)債的公司可能由于流動性等原因造成不能按時支付息票所導(dǎo)致的違約.

假設(shè)8不考慮可轉(zhuǎn)債的可贖回和可回售條款.

假設(shè)9假設(shè)持有人的轉(zhuǎn)換權(quán)只發(fā)生在到期日或違約日,轉(zhuǎn)換權(quán)行使時一份可轉(zhuǎn)債可轉(zhuǎn)換為k份股票.可轉(zhuǎn)債的連續(xù)票息率為q.

2 模型建立

利用Δ-對沖技巧,建立可轉(zhuǎn)債定價的數(shù)學(xué)模型.首先,構(gòu)造投資組合：

Πt=Vt-ΔSt,

其中V是發(fā)行公司的可轉(zhuǎn)債的價值;S是發(fā)行公司的股票價格.

在沒有違約的情況下,在[t,t+dt]時間段內(nèi),投資組合的變化為：

為了對[t,t+dt]時間段內(nèi)的可轉(zhuǎn)債有無擔(dān)保進行刻畫,將可能發(fā)生的情況分為以下兩類:

情況一:有擔(dān)保時可轉(zhuǎn)債的定價模型

考慮違約的情況下,在[t,t+dt]時間段內(nèi),發(fā)行公司發(fā)生違約的概率為λ1dt.假設(shè)違約后,發(fā)行公司的股價滿足假設(shè)7.若發(fā)行公司先于擔(dān)保公司違約,則可轉(zhuǎn)債持有人有兩種選擇:

(1) 按可轉(zhuǎn)債面值F回收,回收率為R(0≤R≤1),其余部分由擔(dān)保公司承擔(dān),債券持有人共獲得RF+(1-R)F即F.

(2) 執(zhí)行轉(zhuǎn)換權(quán),轉(zhuǎn)股得到的股票價值為kS(1-η1).

其中,η1為發(fā)行公司違約后,其股價下降的幅度.

這時投資組合Π的價值變化為:

(1)

由無套利原理得:

dΠ=rΠdt.

(2)

整理得:

這樣得到了有擔(dān)保情況下可轉(zhuǎn)債滿足的偏微分方程:

(3)

情況二:擔(dān)保失效時可轉(zhuǎn)債的定價模型

在[t,t+dt]時間段內(nèi),發(fā)行公司發(fā)生違約的概率為λ1dt.擔(dān)保公司發(fā)生違約的概率為λ2dt.若擔(dān)保公司先于發(fā)行公司違約,則發(fā)行公司違約后,可轉(zhuǎn)債持有人有兩種選擇權(quán):

(1) 可轉(zhuǎn)債按面值回收,面值為F,回收率為R,持有人此時得到RF.

(2) 執(zhí)行轉(zhuǎn)換權(quán),轉(zhuǎn)股后得到的股票價值為kS(1-η2)(η2>η1).

其中,η2為發(fā)行公司違約后,其股價下降的幅度.

這時投資組合Π的價值變化為:

由無套利原理得:

這樣得到了擔(dān)保失效情況下可轉(zhuǎn)債滿足的偏微分方程:

(4)

以上兩種情況分析并得出了可轉(zhuǎn)債分別在有無擔(dān)保時滿足的定價方程,本研究中的定價思路是對每個可能的擔(dān)保公司的違約時刻τ2,確定相應(yīng)的發(fā)行公司的可轉(zhuǎn)債的價格.

(1) 若0<τ2≤T,顯然當(dāng)τ1∈[τ2,T]時,發(fā)行公司失去了擔(dān)保,其可轉(zhuǎn)債的定價方程為(4).當(dāng)τ1∈[0,τ2]時,由于擔(dān)保公司未破產(chǎn),則發(fā)行公司的可轉(zhuǎn)債扔有擔(dān)保,此時其定價方程為(3).

(2) 若τ2>T時,則在時間段[0,T]內(nèi)擔(dān)保公司不破產(chǎn),發(fā)行公司的可轉(zhuǎn)債有擔(dān)保,此時的定價方程為式(3).

下面計算各種情況的概率:

① 若0<τ2≤T且τ1∈[0,τ2],此時可轉(zhuǎn)債有擔(dān)保,則其發(fā)生的概率為:

(5)

② 若0<τ2≤T且τ1∈[τ2,T],此時可轉(zhuǎn)債無擔(dān)保,則其發(fā)生的概率為:

(6)

③ 若τ2>T,此時可轉(zhuǎn)債有擔(dān)保,其發(fā)生的概率為:

P3=P(τ2>T)=e-λ2T.

(7)

3 模型的求解

在這一節(jié)中,將分別求解出偏微分方程(3)和(4).首先,解方程(3).

作變換x=lnS,τ=T-t,定解問題(3)轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型的Cauchy問題:

作函數(shù)變換:V=Ueατ+βx,通過選取適當(dāng)?shù)摩?β,使上式轉(zhuǎn)化為非齊次熱傳導(dǎo)方程:

(8)

其中

為求解式(8)首先求解以下齊次熱傳導(dǎo)方程的柯西問題:

(9)

柯西問題(9)的解為:

(10)

然后,再求非齊次熱傳導(dǎo)方程具有齊次初始條件的柯西問題:

(11)

得到柯西問題(11)的解為:

(12)

最后由疊加原理,由(10)及(12)就得到柯西問題(8)的解為:

整理得:

其中,

(13)

變換回到原變量V(S,t),得到有擔(dān)保的情形下可轉(zhuǎn)債的價值V1(S,t)為:

其中,

(14)

同理可解方程(4):

其中,d1,d2同上式(13)

變換回到原變量V(S,t),得到無擔(dān)保的情形下可轉(zhuǎn)債的價值V2(S,t):

最后得到了可轉(zhuǎn)債的價值V(S,t)為:

V(S,t)=(P1+P3)V1(S,t)+P2V2(S,t).

4 數(shù)值分析

本文的前一部分中,作者運用偏微分方程的方法得到了考慮擔(dān)保方信用風(fēng)險的可轉(zhuǎn)債的顯式解,接下來分析模型中一些參數(shù)對可轉(zhuǎn)債價值的影響.

圖1為不同時刻與股價所對應(yīng)的可轉(zhuǎn)債的價值。

圖1 可轉(zhuǎn)債的價值V與時間t股票價格S的關(guān)系圖

圖2為發(fā)行公司的違約強度λ1對可轉(zhuǎn)債價值的影響.由圖2可看出,隨著發(fā)行公司的違約強度λ1的增大可轉(zhuǎn)債的價值變小.這是因為當(dāng)發(fā)行公司的違約強度變大時,公司的破產(chǎn)概率變大,從而增加了可轉(zhuǎn)債持有者的可能損失,所以隨著發(fā)行公司的違約強度λ1的增大可轉(zhuǎn)債的價值變小.

圖3和圖4為擔(dān)保公司的違約強度λ2對可轉(zhuǎn)債價值的影響.由圖3可以看出當(dāng)發(fā)行公司的違約強度λ1=0.05時,擔(dān)保公司的違約強度λ2越大可轉(zhuǎn)債的價值越小,成反向關(guān)系.同時也可以看出擔(dān)保公司的違約強度λ2的變化對可轉(zhuǎn)債的價值影響較小.這是因為在發(fā)行公司違約概率較小的情況下,擔(dān)保公司的違約強度的變化對可轉(zhuǎn)債的影響較小.而由圖4可以看出當(dāng)發(fā)行公司的違約強度λ1=0.3時,擔(dān)保公司的違約強度λ2越大可轉(zhuǎn)債的價值越小,成反向關(guān)系,且擔(dān)保公司的違約強度λ2的變化對可轉(zhuǎn)債的價值影響較大,即當(dāng)發(fā)行公司的違約強度較大時擔(dān)保公司對可轉(zhuǎn)債的價值起的作用會變大.

圖5為無風(fēng)險利率r對可轉(zhuǎn)債價值的影響.由圖5可以看出,隨著無風(fēng)險利率r的增大可轉(zhuǎn)債的價值變小.當(dāng)股票價格遠高于轉(zhuǎn)股價格時,可轉(zhuǎn)換公司債券受市場利率影響較小,若價格較低時,可轉(zhuǎn)換公司債券對市場利率變動非常敏感,且成反向關(guān)系.

圖2 發(fā)行公司的違約強度λ1對可轉(zhuǎn)債價值的影響

圖4 λ1=0.3時擔(dān)保公司的違約強度λ2對可轉(zhuǎn)債價值的影響

圖3 λ1=0.05時擔(dān)保公司的違約強度λ2對可轉(zhuǎn)債價值的影響

圖5 無風(fēng)險利率r對可轉(zhuǎn)債價值的影響

圖6為股票的波動率σ對可轉(zhuǎn)債價值的影響.由圖6可以看出,隨著波動率σ的增大可轉(zhuǎn)債的價值變大.這是因為股票的波動率越大,可轉(zhuǎn)債的投資者獲得收益的可能性就越大,所以可轉(zhuǎn)債的價值就越大.

圖6 波動率σ對可轉(zhuǎn)債價值的影響

圖7 發(fā)行公司破產(chǎn)后不同的回收率R對可轉(zhuǎn)債價值的影響

圖7為發(fā)行公司破產(chǎn)后不同的回收率R對可轉(zhuǎn)債價值的影響.由圖7可以看出發(fā)行公司破產(chǎn)后的回收率越高可轉(zhuǎn)債的價值越大.同時也可以看出發(fā)行公司破產(chǎn)后的回收率對可轉(zhuǎn)債的價值影響是比較小的.這是因為在發(fā)行公司違約概率較小的情況下,回收率的變化對可轉(zhuǎn)債的影響較小.

圖8為可轉(zhuǎn)債不同的票面利率q對可轉(zhuǎn)債價值的影響.由圖8可以看出在其他條件相同的條件下,票面利率與可轉(zhuǎn)債價值成正向關(guān)系,可轉(zhuǎn)債的票面利率越高可轉(zhuǎn)債的價值越大,反之亦然.

圖9為可轉(zhuǎn)債不同的轉(zhuǎn)股率k對可轉(zhuǎn)債價值的影響.由圖9可以看出在其他條件相同的條件下,轉(zhuǎn)股率越高,轉(zhuǎn)股價越低,股票買權(quán)執(zhí)行價格就越低股票買權(quán)的價值就越高,可轉(zhuǎn)債的價值就越高.

圖8 票面利率q對可轉(zhuǎn)債價值的影響

圖9 轉(zhuǎn)股率k對可轉(zhuǎn)債價值的影響

5 結(jié) 論

本研究是在AFV模型的基礎(chǔ)上進行了改進,研究分析了有擔(dān)保的可轉(zhuǎn)債的定價,并考慮了擔(dān)保公司是否違約,針對不同情形建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,最終得到了擔(dān)保公司可能違約的情況下可轉(zhuǎn)債的定價公式的顯式解,并分析了擔(dān)保公司在破產(chǎn)和不破產(chǎn)兩種不同情形下對發(fā)行公司的可轉(zhuǎn)債價格的影響.

參考文獻:

[1] INGERSOLL JR J.A contingent-claims valuation of convertible securities[J].Journal of Financal Economics,1977，4:289-322.

[2] BRENNAN M J,SCHWARTZ E S.Convertible bonds:Valuation and optimal strategies for call and conversion[J].Journal of Finance,1977，32：1699-1715.

[3] BRENNAN M J,SCHWART E S.Analyzing convertible bonds[J].Journal of Finance and Quantitative Analysis,1980，15:907-929.

[4] BARONE ADESI G,BERMUDEZ A,HATGIOANNIDES J.Two factor convertible bonds valuation using the method of characteristics finite elements[J].Journal of Economic Dynamics and Control,2003，27:1801-1831.

[5] KIMURA T,SHINOHARA T.Monte carlo analysis of convertible bonds with reset clauses[J].European Journal of Operational Research,2006，168:301-310.

[6] TSIVERIOTIS K,FERNANDES C.Valuing convertible bonds with credit risk[J].Journal of Fixed Income,1998，8:95-102.

[7] AYACHE E,FORSYTH P A,VETZAL K R.The valuation of convertible bonds with credit risk[J].The Journal of Derivatives,2003，11:9-30.

[8] WANG L L,BIAN B J.Pricing of perpetual convertible bonds with credit risk under framework of reduce form[J].Journal of Tongji University,2010，6:935-940.

[9] KYOKO Y,KATSUSHIGE S.The valuation of callable-puttable reverse convertible bonds[J].Asia-Pacific Journal of Operational Research,2010，27:189-209.

[10] ZHOU Y,YI F H.A free boundary problem arising from pricing convertible bond[J].Applicable Analysis,2010，3:307-323.

[11] 熊思燦,錢永江,楊善朝.帶重置條款的可轉(zhuǎn)債定價模型及其實證研究[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2010，2:33-39.

[12] 任學(xué)敏,萬凝.用約化方法對有第三方擔(dān)保的企業(yè)債券定價[J].同濟大學(xué)學(xué)報,2009，7:989-992.

[13] 劉易,任學(xué)敏,花虹.考慮相關(guān)性的第三方擔(dān)保價值的評估[J].同濟大學(xué)學(xué)報,2013，3:465-469.