金興華

(上海商學(xué)院 數(shù)學(xué)系,上海 200235)

0 引 言

早期宇宙的相變能產(chǎn)生各種拓?fù)淙毕?這些拓?fù)淙毕菰谟钪鎸W(xué)中有很重要的意義[1].整體單極子是最重要的缺陷之一.Barriola和Vilenkin[2]首先研究了整體單極子的引力效應(yīng).當(dāng)考慮引力時(shí),整體單極子的線性發(fā)散質(zhì)量有一個(gè)效果,這個(gè)效果類似于一個(gè)欠缺角.Harari 和Loust`o[3],還有史和李[4]已經(jīng)表明,這個(gè)小引力勢(shì)實(shí)際上是排斥的.在FRW 時(shí)空中,拓?fù)淙毕菀惨驯谎芯窟^了[5-7].在漸近dS/AdS時(shí)空[8-9]和Brans-Dicke 理論下[10]的整體單極子的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)和通常的單極子有很大的不同.如果將非正則動(dòng)能相引入到整體單極子,金等[11]發(fā)現(xiàn)引力場(chǎng)可能是吸引的,也可能是排斥的,這依賴于不同的非正則動(dòng)能項(xiàng).劉等[12]已探討過Dirac-Born-Infeld 整體單極子的自引力問題.

歷史上,為了解決庫侖場(chǎng)和點(diǎn)粒子自能的發(fā)散問題,Born和Infeld[13]將行列式形式引入作用量.1924年,Eddington[14]提出了一個(gè)不同與廣義相對(duì)論的引力理論,行列式形式出現(xiàn)在了作用量中,他認(rèn)為基本場(chǎng)應(yīng)該是聯(lián)絡(luò).對(duì)該作用量進(jìn)行變分可以得到等效的愛因斯坦方程.但是該理論并不完備,因?yàn)樗话镔|(zhì)部分.最近,Banados 和Ferreira 基于Eddington 的理論,提出了一個(gè)改進(jìn)的引力理論,通常稱為Eddington-inspired Born-Infeld(簡記EiBI)引力[15].該理論的作用量可以包含物質(zhì)部分,它彌補(bǔ)了Eddington 引力理論中的問題.為了克服高階導(dǎo)數(shù)和ghost帶來的問題,EiBI引力采用的是Palatini形式,即將度規(guī)和聯(lián)絡(luò)處理為獨(dú)立的場(chǎng).

EiBI引力是非常吸引人的,因?yàn)樵谡婵盏那闆r下,它可以退化為廣義相對(duì)論,并且可以避開大爆炸理論和恒星引力塌縮過程中的奇點(diǎn)問題.但是,EiBI引力理論也存在問題.例如,在多方星的表面存在曲率奇點(diǎn)[16].類似的奇性也存在于恒星內(nèi)部的相變過程[17].最近,有研究認(rèn)為恒星表面的奇點(diǎn)問題可以被克服[18].

本文作者基于EiBI引力理論,導(dǎo)出整體EiBI-單極子的方程,并給出參數(shù)κ很小時(shí)方程的漸近形式,進(jìn)一步討論了整體EiBI-單極子在無窮遠(yuǎn)處的級(jí)數(shù)解.

1 EiBI引力理論

整個(gè)討論過程中,單位取c=G=1.EiBI引力理論的作用量為:

(1)

2 整體EiBI-單極子

彎曲時(shí)空中引力的整體EiBI-單極子的作用量為:

(4)

其中σ0是一個(gè)以質(zhì)量為單位的對(duì)稱破缺標(biāo)度.描寫整體EiBI-單極子的刺猬構(gòu)形為:

(5)

其中xaxa=ρ2,a=1,2,3,如果在空間無窮遠(yuǎn)處h→1,將得到一個(gè)整體EiBI-單極子解.

在靜態(tài)球?qū)ΨQ時(shí)空中,時(shí)空度規(guī)gμν和輔助度規(guī)qμν采用如下形式:

其中 dΩ2=dθ2+sin2θdφ2.引入無量綱參數(shù)r=σ0ρ,由方程(4)和(5),可以得到關(guān)于h的運(yùn)動(dòng)方程:

(8)

其中,撇表示對(duì)r求導(dǎo).由方程(3),可以得到關(guān)系:

(9)

其中

由方程(2)可以得到兩個(gè)獨(dú)立的方程:

(10)

(11)

當(dāng)|κ|?1,可以得到方程(8),(10)和(11)關(guān)于κ的漸近形式:

(12)

(13)

(14)

其中

容易發(fā)現(xiàn),當(dāng)|κ|→0時(shí),這些方程可以恢復(fù)到標(biāo)準(zhǔn)的整體單極子方程.

在r?1區(qū)域,可以展開h(r),A(r),B(r),f(r)得

(19)

由此,ε2描寫時(shí)空的一個(gè)立體欠缺角.

為了顯示立體欠缺角的效果,研究整體EiBI-單極子周圍測(cè)試粒子的運(yùn)動(dòng).為求解測(cè)地線方程,引入一個(gè)無量綱量u=GM∞/r,于是可以得到u關(guān)于φ的二階微分方程

(20)

(21)

其中e表示偏心率.當(dāng)一個(gè)測(cè)試粒子繞整體EiBI-單極子轉(zhuǎn)一圈時(shí),它的進(jìn)動(dòng)是:

(22)

相比正常星的進(jìn)動(dòng)情況,方程(22)的最后一項(xiàng)是修正項(xiàng).

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