基于TSVD和Hilbert變換的相位差測量方法及應(yīng)用

王國富，呂曉凡，高平東，張法全

(桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院，廣西桂林　541004)

0　引言

相位差的傳統(tǒng)測量方法有基于模擬器件的脈沖計(jì)數(shù)法、矢量法等，電路本身的溫漂等因素會使測量結(jié)果產(chǎn)生較大的偏差，抗干擾能力略顯不足，且后續(xù)功能的可擴(kuò)展性受限，測量準(zhǔn)確度也很難提高。目前廣泛采用的是將數(shù)據(jù)采集技術(shù)與信號處理相結(jié)合的方法，首先通過高速數(shù)據(jù)采集板卡或示波器同步采集2路信號，數(shù)字離散化后送至信號處理模塊計(jì)算相位差。常用的信號處理方法有過零點(diǎn)法[1]、相關(guān)分析法[2-3]、頻譜分析法[4-5]等。過零點(diǎn)法的本質(zhì)是將時(shí)間差轉(zhuǎn)換為相位差，為提高相位差的計(jì)算精度，在零點(diǎn)附近采用最小二乘法尋找最佳的擬合零點(diǎn)時(shí)刻。此方法原理簡單，易實(shí)現(xiàn)，不足是檢測交流信號時(shí)存在一定的失真，且在采樣頻率高，信號幅值較大時(shí)才能獲得很好的測量效果。相關(guān)分析法通過2路信號的相互運(yùn)算計(jì)算相位差，頻譜分析法通過離散傅里葉變換將信號從時(shí)域變換到頻域，通過分析相頻特性計(jì)算相位差。兩種方法都具有較強(qiáng)的抗干擾能力，且都利用三角函數(shù)的正交性，具有較高的準(zhǔn)確度。相關(guān)分析法要求嚴(yán)格的整周期采樣，而頻譜分析法計(jì)算量大，存在頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，一般也要求整周期采樣。文獻(xiàn)[4]采用窗函數(shù)選擇準(zhǔn)則，克服了這些限制并取得了較好的效果?？傮w而言，每種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。而希爾伯特變換在很早就應(yīng)用于瞬時(shí)頻率的測量，且結(jié)合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)實(shí)現(xiàn)了對多分量信號的分析處理，已取得較多研究成果，但在相位差測量方面研究較少[6-9]。文中在總結(jié)以往瞬時(shí)參數(shù)計(jì)算方法的研究基礎(chǔ)上，提出了截?cái)嗥娈愔捣纸?TSVD)與Hilbert變換相結(jié)合的方法計(jì)算相位差，實(shí)現(xiàn)了對相位差的高精度測量，取得了較好的效果。

1　相位差測量方法

1．1TSVD降噪

對于mxn維的實(shí)矩陣，都可分解為3個(gè)矩陣Umxl、Λlxl和Vnxl，使得：

Amxn=UmxlΛlxlVnxlT

(1)

式中Λlxl是對角矩陣，對角元素λi(i=1，2，…l)為該矩陣的非負(fù)奇異值，且按降序排列。

保留前r個(gè)反映信號能量的主要奇異值，將剩余的奇異值置零得到新的對角矩陣Λlxl。用Λlxl替換原對角矩陣，通過式(1)得到重構(gòu)矩陣Amxn，即可實(shí)現(xiàn)降噪。

假設(shè)其中一路受噪聲影響的信號向量為X，其長度為N，使用TSVD對其降噪處理前，首先將其轉(zhuǎn)換為m行n列的矩陣形式Amxn，形如

(2)

(3)

式中ΔEi表示奇異熵在截?cái)鄶?shù)r處的增量。

其計(jì)算公式為：

(4)

信號的奇異熵反映了信息量飽和度，未受噪聲干擾的信號在較低的重構(gòu)階次即可得到信息量的飽和，使奇異熵趨于一個(gè)穩(wěn)定值；對于受噪聲干擾的信號，隨著重構(gòu)階次的增大，信號的奇異熵對應(yīng)的信息量飽和度逐漸增大；當(dāng)?shù)玫侥骋恢貥?gòu)階次后，信號奇異熵變換緩慢，若繼續(xù)增大重構(gòu)階次，會引入噪聲，此時(shí)奇異熵變化快慢的拐點(diǎn)對應(yīng)理想的重構(gòu)階次，即為TSVD所需要的截?cái)鄶?shù)。利用式(1)及重構(gòu)方法得到重構(gòu)矩陣Amax，從而得到降噪后信號向量X。

形如x(t)=0.01×(sin(4πft+π/4)+cos(2πft))的信號，頻率為100 Hz，采集4個(gè)周期信號，分別加入SNR為9，6，3的高斯隨機(jī)噪聲，如圖1所示。

(a)

(b)

(c)

(d)

圖2為奇異熵變化量隨奇異譜階次的變化曲線，從圖2可發(fā)現(xiàn)，同一信號的最佳奇異譜階次是一定的，該階次不隨信噪比的變化而變化。當(dāng)有效信息量基本達(dá)到飽和狀態(tài)后，奇異熵變化量變得很小，若再繼續(xù)疊加更多信息量，可能會將噪聲引入，反而不利于降噪。

圖2　奇異熵隨奇異譜階次增大的變化量

圖3是根據(jù)TSVD降噪方法將信噪比為3的信號重構(gòu)，得到與原始不含噪聲信號的對比圖，結(jié)論是通過奇異熵變化量的變化趨勢確定最佳的奇異譜階次，即TSVD截?cái)鄶?shù)，應(yīng)用TSVD降噪方法重構(gòu)得到的信號與原始信號基本吻合。

圖3　原始信號與重構(gòu)信號對比圖

1．2Hilbert變換

希爾伯特變換可看作信號通過希爾伯特濾波器的輸出，該濾波器的單位沖擊響應(yīng)為：

(5)

對希爾伯特變換作傅里葉變換，分析其幅頻和相頻特性可知，希爾伯特濾波器是幅頻特性為1的全通濾波器，且具有相移90°的特點(diǎn)。信號X通過希爾伯特濾波器，負(fù)頻率信號分量作+90°相移，正頻率信號分量作-90°相移。

假定信號1和信號2分別為：

(6)

信號1與信號2的希爾伯特變換為：

(7)

作如下組合計(jì)算：

(8)

根據(jù)三角函數(shù)的和差化積性質(zhì)得到式(9)：

(9)

顯然，2路信號的相位差可由反正切得到式(10)：

Δθ(t)=arctan(za/zb)

(10)

從以上推導(dǎo)過程可知，整個(gè)過程不需計(jì)算頻率值，幅值乘積分別處于分子分母中相互抵消，原始信號與Hilbert變換后的信號進(jìn)行運(yùn)算，僅發(fā)生相移，這為相位差計(jì)算提供了便利。

2　仿真分析

為了考察TSVD結(jié)合Hilbert變換的聯(lián)合方法計(jì)算相位差的有效性，現(xiàn)分別分析信噪比、采樣率兩種不同條件下的計(jì)算效果。數(shù)值模擬的是核磁共振發(fā)射機(jī)與接收機(jī)信號相位差計(jì)算。

2．1信噪比分析

假設(shè)發(fā)射機(jī)激發(fā)信號的頻率為1 987 Hz，發(fā)射包含10個(gè)周期的長度，接收機(jī)接收的信號幅值隨時(shí)間變化指數(shù)衰減，采樣頻率為30 kHz，相位差為π/4，加入信噪比為2～70的高斯隨機(jī)噪聲。圖4、圖5分別是聯(lián)合方法計(jì)算的相位差及相位差的絕對誤差。

圖4　不同信噪比條件下的相位差

圖5　不同信噪比條件下的相位差絕對誤差

信噪比較低時(shí)也能夠得到較好的相位差值，隨著信噪比提高，相位差會動態(tài)調(diào)整并最終穩(wěn)定在理論值附近。絕對誤差顯示了相位差計(jì)算過程中的偏差，聯(lián)合計(jì)算方法優(yōu)勢明顯。

2．2采樣率分析

高于激發(fā)周期信號頻率數(shù)倍的采樣速率顯然有利于相位差分析。為此，這里僅取原始激發(fā)信號頻率的1～30倍采樣速率進(jìn)行分析。圖6、圖7 分別是聯(lián)合方法計(jì)算的相位差及相位差的絕對誤差。圖6中，由于前兩個(gè)采樣率值分別是原始信號頻率的1倍和2倍，不滿足奎斯特采樣定理，因此計(jì)算得到的兩個(gè)相位差值錯(cuò)誤。分析圖6和7可知，經(jīng)過10倍以上的采樣率采集信號，采用TSVD結(jié)合Hilbert變換計(jì)算所得的相位差基本穩(wěn)定，也就是說當(dāng)采樣率高于原始信號最高頻率數(shù)倍時(shí)，相位差計(jì)算結(jié)果基本不受采樣率的影響。

圖6　不同采樣率條件下的相位差

圖7　不同采樣率條件下的相位差絕對誤差

3　實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證

實(shí)際需求是測試發(fā)射信號與采集的弛豫衰減信號相位差。原始發(fā)射信號是正弦信號，接收的弛豫衰減信號是頻率幾乎不變，幅值呈指數(shù)衰減變化且含有干擾噪聲的正弦信號。數(shù)據(jù)是4月下旬在廣西百色那坡鎮(zhèn)測得的野外實(shí)測數(shù)據(jù)。野外探測時(shí)采用了12個(gè)脈沖矩探測淺層含水量信息，計(jì)算每個(gè)脈沖矩對應(yīng)的相位差，得到的12個(gè)相位差值可為后續(xù)的地球物理反演工作提供參考。采用LabVIEW軟件開發(fā)平臺設(shè)計(jì)相位差分析算法。根據(jù)1．2節(jié)的分析，相位差的聯(lián)合計(jì)算方法不受幅值變化的影響，為了方便比較，在計(jì)算相位差之前，可先將衰減信號的幅值放大到原始激發(fā)信號的同一數(shù)量級。另外，由于采集時(shí)間長于發(fā)射時(shí)間，為便于計(jì)算，僅取與發(fā)射信號時(shí)間長度一致的信號段。以計(jì)算第3個(gè)脈沖矩采集的弛豫衰減信號為例計(jì)算相位差，計(jì)算結(jié)果如圖8所示。受其他未知噪聲干擾的影響，用實(shí)測數(shù)據(jù)計(jì)算的相位差沒有仿真分析精確度高，但仍然穩(wěn)定地測得了相位差，反映了脈沖矩對應(yīng)的含水層導(dǎo)電性地質(zhì)參數(shù)，這為后續(xù)反演工作提供了重要參考，滿足實(shí)際應(yīng)用需求。

圖8　弛豫信號與原始信號的相位差

4　結(jié)束語

TSVD降噪和Hilbert變換相結(jié)合的方法，很好地實(shí)現(xiàn)了相位差測量的工程應(yīng)用，關(guān)鍵的一步是確定最佳的奇異譜階次，盡可能地包含有效信息量且避免引入不必要的隨機(jī)噪聲信息。此聯(lián)合方法屬于一種較通用的計(jì)算方法，不需預(yù)知瞬時(shí)頻率，不需迭代計(jì)算。因此速度較快，能檢測微小相位差。需要說明的是，當(dāng)信噪比極低時(shí)，任何一種方法均不能非常精確地計(jì)算相位差。對于更加復(fù)雜的信號，若不滿足Hilbert變換的條件，可先通過EMD分解得到一系列的(IMF)固有模態(tài)函數(shù)，從中挑選有用的分量并重構(gòu)，再用TSVD和Hilbert變換的聯(lián)合方法求解相關(guān)聯(lián)的兩路信號相位差。

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