黎安偉，王德彬，劉云峰，董景新

(清華大學(xué)精密儀器與機(jī)械學(xué)系，精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京　100084)

0　引言

隨鉆測量技術(shù)(Measurement while drilling，MWD)是指在鉆進(jìn)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)各種參數(shù)(工程參數(shù)、地質(zhì)參數(shù)及其他參數(shù))連續(xù)實(shí)時(shí)測量的技術(shù)，其測量的工程參數(shù)主要為井斜、方位和工具面角，即隨鉆定向測量[1-2]。井眼軌跡參數(shù)(井斜、方位)和工具面向(工具面角)準(zhǔn)確實(shí)時(shí)測量是實(shí)現(xiàn)定向鉆井施工的基礎(chǔ)。

目前，基于三軸磁通門和三軸加速度計(jì)的隨鉆定向測量儀是主流的定向測量儀器，其根據(jù)三軸磁通門和三軸加速度計(jì)的輸出可以解算出當(dāng)前的方位、井斜和工具面角[3]。但利用現(xiàn)有的解算方法，定向測量只能在非旋轉(zhuǎn)工況下進(jìn)行，否則，由于離心加速度(轉(zhuǎn)速不恒定)和振動(dòng)的影響，測量得到的井斜角和高邊工具面角的誤差非常大[4]，解算出的方位角精度就更差。針對旋轉(zhuǎn)工況，在現(xiàn)有的方位計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)新的方位角計(jì)算公式，并對其進(jìn)行精度分析以及仿真驗(yàn)證。

1　方位角測量基本原理

如圖1所示，現(xiàn)有方位的計(jì)算方法是利用高邊工具面角θg和井斜角α，將三軸磁分量(Hx、Hy、Hz)向V2方向和V1方向分解，然后通過反正切函數(shù)求得磁方位角。

圖1　方位角計(jì)算示意圖

具體求解方程為[5-6]：

Hv1=Hzsinα+(Hxsinθg+Hycosθg)cosα

Hv2=Hxcosθg-Hysinθg

(1)

求解公式為：

在旋轉(zhuǎn)工況下(設(shè)鉆具以2 r/s的速度轉(zhuǎn)動(dòng))，若用式(1)進(jìn)行方位角解算，則使用的高邊工具面角(即gx、gy)和Hx、Hy，就必須是同一時(shí)刻的，這樣，就無法對加速度計(jì)信號(gx、gy)和磁通門信號(Hx、Hy)進(jìn)行濾波處理。若選用高帶寬高精度的磁通門傳感器，則在旋轉(zhuǎn)工況下一次測量的磁通門信號也較精確；但由于振動(dòng)和離心加速度的存在，一次測量的加速度信號(gx、gy)誤差非常大，導(dǎo)致高邊工具面角測不準(zhǔn)，使用以上公式計(jì)算所得的方位角就非常不準(zhǔn)，所以必須探索新的方位角計(jì)算方法。

1．1迭代法

由于磁通門受振動(dòng)和旋轉(zhuǎn)影響較小，一次測量所得的磁工具面角較準(zhǔn)確，故可先根據(jù)磁工具面角推出高邊工具面角，再利用式(1)計(jì)算方位角。

在井斜角α和方位角β確定的情況下，設(shè)總磁場為M，磁傾角為θ，則可推導(dǎo)磁工具面角MTF和高邊工具面角GTF間關(guān)系。如圖2所示，GTF與MTF的差值即為高邊與磁北的夾角，兩者只與方位和井斜有關(guān)，與鉆具轉(zhuǎn)動(dòng)角度無關(guān)。

圖2　GTF和MTF示意圖

所以，計(jì)算兩者差值GM時(shí)，可以設(shè)GTF=0°，則：

Hx=Mcosθsinβ，Hy=Mcosθcosβcosα-Msinθsinα

此時(shí)，磁工具面角為

(2)

迭代法的基本計(jì)算原理是：先合理假設(shè)1個(gè)方位角，然后根據(jù)測得的井斜角，利用式(2)，計(jì)算出GTF和MTF的差值，然后，通過一次測量所得的磁工具面角MTF，算出高邊工具面角，然后利用式(1)算出方位角，再將計(jì)算所得方位角帶入循環(huán)計(jì)算，直至收斂到一定的誤差范圍內(nèi)，流程圖如圖3所示。

圖3　迭代法流程圖

1．2三角法

如圖4所示，總磁場M在水平面上的投影為磁北方向，鉆具軸線在水平面上的投影為井底方位線，兩者之間的夾角即為方位角β.圖中，α為井斜角，θ為磁傾角，β1為z軸與M間夾角。

圖4　三角法示意圖

設(shè)OB=OA=a，則：

AB2=OA2+OB2-2×OA×OBcosβ1=2a2-2a2cosβ1

AA′=acosα，BB′=asinθ

所以：

A′B′2=AB2-(acosα-asinθ)2

=2a2-2α2cosβ1-a2cos2α-a2sin2θ+2a2cosαsinθ

(3)

OA′=asinα，OB′=acosθ

三角形OA′B′中，有：

A′B′2=OA′2+OB′2-2×OA′×OB′cosβ

=a2sin2α+a2cos2θ-2a2sinαcosθcosβ

結(jié)合式(3)有：

(4)

式(4)即為求解方位角的三角法公式，利用此公式，就可以在不需要獲得高邊工具面的情況下，測得方位角。

2　方位角測量精度分析

假設(shè)三軸磁通門傳感器的測量精度為50 nT(1σ)，加速度計(jì)的測量精度為1 mg(1σ)，分別分析3種計(jì)算方法的方位角測量精度。

2．1靜態(tài)測量方位角精度分析

在非旋轉(zhuǎn)工況下，一般使用式(1)進(jìn)行方位角計(jì)算，現(xiàn)對其進(jìn)行測量精度分析。

由式(1)可以得：

(5)

式中：M為總磁場；θ為磁傾角。

而：

δHv1=sinθgcosαδΗx+cosθgcosαδΗy+sinαδΗz+

(Hxcosθgcosα-Hysinθgcosα)δθg+

(Hzcosα-Hxsinθgsinθ-Hycosθgsinα)δα

δΗv2=cosθgδHx-sinθgδHy-(Hxsinθg+Hycosθg)δθg

帶入式(5)，可得：

(Hv1sinθg+Hv2cosθgcosα)δΗy-

Hv2sinαδΗz-[Hv1(Hxsinθg+Hycosθg)+

Hv2(Hxcosθgcosα-Hysinθgcosα)]δθg-

Hv2(Hzcosα-Hxsinθgsinα-Hycosθgsinα)δα}

(6)

故有：

(Hv1sinθg+Hv2cosθgcosα)2Var(Hy)+

(Hv2sinα)2Var(Hz)+[Hv1(Hxsinθg+Hycosθg)+

Hv2(Hxcosθgcosα-Hysinθgcosα)]2Var(θg)+

[Hv2(Hxcosα-Hxsinθgsinα-Hycosθgsinα)]2Var(α)}

(7)

由式(7)可知，方位角測量精度由三軸磁通門傳感器測量精度、高邊工具面角測量精度及井斜角測量精度決定。靜態(tài)測量時(shí)，高邊工具面角和井斜角按如下公式求得：

假設(shè)三軸上的加速度計(jì)精度相同，即：

Var(gx)=Var(gy)=Var(gz)=Var(g)

則有：

(8)

將式(8)帶入式(7)，再將磁通門傳感器的測量精度帶入，通過數(shù)值計(jì)算，可得到靜態(tài)測量方位角的精度(1σ)，如圖5所示。

圖5　靜態(tài)測量方位角精度

由圖5可知，方位角測量精度小于0.6°(α≥5°)，且隨著井斜角遠(yuǎn)離0°和180°，方位角測量精度變好。

2．2迭代法收斂性及測量方位角精度分析

迭代法是先根據(jù)假設(shè)的方位角和測得的井斜角，算出高邊工具面角GTF和磁工具面角MTF的差值，再通過測得的磁工具面角反算出高邊工具面角。具體如下：

(9)

GTF=GM+MTF

由式(9)可以得：

cosθsinβ′(cosθcosβ′sinα+sinθcosα)δα]+

(10)

式中：θg為高邊工具面角GTF；θm為磁工具面角MTF；β′為計(jì)算GM時(shí)使用的方位角；Hxy為磁場在鉆具橫截面上的分量。

迭代法在得到高邊工具面角后，計(jì)算方位角仍使用式(1)，所以，計(jì)算所得方位角精度滿足式(6)，將式(10)帶入式(6)，得：

Hv2sinαδHz+(A1D1+B1)δα]

(11)

圖6　數(shù)值計(jì)算K值

由圖6可知，當(dāng)方位角越接近0°或180°，或者井斜角越接近0°時(shí)，K值越大，且最大值為1；避開這幾個(gè)特定的方位井斜時(shí)，K值較小，即迭代法適用。當(dāng)?shù)諗繒r(shí)，有β′=β，即δβ′=δβ，所以式(11)可以進(jìn)一步簡化，則通過換算，可得：

(A1D1+B1)2Var(α)]

(12)

式(12)為旋轉(zhuǎn)工況下，通過迭代法計(jì)算所得方位角的方差計(jì)算式。在旋轉(zhuǎn)工況下，井斜角可簡單由單軸(z軸)直接測量獲得，計(jì)算公式為

(13)

故：

(14)

將其代入式(12)，通過數(shù)值計(jì)算，可得不同方位角和井斜角下，方位角精度如圖7所示。從圖7可以看出，當(dāng)井斜角很小或很大，方位角接近0°或180°時(shí)，方位角精度較差。

圖7　迭代法計(jì)算所得方位角精度

若不考慮方位角精度較差的特殊區(qū)域，方位角精度能達(dá)到0.8°，如圖8所示。

圖8　局部方位角精度

2．3三角法測量方位角精度分析

由式(4)可得：

(sinβ1sinαcosθ)δβ1]

故有：

(sinθcosθ-cosβ1cosαcosθ)2Var(α)]

(15)

在旋轉(zhuǎn)工況下，井斜角α由式(13)計(jì)算，其測量精度可由式(14)進(jìn)行計(jì)算。而z軸和磁力線的夾角的計(jì)算公式如下：

假設(shè)三軸磁通門在3個(gè)方向上測量精度相同，即：

Var(Hx)=Var(Hy)=Var(Hz)=Var(H)

則：

(16)

將式(14)和式(16)帶入式(15)，通過數(shù)值計(jì)算，可以得到不同方位井斜下的測量精度，其圖形與圖7完全相同。再通過化簡式(12)，可以得出其與式(15)完全相同。由此可認(rèn)為，收斂后的迭代法和三角法在本質(zhì)上是完全相同的。

由于三角法是通過余弦求得方位角，所以直觀分析可知，當(dāng)方位角接近0°或180°時(shí)，精度較差，這從式(15)也可以得出，這與迭代法的性質(zhì)完全相同。同時(shí)，由于三角法是通過余弦函數(shù)求得的方位角，所以，求得的方位角只是井底方位線與磁北的夾角，無法分辨是向東偏還是向西偏。在精度分析時(shí)無法確定迭代法是否也存在這一缺陷，但通過具體仿真分析可以驗(yàn)證這一點(diǎn)，這也進(jìn)一步說明了兩種方法的一致性。

3　方位角測量仿真分析

通過Matlab編程，仿真在同一井斜方位下，模擬不同工況，使用不同方法所測得的井斜角、方位角和高邊工具面角，將其對比如表1所示。

表1　3種方法仿真結(jié)果比較　(°)

由表1可知，在靜態(tài)工況下解算出的方位角、井斜角和高邊工具面角的精度都比較高，這是由于傳感器的靜態(tài)測量精度都很高；在旋轉(zhuǎn)工況下，由于x和y方向的加速

度計(jì)的測量值無法進(jìn)行濾波，且存在離心加速度，所以只認(rèn)為z方向加速度計(jì)的測量值是有效的。仿真時(shí)，假定z方向加速度計(jì)和磁通門傳感器在旋轉(zhuǎn)工況下的測量精度與靜態(tài)工況相同(實(shí)際較差)。對比迭代法和三角法，可以看出，兩者的測量精度完全相同，不同的是，迭代法是先計(jì)算出高邊工具面角，再計(jì)算方位角，而三角法是直接計(jì)算方位角。另外，迭代法的迭代結(jié)果與初始值有關(guān)，不同的初始值，導(dǎo)致最后結(jié)果的東西向不同，即其無法分辨是向東偏還是向西偏，這與三角法相同。

4　結(jié)論

在旋轉(zhuǎn)工況下，討論了迭代法和三角法。通過精度分析知道，這兩種方法本質(zhì)上是相同的。不同的是，迭代法需先計(jì)算出高邊工具面角，而三角法是直接計(jì)算方位角。兩者的缺陷均是無法分辨東西向，且在方位角為0°或180°或者井斜角很小時(shí)，精度很差。故在旋轉(zhuǎn)工況下進(jìn)行方位井斜測量時(shí)，需結(jié)合使用靜態(tài)測量結(jié)果，進(jìn)行東西向判別。

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