董正華

(商丘師范學(xué)院，河南 商丘 476000）

0 引言

在進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，常涉及到兩種運(yùn)算的換序問(wèn)題，比如在計(jì)算時(shí)，可以在更方便的情況下轉(zhuǎn)而計(jì)算即可以交換兩個(gè)求和運(yùn)算的次序。

數(shù)學(xué)分析中需要處理許多分析運(yùn)算，同樣會(huì)遇到分析運(yùn)算的換序問(wèn)題，這里所說(shuō)的分析運(yùn)算指極限，積分，微分等，由他們的定義便可知它們都可以歸結(jié)為極限運(yùn)算，因此兩種極限的換序問(wèn)題即可擴(kuò)展為函數(shù)列及級(jí)數(shù)中的換序問(wèn)題，積分中的換序問(wèn)題，微分中的換序問(wèn)題等。下面我們就從一致收斂性,連續(xù)性和換序問(wèn)題的延伸三個(gè)方面分別討論運(yùn)算中的換序問(wèn)題。

1 連續(xù)性

1.1 累次級(jí)限的交換定理

（3）若重極限存在且兩個(gè)累次級(jí)限都存在則三者相等

這個(gè)定理說(shuō)明兩個(gè)累次級(jí)限都存在時(shí)，重極限存在是兩個(gè)累次級(jí)限相等的一個(gè)充分條件，當(dāng)重極限不存在時(shí)，下面的定理在很多情形下有重要作用。

1.2 高階偏導(dǎo)換序定理

設(shè) D 為（x0，y0）的某個(gè)鄰域，f在 D 內(nèi)有二階偏導(dǎo)，令

則 fyx（x0，y0）=fxy（x0，y0） 可 由 兩 個(gè) 累 次 級(jí) 限存在且相等推得。

2 一致收斂性

2.1 函數(shù)列及級(jí)數(shù)中的換序定理

設(shè)｛fn｝是定義在上[a，b]的函數(shù)列，則諸fn（x）的連續(xù)性，可積性，可微性能否傳遞給極限函數(shù)f（x），并且f（x）的導(dǎo)數(shù)及積分都可以通過(guò)｛fn｝中的諸函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，積分的極限來(lái)獲得？這均可歸結(jié)為累次級(jí)限交換次序問(wèn)題：

（1）f（x）在 x0處連續(xù)等價(jià)于

（3）f（x）在 x0點(diǎn)處可導(dǎo)等價(jià)于其中

又由于 f′n（x）一致收斂于 σ（x），故 σ（x）連續(xù)，由定理 2

由于左邊的導(dǎo)數(shù)存在，故 f′（x）存在且 σ（x）=f′（x），又 fn（x）及定理5即得極限號(hào)與求導(dǎo)號(hào)可以交換順序。

2.2 含參變量的積分中的換序問(wèn)題

此換序問(wèn)題可以分為含參變量的定積分和含參變量的廣義積分兩個(gè)方面來(lái)討論。

定理 10 設(shè) f（x，y）在矩形[a，b；c，d]上連續(xù)，則（x，y）dx 是[c，d]上的連續(xù)函數(shù)，就有y）dx，即在定理的條件下極限運(yùn)算可以通過(guò)積分號(hào)。

同理可得微分運(yùn)算可以通過(guò)積分號(hào)。

3 問(wèn)題的延伸

3.1 無(wú)窮小數(shù)列的延遲一致性及其應(yīng)用

延遲一致性是指：相應(yīng)任意給定的正數(shù)ε，無(wú)窮小序列（ank）中總存在第N行，使得該行以下各行的元素出現(xiàn)性質(zhì)|ank|<ε需要一個(gè)滯后期，數(shù)列的序號(hào)越大，等候期越長(zhǎng)，而一直無(wú)窮小序列則不需要這個(gè)等候。

3.2 定積分中的重積分技術(shù)

解：直接計(jì)算是不可能的，解此類(lèi)題有兩種典型方法，一是先求出變上限積分的導(dǎo)數(shù)，再用分部積分公式展開(kāi)，并將導(dǎo)數(shù)代入；另一種是將函數(shù)代入后交換二次積分順序，即重積分技術(shù)。

3.3 實(shí)變函數(shù)中的極限換序

在實(shí)分析理論中，有較多的篇幅討論了可測(cè)函數(shù)的極限與積分的換序問(wèn)題，諸如Levi定理,Fatou引理及Lebesgue控制收斂定理等連續(xù)求和理論中著名的極限定理。

4 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)極限的特殊性質(zhì)討論了兩種極限換序問(wèn)題，此問(wèn)題的討論總結(jié)歸納了進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和證明時(shí)的許多思路和方法，并通過(guò)具體例子詳細(xì)驗(yàn)證了有些思路，因此此問(wèn)題的討論據(jù)有較強(qiáng)的普遍性和應(yīng)用性。

[1] 陳傳璋等.數(shù)學(xué)分析（上·下冊(cè)）（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1983，7

[2] 菲赫金哥爾茨.微積分教程（第一卷第二分冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，1959（第二版）.

[3] 路可見(jiàn)，鐘壽國(guó)，劉士強(qiáng).復(fù)變函數(shù)[M]，武漢大學(xué)出版社，1993，178～182.

[4] 程其襄等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003，12.