王燕萍

（海南師范大學(xué)，海南 ?？?570100）

數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，具有抽象性強(qiáng)、邏輯性強(qiáng)等特點(diǎn)。并且數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題上的作用較其他學(xué)科更為明顯。工業(yè)作為我國(guó)的支柱產(chǎn)業(yè)，其機(jī)械產(chǎn)品的設(shè)計(jì)應(yīng)做到精確，數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用必不可少。科技的發(fā)展與數(shù)學(xué)教學(xué)之間存在著相互影響的關(guān)系，數(shù)學(xué)是促進(jìn)科技發(fā)展的重要因素，而機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)中數(shù)學(xué)的應(yīng)用則是科技進(jìn)步的重要表現(xiàn)。為了明確這一問題，文章對(duì)機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)中數(shù)學(xué)的應(yīng)用進(jìn)行了具體的分析。

1 概率法在機(jī)械產(chǎn)品公差設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

1.1 應(yīng)用原理分析

概率法在機(jī)械產(chǎn)品公差設(shè)計(jì)中的應(yīng)用主要為間隙范圍的控制。由于零件尺寸的誤差通常為正態(tài)分布，因此可根據(jù)概率原理進(jìn)行零件刪除。通過截尾的正態(tài)曲線便可顯示組成環(huán)尺寸分布情況，從而求出標(biāo)準(zhǔn)差與固有偏差。得到產(chǎn)品配合間隙的理論范圍，由于實(shí)際安裝過程中很難達(dá)到理想狀態(tài)，因此最終安裝間隙的確定小于理想范圍。設(shè)固有偏差U’小于設(shè)計(jì)值，零件設(shè)計(jì)尺寸按照下偏差范圍確定，從而根據(jù)主要設(shè)計(jì)公式求出方差和標(biāo)準(zhǔn)差，按照概率論下的誤差分布曲線確定實(shí)際偏差。其具體應(yīng)用如下。

1.2 應(yīng)用舉例

概率法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，以研究隨機(jī)事件的概率為主，應(yīng)用廣泛。而在機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)過程中，公差配合與技術(shù)測(cè)量對(duì)設(shè)計(jì)過程的要求較高，概率法是分析其產(chǎn)品尺寸、設(shè)計(jì)誤差和配合間隙等參數(shù)的主要方法。例如對(duì)間隙配合Φ60H7/h6，其公差帶如圖所示。

假設(shè)零件的實(shí)際尺寸可以達(dá)到極限，則其間隙范圍為0～+49μm。而在實(shí)際工業(yè)產(chǎn)品生產(chǎn)中，能夠達(dá)到極限尺寸的概率極低。在機(jī)床規(guī)格相同或者刀具尺寸固定的情況下，被加工工件的實(shí)際尺寸大小或偏差將呈正態(tài)分布。也就是說，對(duì)于間隙配合Φ60H7/h6的工件來說，其孔、軸的平均偏差和平均間隙分別表示為：可表示為：

而孔、軸的均方差表示為：σx=30/6=5μm σy=19/6=3.2μm；從而根據(jù)存在的偏差可計(jì)算出零件間隙范圍為：+6.5～+42.5μm。其中最小間隙為+6.5μm，最大間隙為+42.5μm。與理想狀態(tài)下的間距范圍相比，范圍縮小。通過其發(fā)生概率和更多實(shí)驗(yàn)證明，大多數(shù)零件在設(shè)計(jì)時(shí)其實(shí)際配合間隙尺寸范圍小于理想狀態(tài)下，從而說明了概率法在公差配合中的應(yīng)用具有實(shí)際意義。另外，在特殊情況下，孔、軸的實(shí)際尺寸將呈非正態(tài)分布，根據(jù)實(shí)驗(yàn)證明，此種情況下可按三角形分布或者梯形分布處理，此時(shí)將影響以上結(jié)果。因此在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)控制孔軸尺寸呈正態(tài)分布。

2 最小公倍數(shù)在齒輪齒數(shù)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

齒輪通過與蝸桿、齒條等零件之間的傳動(dòng)實(shí)現(xiàn)扭矩和轉(zhuǎn)速的改變。在機(jī)械工業(yè)中應(yīng)用廣泛，實(shí)現(xiàn)了傳動(dòng)效率的提高和傳動(dòng)功率范圍的擴(kuò)大。因此，作為機(jī)械產(chǎn)品中的重要傳動(dòng)零件，齒輪的設(shè)計(jì)要求較高，尤其是輪齒參數(shù)的設(shè)定。輪齒是指齒輪上的凸起咬合部分，輪齒參數(shù)設(shè)計(jì)不合理將導(dǎo)致性能下降，從而出現(xiàn)破損。機(jī)械產(chǎn)品齒輪齒數(shù)的選擇上應(yīng)在的確定確保最小分度圓直徑的前提下增加齒數(shù)提高重合度。數(shù)學(xué)中最小公倍數(shù)可用于計(jì)算和確定輪齒數(shù)。

例如：設(shè)齒輪主從動(dòng)輪的齒數(shù)分別為Z1和Z2且Z1=40，Z2=70，由于40與70之間的最小公倍數(shù)為280，也就是說，主動(dòng)輪每轉(zhuǎn)過7圈，就要和從動(dòng)輪重合一次。這樣，咬合次數(shù)過多易造成齒輪磨損。因此依據(jù)最小公倍數(shù)原理，我們采取改變齒輪齒數(shù)，增加最小公倍數(shù)，改變傳動(dòng)比的方法，如將該齒輪的齒數(shù)改為主動(dòng)輪 41，從動(dòng)輪 72，此時(shí)其傳動(dòng)比為 72/41=1.75，滿足條件。而兩齒輪齒數(shù)之間的最小公倍數(shù)為41×72=2952。此時(shí)由于最小公倍數(shù)增大，說明當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)72圈時(shí)才能與從動(dòng)輪重合。因而降低磨損概率，提高齒輪的使用時(shí)間。并且，傳動(dòng)比仍為1.75左右，我們?cè)谠O(shè)計(jì)時(shí)也可盡量降低傳動(dòng)比，實(shí)現(xiàn)齒輪性能提高。

3 總結(jié)

機(jī)械產(chǎn)品零件在設(shè)計(jì)時(shí)要求較高，原因在于其應(yīng)用范圍廣泛且影響較大。一旦出現(xiàn)設(shè)計(jì)誤差或設(shè)計(jì)錯(cuò)誤，將影響工業(yè)甚至軍事生產(chǎn)。因此，對(duì)于機(jī)械零件的設(shè)計(jì)過程應(yīng)具備一定的方法。數(shù)學(xué)原理在解決實(shí)際問題的同時(shí)也在機(jī)械行業(yè)起到積極的作用。如文章提到的概率法在公差配合中的應(yīng)用、最小公倍數(shù)在齒輪傳動(dòng)比和輪齒數(shù)確定上的應(yīng)用，都解決了機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)不合理問題，也使機(jī)械產(chǎn)品的設(shè)計(jì)更容易，提高了設(shè)計(jì)效率和產(chǎn)品使用壽命。當(dāng)然，數(shù)學(xué)在機(jī)械產(chǎn)品中的應(yīng)用不僅限于此，在機(jī)床、模具甚至塔吊等大部分機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)中應(yīng)用廣泛。因此要求機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)者包括維修人員懂得更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，在產(chǎn)品設(shè)計(jì)上以及產(chǎn)品出現(xiàn)故障時(shí)，能夠及時(shí)根據(jù)數(shù)學(xué)原理采取一定的方案。

[1] 陳大春.淺談中等職?！稒C(jī)械制圖》課教學(xué)[J].職業(yè)技術(shù).2009(06).

[2] M.F.SPOTTS.實(shí)用公差指南［M］.楊青，譯.中國(guó)計(jì)量出版社.