劉遠模

(成都艾立特螺紋工具有限公司 ， 成都 610512)

0　引言

本文詳細討論了螺紋單一中徑的三針和量球法測量公式，對歐洲廣泛使用的Berndt公式以及國內(nèi)專家蘇宗康先生的公式其差異進行分析，論證了Berndt公式的成立條件和蘇氏公式理論上的缺陷，并與本文作者文獻[6]公式比較，最后用計算示例進行了驗證。

1　Berndt計算公式討論

對歐盟和世界都有很大影響的Berndt公式的研究是很有必要的。

1.1　Berndt公式

由歐盟認證的用機械測頭測定圓柱螺紋量規(guī)中徑指南(EA Guidelines on the Determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical Probing) EA-10/10在給定實測值m情況下用下式計算被測螺紋中徑d2(外螺紋)或D2(內(nèi)螺紋)[1]

(1)

輔助角θ用下式進行迭代計算

(2)

初始值為

(3)

1.2　討論

1.2.1Berndt公式的成立條件

在式(1)、(2)右端有根式，如果根號值為負則根式不成立，即前兩式不成立。由式(1)、(2)的根式有

sinθ≤dD/mcos(β-g )/2

(4)

如果滿足式(4)，那么式(1)、(2)成立。否則兩公式不成立。

1.2.2式(2)的討論

由式(2)為

(5)

如果θk-1=0，則由式(5)中θk遠小于1，θk=arcsin(θk)代入式(2)獲得式(3)。這樣用θ=0代入式(5)迭代運算即可獲得準確θ值。把此值代入式(1)計算中徑尺寸而沒有必要再用式(3)計算輔助角的初始值θ1。

如果用sin(θk)代替arcsin(θk)，從計算結(jié)果可知θ變化不足以帶來結(jié)果(d2或m)達到0.1μm變化。

1.2.3已知中徑求三針測量的跨線測量值或求量球跨球測量值m(即檢驗計算)

由式(1)可得

(6)

令θ=0則

(6a)

以θ=0和m0為初始值，迭代運算式(5)和(6)求得θ和m。

1.2.4斜置誤差計算

V型圓環(huán)槽是θ=0時螺紋的特例，此時由式(1)所得中徑用加注腳“0”表示，即

(7)

為了敘述簡便下面一律用d2或d20包含內(nèi)外螺紋中徑。

斜置誤差Δ為

Δ=m-m0

(8)

Δ=d20-d2

(9)

式(8)用于檢驗計算，用式(6)和(6a)值代入計算。式(9)用于測試計算(即已知測量值求中徑)，用式(1)和式(7)值代入計算。

1.2.5 對稱螺紋計算

對于對稱螺紋，β=g =α/2，于是式(1)、(5)分別為

(10)

(11)

用θ=0作為迭代初始值代入式(11)進行迭代運算，將所得代入式(10)計算中徑。

由式(4)可知，式(10)、(11)成立條件為

sinθ≤dD/m

(12)

由式(7)得

(13)

測試計算的斜置誤差按式(9)計算。

由式(6)和(6a)分別得

(14)

(15)

檢驗計算的斜置誤差按式(8)計算。

必須指出，經(jīng)過大量計算驗證對于對稱螺紋上述公式是正確的，但對于鋸齒螺紋，只有在螺旋升角較小時實用，否則誤差大，不實用，這是因為兩牙側(cè)的輔助角應(yīng)有兩個，而不是一個。

1.3　小結(jié)

由于公式中包含根式因此Berndt公式受式(4)限制，不滿足式(4)Berndt公式不成立；迭代式(2)應(yīng)該用式(5)代替；初始值式(3)可用θ1=0代替，然后僅用式(5)迭代即可；對于非對稱螺紋(如鋸齒螺紋)因式(1)中只有一個輔助角θ，由大量的計算表明，螺紋的螺旋升角較大時所計算的中徑有顯著誤差。然而，一般情況下Berndt公式(1)和(5)適用于對稱螺紋和螺旋升角不大的不對稱螺紋的測試計算，經(jīng)改造后也可用于所述螺紋的檢驗計算。

2　蘇宗康計算公式討論

蘇宗康先生的計算公式[2]對國內(nèi)有相當(dāng)大的影響，探討如下：

2.1　蘇宗康計算公式

在給定實測值m情況下用下式計算被測外螺紋中徑d2

(16)

式中， θ為量球與牙側(cè)面切點和螺紋軸線所構(gòu)成平面(θ平面)，與量球球心和螺紋軸線所構(gòu)成平面之間的夾角；β為量球中心與切點的連線與θ平面的夾角；a 為被測對稱螺紋牙型角，其半角為a /2；Ph為導(dǎo)程，Ph=nP。

θ和β用下面兩式迭代計算

(17)

(18)

切點圓直徑dT為

(19)

非對稱圓柱外螺紋單一中徑按下式計算

(20)

式中， a1、a2分別為左右牙側(cè)角； d21、d22分別為用左、右牙側(cè)角為半角時所計算的中徑。

左右兩牙側(cè)切點圓直徑

dT1=Ph/p ·cosa1·cotβ1

(21)

dT2=Ph/p ·cosa2·cotβ2

(22)

2.2　討論

2.2.1迭代公式(17)和(18)的討論

由式(17)可知，若θ=0，則β=0；反之，β=0，θ=0也成立。

從式(18)粗略看，似乎也有式(17)的推論。但該等式右端可化為

(18a)

在θ=0時，由式(18a)得

(18b)

而這與由式(17)當(dāng)θ=0時則β=0的結(jié)果是矛盾的。顯然，在θ=0時，式(18)不成立。從幾何關(guān)系推論，當(dāng)切點位于量球球心所在軸向平面時，即量針在V型圓環(huán)槽中測量跨距情況，θ平面與上述軸向平面重合，于是θ=0，量球球心與切點的連線與θ平面的夾角β=0。因此式(17)是成立的，而θ=0式(18)不成立的推論也就順理成章了。

然而當(dāng)用初始值θ=0代入式(18)時β的初始值為式(18b)計算值，從而能用式(17)和式(18)進行迭代計算θ和β。

2.2.2切點圓直徑計算式的討論

將β=0代入式(21)、(22)或(19)，切點圓直徑dT1、dT2或dT沒有確定值，顯然此時這些公式不成立。而從幾何關(guān)系講，量針在V型圓環(huán)槽中測量跨距時，切點圓直徑是確定的。

2.2.3敘述或邏輯不完善

對θ和β含意的說明僅用量球敘述，而外螺紋一般是用量針，沒有說明，讀者只有用當(dāng)量量球去理解了，盡管這是牽強的。

2.2.4斜置誤差的計算

當(dāng)θ=0、β=0時，式(16)為

(23)

這是V型圓環(huán)槽的計算公式。為了區(qū)別，令此時按式(23)的計算值為d20。于是螺紋的斜置誤差Δ為

(24)

對于不對稱螺紋Δ也套用式(20)計算d2方法求解。

2.2.5檢驗計算

上述計算是根據(jù)已知跨線測量值m計算中徑，即測試計算。下面討論已知中徑計算跨線測量值m或M值。

由式(16)可得

(25)

已知中徑用式(25)計算跨線測量時量針之間的軸線距離，跨線測量的跨線測量值M為

M=m+dD

(26)

對于V型圓環(huán)槽，將θ=0、β=0代入式(25)中得

(27)

斜置誤差Δ為

Δ=m-m0

(28)

用式(27)計算值作為初始值，用式(17)、(18)和(25)迭代求解m值，用式(28)求斜置誤差。

對于不對稱螺紋m0和m也套用式(20)計算d2方法求解，然而對于非對稱螺紋并不能確保所得值與用已知m計算d2的結(jié)果相同(即用m所得d2反算m結(jié)果可能不同)。

2.2.6與Berndt公式的關(guān)系

下面討論式(16)和(17)與Berndt公式的關(guān)系。

Berndt公式(1)用本文符號代替，有

(29)

對于對稱螺紋a1=a2=a /2，代入上式得

(29a)

由式(17)得

將此式代入式(29a)有

(30)

此式適用于外螺紋和內(nèi)螺紋，如果只考慮對稱外螺紋部分，那么式(30)與式(16)相同。

由式(17)得

將此式代入式(18)有

對此式運算有

(31)

表1　計算示例　單位：mm

*：接觸角單位為弧度。

對于對稱外螺紋此式與Berndt公式中的迭代公式(2)導(dǎo)出式(11)相同，如果Berndt公式中的迭代公式用sinθ代替arcsin(θk)的話。嚴格講與Berndt公式中的迭代公式相當(dāng)。

由上述證明可知，對于對稱外螺紋蘇氏公式與Berndt公式相當(dāng)。對于不對稱外螺紋兩種公式結(jié)果不完全相同，因為蘇氏公式要計算兩個θ角，而Berndt公式只有一個θ角，這是用Berndt公式可能產(chǎn)生數(shù)據(jù)誤差的原因，參看下文“3 計算示例”的表1。

2.3　小結(jié)

這套公式較簡單，從大量的計算對比可認為是實用的，尤其是測試計算是準確的，檢驗計算對于對稱螺紋是準確的，不對稱螺紋當(dāng)螺旋升角不大時也可認為是準確的，然而當(dāng)不對稱螺紋螺旋升角較大時有誤差。這套公式從數(shù)學(xué)角度講并不嚴謹，甚至有矛盾(如上所述，在θ=0時，式(18)不成立。在β=0時，式(19)也不成立)。

3　計算示例

為了進一步理解前面論述，有必要舉出有代表性的計算實例說明。應(yīng)用文章“螺紋單一中徑的三針和量球法測量”[6]所提供的程序“螺紋單一中徑的計算”可很方便的進行實例計算，其中作者所述方法在此稱為“準確” 方法，另外兩種方法用人名稱謂。

計算示例

計算示例見表1，表中數(shù)據(jù)所得值θ角單位為弧度，數(shù)值由運行程序源代碼時獲得，其它所得值由程序可得。

表1中，例1～4原始數(shù)據(jù)按文獻[1]EA-10/10，例5原始數(shù)據(jù)取自生產(chǎn)數(shù)據(jù)，例6原始數(shù)據(jù)取自蘇氏文獻[2]，例7原始數(shù)據(jù)取自文獻[4]。

例1和例2為對稱螺紋，測試計算和檢驗計算結(jié)果三種方法相同。雖然例7也為對稱螺紋，測試計算和檢驗計算結(jié)果雖然“準確”和“蘇氏”兩方法相同，但“Berndt”方法卻不能計算，其原因在于不能滿足該組公式成立的條件，即式(12)的要求。在此，sinθ=0.18248309>dD/m=0.170983，Berndt公式組不成立，所以不能運算。

例3和例5為非對稱螺紋，但螺旋升角較小，三種方法計算結(jié)果基本相同，只是“蘇氏”方法檢驗計算的接觸半徑有差異。

例4和例6螺紋的螺旋升角較大，“Berndt”法的測試計算中徑與另兩種方法結(jié)果有差異，其原因在于這種方法只有一個輔助角的緣故。但是，用這個有差異的中徑去進行檢驗計算可以獲得原來的m值，即檢驗計算結(jié)果是一致的?！疤K氏”方法雖然測試計算結(jié)果是正確的，但檢驗計算結(jié)果有誤差。

小結(jié)

由表1計算示例可知：

1)“準確”法對測試計算和檢驗計算都是準確的。

2.)“蘇氏”方法對測試計算是準確的，檢驗計算對稱螺紋是正確的，對非對稱螺紋會有誤差。

3) “Berndt”法在其公式組成立的條件下，測試計算對稱螺紋是正確的，對非對稱螺紋且螺旋升角較大時計算的中徑有誤差，檢驗計算是正確的，但當(dāng)公式組不成立時不能進行計算，而上述兩法沒有這種限制。

4　結(jié)論

文獻[6]不僅給出理論推導(dǎo)嚴謹且簡單的公式且與V型圓環(huán)槽測量的公式有機地聯(lián)系，并證明后者是前者的特例，又由計算示例證明該組公式對測試計算和檢驗計算都是準確的。

對歐盟和世界有重大影響的Berndt計算公式進行了討論，得出了該公式組成立的條件，確切了其迭代公式的含意和改善了迭代應(yīng)用，通過計算示例指出了當(dāng)公式組不成立時不能進行計算并證實Berndt計算公式測試計算對稱螺紋是正確的，給出了對非對稱螺紋且螺旋升角較大時計算的中徑有誤差的評價。經(jīng)改造后也可進行檢驗計算。

蘇氏計算公式對國內(nèi)有相當(dāng)影響，通過討論 可知該公式組雖然理論上欠嚴謹，但公式較簡單，且由表1計算實例證明它對測試計算是準確的，檢驗計算對稱螺紋也是正確的，對非對稱螺紋可能有誤差。

[1]EA Guidelines on the Determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical Probing EA-10/10，P10，P20

[2]蘇宗康. 非對稱阿基米德螺紋的精密測量, 計量技術(shù),1995(2):6-9

[3]蘇宗康. 非對稱螺紋精密測量的誤差研究，實用測試技術(shù),1999(6):29-31

[4]徐孝恩.螺紋檢驗與測量.北京:計量出版社，1984:148-149

[5]劉遠模.量針測量螺紋斜置誤差的公式討論.計量技術(shù),2009(2):55-57

[6]劉遠模.螺紋單一中徑的三針和量球法測量.計量技術(shù),2014(1)