韋忠海

[摘 要]倒立擺系統(tǒng)是一個典型的快速、多變量、非線性、不穩(wěn)定系統(tǒng)，建立其數(shù)學模型研究其穩(wěn)定性對于很多工程控制有著重大意義。采用機理建模法對一階倒立擺系統(tǒng)進行分析，建立其數(shù)學模型，在用Matlab 軟件進行仿真驗證，仿真時，觀察不同的初始條件下倒立擺的運行特性。

[關鍵詞]倒立擺，數(shù)學模型，MATLAB軟件，仿真

Modeling and Simulation of an inverted pendulum based on MATLAB

Wei Zhong-hai

（GUANGXI UNIVERSITY College of Electrical Engineering， Nanning， 530004）

[Abstract]the inverted pendulum system is a typical fast， multi variable， nonlinear， unstable system， study the stability is of great significance for many engineering control to establish its mathematical model. Analysis on the inverted pendulum system by using mechanism modeling method， the mathematical model was established， using Matlab software simulation， simulation， observe the running characteristics of different initial conditions of the inverted pendulum.

[Key words]inverted pendulum， mathematical model， MATLAB software， simulation

中圖分類號：TH139 文獻標識碼：A 文章編號：1009-914X（2014）10-0016-03

1、倒立擺的簡介

圖1（a）為直線單級倒立擺實際設備，為方便分析，將其抽象這小車與擺桿的示意圖，如圖1（b）所示。由于小車在水平方向可適當移動，因此，控制小車的移動可使擺桿維持直立不倒；這和手持木棒使之直立不倒的現(xiàn)象很類似，。設加在小車上的力為，擺桿與垂直向上方向的夾角，小車的位置為，垂直向下方向的夾角為（），在空氣阻力很小可以忽略、桿是剛性的條件下，建立數(shù)學模型。

2、倒立擺的數(shù)學建模

根據(jù)Newton經(jīng)典力學，考慮平動、轉動兩方面問題，進行分析如下：定義逆時針轉動為正方向，小車向右運動為正方向，建立如圖1（b）的坐標系

設擺桿的重心為，則（1）

根據(jù)牛頓定律建立系統(tǒng)垂直和水平方向的動力學方程：

（1）擺桿繞其重心轉動的動力學方程為：（2）

式中，為擺桿繞其重心的轉動慣量：。這里，桿重力的轉動力矩為0，小車運動引起的桿牽連運動的慣性力的轉矩也為0。

（2）擺桿重心的水平動力學方程為：（3）

（3）擺桿重心的垂直動力學方程為：（4）

（4）小車的水平動力學方程為：（5）

由式（3）、（5）得：（6）

由式（2）、（3）、（4）得：（7）

于是，計及 得單級倒立擺動力學方程為：

（8）

（9）

令，，計及表 1所給參數(shù)，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：

（10）

一階倒立擺的狀態(tài)空間模型建立。據(jù)此模型在MATLAB/Simulink中進行模型的仿真，封裝如下：

3、仿真過程及分析

（1）在沒有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為脈沖信號（面積為單位1）。

仿真結果如下：

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)為初始值不變。10s-11s，系統(tǒng)得到?jīng)_量由于沒有摩擦，小車的速度先增加。最后趨于一個非零常數(shù)。但由于擺的來回擺動作用，速度在一常數(shù)附近波動；擺桿的擺動角度不斷在0.5rad～6rad間震蕩。在運動過程中，車與擺相互影響，使小車的速度和擺桿的角速度成周期性變化。能量在車的速度與擺動幅度間來回交換，運動會永遠保持下去。

（2）在沒有摩擦的情況下，初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為脈沖信號（面積為單位1）。分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變，擺桿的角度為π。10s之后，系統(tǒng)得到?jīng)_擊量，由于沒有摩擦，小車的速度最后趨于一個非零常數(shù)，由于擺沒有儲存勢能，僅僅由于擺的擺動速度波動很小。在小車接近勻速運動狀態(tài)后，擺與小車接近相對靜止，角度僅僅在π附近波動。在運動過程中，兩者相互影響，使小車的速度和擺桿的角速度成周期性變化。

（3）在沒有摩擦的情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為階躍信號（幅度為1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變，擺桿的角度為π。10s之后，系統(tǒng)得到階躍信號，由于沒有摩擦，小車做變加速運動，速度不斷變大，位置呈指數(shù)增長，由于擺擺動，速度、加速度均有輕微波動；擺桿由于慣性持續(xù)擺動，角度在π附近波動。運動過程中，兩者相互影響，使小車的速度和擺桿的角速度成周期性變化。

（4）在沒有摩擦的情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為階躍信號（幅度為1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點狀態(tài)不變。10s之后，系統(tǒng)得到階躍信號，又由于沒有摩擦，小車做變加速運動，速度不斷變大，位置呈指數(shù)增長；擺桿的擺動角度由于小車突然運動先是減小到約12π，再迅速向順時針方向運動，即先由于慣性逆時針轉動接近兩圈時再逆時針轉動。順時針轉動時轉動極快，這一點從角速度圖中可以看出。endprint

（5）在沒有摩擦的情況下，當初始狀態(tài)為時，無外力作用下，（實際上這種情況相當于給擺桿加脈沖信號），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：擺桿有初始角度πrad，初始角速度為20rad/s，在沒有摩擦及外力的情況下，小車在擺桿的帶動下，不斷前進，而后再向反方向運動；由于擺的擺動，小車速度也不斷波動，且逐漸變成負值。由于沒有摩擦，擺桿的擺動角度不斷增大，即擺桿做圓周運動。

（6）在有摩擦的情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為脈沖信號（面積為單位1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變，10s之后，系統(tǒng)得到?jīng)_量，由于有摩擦的存在，小車的運動速度和擺桿的角速度逐漸減小至分別停止，最終整個系統(tǒng)停止運動，其位置在非0處，而角度為π（即擺自然下垂）。在運動過程中，兩者相互影響，使小車的速度和擺桿的角速度成周期性變化。

（7）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為脈沖信號（面積為單位1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變。10s之后，系統(tǒng)得到?jīng)_量，由于有摩擦的存在，小車的運動速度和擺桿的角速度逐漸減小直至分別停止，最終整個系統(tǒng)停止運動，其位置停在一處，而角速度為π，相比于擺桿初始直立的情況，小車的速度降低更快且波動小。其原因大概是沒有擺的初始儲能，小車的動能更小。

（8）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為階躍信號（幅度為1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變，擺桿的角度為π。10s之后，系統(tǒng)得到力的持續(xù)作用，由于有摩擦的存在，小車的速度最后趨于一個常數(shù)，有輕微波動，位置不斷變化，位置先呈指數(shù)增長，后線性增長。相比沒有摩擦的同條件下，小車的最后速度更大；擺桿的擺動角度不斷減少，由于慣性，最初角度會減小，最終以一個角度π微小擺動，趨于停止。相比于無初始角度，擺桿的擺動的角度變小了。

（9）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為階躍信號（幅度為1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變。10s之后，系統(tǒng)得到階躍信號，又由于有摩擦的存在，小車先作變加速運動，后作勻速運動，位置先呈指數(shù)增長，后線性增長；擺桿的擺動角度波動增加，角速度波動變化，最終趨于停止，擺桿角度趨于πrad。

（10）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，無外力作用下，分析波形得到結論。

從圖中可以看出：擺桿有初始角度0.01rad，在有摩擦，無外力的情況下，小車在0處微小的波動，最終大約停在0處；擺桿的擺動角度在π處波動，最終趨于πrad而停止?？梢晹[的儲能在擺動、平動中。

（11）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，無外力作用下，（實際上這種情況相當于給擺桿加脈沖信號），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：擺桿有初始角度0.01rad，初始角度為20rad/s，在有摩擦及無外力的情況下，小車在擺桿的帶動下，不斷前進，最后小車停在非0處；擺桿的擺動角度不斷增大，即擺桿作圓周擺動，而擺桿角速度不斷減小，最終停止，擺桿角度最終趨于161πrad。在運動過程中，兩者相互影響，使小車的速度和擺桿的角速度成周期性變化。

4、總結

本設計先Newton經(jīng)典力學分析了一階倒立擺系統(tǒng)，并建立了狀態(tài)空間方程。驗證了狀態(tài)空間的合理性后，使用MATLAB/Sinmulink搭建系統(tǒng)的模型，就不同的初始條件以及不同的激勵，以Sinmulink為平臺驗證模型的正確性。

參考文獻

[1] 嚴雪莉、江漢紅.單級倒立擺控制方法的仿真對比研究.測控技術.2005.

[2] 曾志新.倒立擺的建模及 MATLAB仿真.新技術新工藝.2005.

[3] 黃祖毅.倒立擺控制的無擾切換.清華大學學報.2004.endprint

（5）在沒有摩擦的情況下，當初始狀態(tài)為時，無外力作用下，（實際上這種情況相當于給擺桿加脈沖信號），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：擺桿有初始角度πrad，初始角速度為20rad/s，在沒有摩擦及外力的情況下，小車在擺桿的帶動下，不斷前進，而后再向反方向運動；由于擺的擺動，小車速度也不斷波動，且逐漸變成負值。由于沒有摩擦，擺桿的擺動角度不斷增大，即擺桿做圓周運動。

（6）在有摩擦的情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為脈沖信號（面積為單位1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變，10s之后，系統(tǒng)得到?jīng)_量，由于有摩擦的存在，小車的運動速度和擺桿的角速度逐漸減小至分別停止，最終整個系統(tǒng)停止運動，其位置在非0處，而角度為π（即擺自然下垂）。在運動過程中，兩者相互影響，使小車的速度和擺桿的角速度成周期性變化。

（7）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為脈沖信號（面積為單位1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變。10s之后，系統(tǒng)得到?jīng)_量，由于有摩擦的存在，小車的運動速度和擺桿的角速度逐漸減小直至分別停止，最終整個系統(tǒng)停止運動，其位置停在一處，而角速度為π，相比于擺桿初始直立的情況，小車的速度降低更快且波動小。其原因大概是沒有擺的初始儲能，小車的動能更小。

（8）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為階躍信號（幅度為1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變，擺桿的角度為π。10s之后，系統(tǒng)得到力的持續(xù)作用，由于有摩擦的存在，小車的速度最后趨于一個常數(shù)，有輕微波動，位置不斷變化，位置先呈指數(shù)增長，后線性增長。相比沒有摩擦的同條件下，小車的最后速度更大；擺桿的擺動角度不斷減少，由于慣性，最初角度會減小，最終以一個角度π微小擺動，趨于停止。相比于無初始角度，擺桿的擺動的角度變小了。

（9）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為階躍信號（幅度為1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變。10s之后，系統(tǒng)得到階躍信號，又由于有摩擦的存在，小車先作變加速運動，后作勻速運動，位置先呈指數(shù)增長，后線性增長；擺桿的擺動角度波動增加，角速度波動變化，最終趨于停止，擺桿角度趨于πrad。

（10）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，無外力作用下，分析波形得到結論。

從圖中可以看出：擺桿有初始角度0.01rad，在有摩擦，無外力的情況下，小車在0處微小的波動，最終大約停在0處；擺桿的擺動角度在π處波動，最終趨于πrad而停止?？梢晹[的儲能在擺動、平動中。

（11）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，無外力作用下，（實際上這種情況相當于給擺桿加脈沖信號），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：擺桿有初始角度0.01rad，初始角度為20rad/s，在有摩擦及無外力的情況下，小車在擺桿的帶動下，不斷前進，最后小車停在非0處；擺桿的擺動角度不斷增大，即擺桿作圓周擺動，而擺桿角速度不斷減小，最終停止，擺桿角度最終趨于161πrad。在運動過程中，兩者相互影響，使小車的速度和擺桿的角速度成周期性變化。

4、總結

本設計先Newton經(jīng)典力學分析了一階倒立擺系統(tǒng)，并建立了狀態(tài)空間方程。驗證了狀態(tài)空間的合理性后，使用MATLAB/Sinmulink搭建系統(tǒng)的模型，就不同的初始條件以及不同的激勵，以Sinmulink為平臺驗證模型的正確性。

參考文獻

[1] 嚴雪莉、江漢紅.單級倒立擺控制方法的仿真對比研究.測控技術.2005.

[2] 曾志新.倒立擺的建模及 MATLAB仿真.新技術新工藝.2005.

[3] 黃祖毅.倒立擺控制的無擾切換.清華大學學報.2004.endprint

（5）在沒有摩擦的情況下，當初始狀態(tài)為時，無外力作用下，（實際上這種情況相當于給擺桿加脈沖信號），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：擺桿有初始角度πrad，初始角速度為20rad/s，在沒有摩擦及外力的情況下，小車在擺桿的帶動下，不斷前進，而后再向反方向運動；由于擺的擺動，小車速度也不斷波動，且逐漸變成負值。由于沒有摩擦，擺桿的擺動角度不斷增大，即擺桿做圓周運動。

（6）在有摩擦的情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為脈沖信號（面積為單位1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變，10s之后，系統(tǒng)得到?jīng)_量，由于有摩擦的存在，小車的運動速度和擺桿的角速度逐漸減小至分別停止，最終整個系統(tǒng)停止運動，其位置在非0處，而角度為π（即擺自然下垂）。在運動過程中，兩者相互影響，使小車的速度和擺桿的角速度成周期性變化。

（7）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為脈沖信號（面積為單位1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變。10s之后，系統(tǒng)得到?jīng)_量，由于有摩擦的存在，小車的運動速度和擺桿的角速度逐漸減小直至分別停止，最終整個系統(tǒng)停止運動，其位置停在一處，而角速度為π，相比于擺桿初始直立的情況，小車的速度降低更快且波動小。其原因大概是沒有擺的初始儲能，小車的動能更小。

（8）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為階躍信號（幅度為1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變，擺桿的角度為π。10s之后，系統(tǒng)得到力的持續(xù)作用，由于有摩擦的存在，小車的速度最后趨于一個常數(shù)，有輕微波動，位置不斷變化，位置先呈指數(shù)增長，后線性增長。相比沒有摩擦的同條件下，小車的最后速度更大；擺桿的擺動角度不斷減少，由于慣性，最初角度會減小，最終以一個角度π微小擺動，趨于停止。相比于無初始角度，擺桿的擺動的角度變小了。

（9）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，在10s時給小車為階躍信號（幅度為1），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：前10s系統(tǒng)處于平衡點，狀態(tài)不變。10s之后，系統(tǒng)得到階躍信號，又由于有摩擦的存在，小車先作變加速運動，后作勻速運動，位置先呈指數(shù)增長，后線性增長；擺桿的擺動角度波動增加，角速度波動變化，最終趨于停止，擺桿角度趨于πrad。

（10）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，無外力作用下，分析波形得到結論。

從圖中可以看出：擺桿有初始角度0.01rad，在有摩擦，無外力的情況下，小車在0處微小的波動，最終大約停在0處；擺桿的擺動角度在π處波動，最終趨于πrad而停止。可視擺的儲能在擺動、平動中。

（11）在有摩擦情況下，當初始狀態(tài)為時，無外力作用下，（實際上這種情況相當于給擺桿加脈沖信號），分析波形得到結論。

從圖中可以看出：擺桿有初始角度0.01rad，初始角度為20rad/s，在有摩擦及無外力的情況下，小車在擺桿的帶動下，不斷前進，最后小車停在非0處；擺桿的擺動角度不斷增大，即擺桿作圓周擺動，而擺桿角速度不斷減小，最終停止，擺桿角度最終趨于161πrad。在運動過程中，兩者相互影響，使小車的速度和擺桿的角速度成周期性變化。

4、總結

本設計先Newton經(jīng)典力學分析了一階倒立擺系統(tǒng)，并建立了狀態(tài)空間方程。驗證了狀態(tài)空間的合理性后，使用MATLAB/Sinmulink搭建系統(tǒng)的模型，就不同的初始條件以及不同的激勵，以Sinmulink為平臺驗證模型的正確性。

參考文獻

[1] 嚴雪莉、江漢紅.單級倒立擺控制方法的仿真對比研究.測控技術.2005.

[2] 曾志新.倒立擺的建模及 MATLAB仿真.新技術新工藝.2005.

[3] 黃祖毅.倒立擺控制的無擾切換.清華大學學報.2004.endprint