3-RPS和3-SPR機(jī)構(gòu)鉸鏈布置形式建模與分析

熊令明,張 臣

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院, 江蘇 南京， 210016)

根據(jù)各構(gòu)件間相對(duì)運(yùn)動(dòng)方式的不同，并聯(lián)機(jī)構(gòu)可分為平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)、球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)和一般空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)[1]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的形式有多樣[2]，雖然其結(jié)構(gòu)形式、自由度數(shù)目及驅(qū)動(dòng)方式等各不相同, 但相互間具有緊密的內(nèi)在聯(lián)系[3]。作為空間三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的代表3-RPS和3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)副的布置常常被忽略。并聯(lián)機(jī)構(gòu)鉸鏈和布置形式的不同會(huì)對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方式產(chǎn)生重要影響，因此研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)鉸鏈的不同布置形式有重要意義[4]。

本文根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)綜合理論以及單開(kāi)鏈為單元的并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成原理[5]，建立3-RPS和3-SPR機(jī)構(gòu)鉸鏈布置形式的模型，借助ADAMS軟件分析所建相同平臺(tái)和不同平臺(tái)下鉸鏈布置形式模型的可靠性，給出各種鉸鏈布置形式產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)結(jié)果，與所建立的布置形式模型進(jìn)行比較，篩選出符合體感機(jī)構(gòu)要求的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

1 機(jī)構(gòu)建模與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 鉸鏈布置形式的數(shù)學(xué)建模

圖1 3-SPR和3-RPS機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of 3-SPR and 3-RPS mechanism model

1.2 機(jī)構(gòu)位移分析

定平臺(tái)的端點(diǎn)鉸鏈在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(1)

動(dòng)平臺(tái)的鉸鏈在動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(2)

動(dòng)平臺(tái)的坐標(biāo)原點(diǎn)在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

動(dòng)平臺(tái)的鉸鏈在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

動(dòng)平臺(tái)到定平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)矩陣為

并滿足以下條件：

zl=ynxm-xnymxlyl+xmym+xnyn=1

zm=ylxn-xlynxlzl+xmzm+xnzn=1

zn=ymxl-xmymzlyl+zmym+znyn=1

即動(dòng)平臺(tái)在定平臺(tái)上旋轉(zhuǎn)后的端點(diǎn)坐標(biāo)表示式為

(3)

式中：a=qrxl-ryl+2Xo;b=qrxm-rym+2Yo;c=qrxn-ryn+2Zo;d=-qrxl-ryl+2Xo;e=-qrxm-rym+2Yo;f=-qrxn-ryn+2Zo。

桿長(zhǎng)為

ri=ai-Ai

即

則桿長(zhǎng)表達(dá)式為

(4)

式中：G=XOxl+YOxm+ZOxn；K=XOyl+YOym+ZOyn。

動(dòng)平臺(tái)的最終位姿可以由(Xo,Yo,Zo，α,β,γ)來(lái)表示，其中α,β,γ為動(dòng)平臺(tái)繞空間上互為垂直的3根軸線旋轉(zhuǎn)的角度，即歐拉角。歐拉角與旋轉(zhuǎn)矩陣為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。由于符合條件的機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)桿中均含有1個(gè)旋轉(zhuǎn)副，且由3根非線性驅(qū)動(dòng)桿驅(qū)動(dòng)，所以每條驅(qū)動(dòng)桿都有1個(gè)約束方程，即該驅(qū)動(dòng)桿的向量一直與該桿中的旋轉(zhuǎn)副軸線垂直。桿長(zhǎng)表達(dá)式中含有6個(gè)未知數(shù)，依據(jù)約束數(shù)與自由度數(shù)的關(guān)系，該機(jī)構(gòu)可以建立3個(gè)約束方程。

δi·Ri=0(i=1,2,3)

(5)

當(dāng)a1鉸鏈為旋轉(zhuǎn)鉸鏈時(shí)，約束式為

2G+qr-qRxl+Rxmcosθ1+

2K-r-qRyl+Rymsinθ1=0

(6)

當(dāng)A1鉸鏈為旋轉(zhuǎn)鉸鏈時(shí)，約束式為

qrxl-ryl+2XO-qRcosθ1+

qrxm-rym+2YO+Rsinθ1=0

(7)

當(dāng)a2鉸鏈為旋轉(zhuǎn)鉸鏈時(shí)，約束式為

G-Rxmcosθ2+(K-Rym)sinθ2=0

(8)

當(dāng)A2鉸鏈為旋轉(zhuǎn)鉸鏈時(shí)，約束式為

ryl+XOcosθ2+

(rym+YO-R)sinθ2=0

(9)

當(dāng)a3鉸鏈為旋轉(zhuǎn)鉸鏈時(shí)，約束式為

2G-qr+qRxl+Rxmcosθ3+

2K-r+qRyl+Rymsinθ3=0

(10)

當(dāng)A3鉸鏈為旋轉(zhuǎn)鉸鏈時(shí)，約束式為

-qrxl-ryl+2XO+qRcosθ3-

qrxm+rym-2YO-Rsinθ3=0

(11)

根據(jù)機(jī)構(gòu)動(dòng)定平臺(tái)各鉸鏈支點(diǎn)是否為旋轉(zhuǎn)鉸鏈，選擇對(duì)應(yīng)的約束方程。因所選機(jī)構(gòu)為3-SPR、3-RPS，故存在3個(gè)約束方程。為獲得3-SPR、3-RPS機(jī)構(gòu)的位姿(含6個(gè)未知量)，需要選擇3個(gè)位姿獨(dú)立變量進(jìn)行求解。利用Matlab進(jìn)行計(jì)算篩選，步驟如下：

(1)根據(jù)機(jī)構(gòu)類型選擇對(duì)應(yīng)約束方程，如：3-SPR機(jī)構(gòu)中的旋轉(zhuǎn)鉸鏈均在動(dòng)平臺(tái)，故選擇式(6)、式(8)、式(10)作為3-SPR的3個(gè)約束方程。

(2)將機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)鉸鏈軸心線角度 代入方程并簡(jiǎn)化，如：將3-SPR機(jī)構(gòu)中θ1、θ2、θ3為90°、0°、90°分別代入式(6)、式(8)、式(10)，化簡(jiǎn)后即得：

(12)

式中：G=XOxl+YOxm+ZOxn；K=XOyl+YOym+ZOyn。

(3)對(duì)化簡(jiǎn)后的約束方程進(jìn)行旋轉(zhuǎn)方式選擇，從中選出最易求解的一組，如： 式(12)化簡(jiǎn)后的約束方程選擇XYX形式的歐拉角最為簡(jiǎn)便，根據(jù)已知的3個(gè)獨(dú)立變量，利用Matlab軟件計(jì)算得出(Xo,Yo,Zo，α,β,γ)中的另外3個(gè)變量。

(4)利用求出的3個(gè)機(jī)構(gòu)變量和已知的3個(gè)獨(dú)立變量，結(jié)合式(4)計(jì)算驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)度，即可求出桿的伸長(zhǎng)量。

1.3 鉸鏈布置形式分析

利用Adams軟件分析動(dòng)平臺(tái)面積相同或不同及不同鉸鏈布置形式下的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方式。12種鉸鏈布置形式下的3-SPR機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方式如表1所示。

表1 12種鉸鏈布置形式下的3-SPR機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方式

從表1中可看出，由于相同或不同的動(dòng)平臺(tái)面積及鉸鏈布置形式導(dǎo)致了3-SPR機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方式各不相同，即：①無(wú)論動(dòng)平臺(tái)面積是否相同，均呈現(xiàn)Z軸移動(dòng)，X、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)并有附加運(yùn)動(dòng)；②鉸鏈布置角度值為0-0-0和90-90-90時(shí)，動(dòng)平臺(tái)面積相同，運(yùn)行不穩(wěn)定，動(dòng)平臺(tái)面積不同，均不能運(yùn)動(dòng)；③鉸鏈布置角度值為0-θ2-90和90-θ2-0時(shí)，θ2值為0°～90°，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方式不變，均為Z軸移動(dòng)，X、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)并有附加運(yùn)動(dòng)。④從式(7)、式(9)、式(11)中可知，6個(gè)位姿變量中僅有5個(gè)在約束方程中，從而使3-SPR機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在附加運(yùn)動(dòng)。

動(dòng)平臺(tái)面積相同或不同及鉸鏈布置形式同樣會(huì)導(dǎo)致3-RPS機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方式不同，即：①無(wú)論動(dòng)平臺(tái)面積是否相同，均呈現(xiàn)Z軸移動(dòng)，X、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)并無(wú)附加運(yùn)動(dòng)；②鉸鏈布置角度值為0-0-0、90-90-90、60-90-120時(shí)，動(dòng)平臺(tái)面積相同，運(yùn)行不穩(wěn)定，動(dòng)平臺(tái)面積不同，均不能運(yùn)動(dòng)。③鉸鏈布置角度值為θ1-0-90、0-θ2-90、90-θ2-0、90-0-θ3時(shí)，θ1、θ2、θ3取值為0°～90°，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方式不變，均為Z軸移動(dòng)，X、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

綜上所述，3-SPR中符合體感機(jī)構(gòu)要求的有：0-0-90，0-90-90，90-0-0，90-0-90，90-90-0，60-0-120，150-0-30； 3-RPS中符合體感機(jī)構(gòu)要求的有：0-0-90，0-90-0，0-90-90，90-0-0 ，90-0-90，90-90-0， 60-0-120，150-90-30。

2 機(jī)構(gòu)鉸鏈布置形式的軟件開(kāi)發(fā)

對(duì)于12種典型鉸鏈布置形式的機(jī)構(gòu)進(jìn)行建模分析，根據(jù)機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性特點(diǎn)，開(kāi)發(fā)出了適合3-RPS和3-SPR機(jī)構(gòu)鉸鏈布置形式的軟件，用于輔助鉸鏈布置形式的選擇。機(jī)構(gòu)參數(shù)流程圖如圖2所示。

圖2 機(jī)構(gòu)參數(shù)流程圖

機(jī)構(gòu)參數(shù)包含機(jī)構(gòu)的支點(diǎn)布置形式、平臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、自由度數(shù)目及機(jī)構(gòu)類型。機(jī)構(gòu)的支點(diǎn)布置形式分為三點(diǎn)支撐、四點(diǎn)支撐及六點(diǎn)支撐。平臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)有等邊三角形、等腰三角形、六邊形，機(jī)構(gòu)類型有3-SPR、3-RPS、2-SPR+RPS、2-RPS+SPR等。根據(jù)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)類型及平臺(tái)布置形式，運(yùn)用修正的Kutzbach-Grubler公式進(jìn)行自由度的判斷。根據(jù)運(yùn)動(dòng)參數(shù)及性能要求的輸入來(lái)判斷機(jī)構(gòu)的性能是否滿足要求，如果性能驗(yàn)證成功則呈可視化顯示，否則返回重新選擇參數(shù)和性能要求。機(jī)構(gòu)參數(shù)選擇界面中，平臺(tái)高度和平臺(tái)面積為初始位置時(shí)的機(jī)構(gòu)高度和上下平臺(tái)的面積，角度θ1、θ2、θ3的選擇為對(duì)12種典型鉸鏈布置中角度的選擇，角度選擇的結(jié)果會(huì)自動(dòng)對(duì)應(yīng)出現(xiàn)該角度下應(yīng)該選擇的獨(dú)立變量、旋轉(zhuǎn)方式和運(yùn)動(dòng)方式。如：參數(shù)輸入選擇的機(jī)構(gòu)類型為3-SPR、平臺(tái)鉸鏈的布置角度分別為90°、0°、90°時(shí)，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)顯現(xiàn)出其獨(dú)立選擇變量Xo、a、b，歐拉角的旋轉(zhuǎn)方式選擇了X-Y-X，并得出3-SPR在該鉸鏈布置角度下的運(yùn)動(dòng)方式，其與ADAMS分析結(jié)果一致。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)12種典型旋轉(zhuǎn)鉸鏈布置形式下的3-RPS和3-SPR機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度計(jì)算、數(shù)學(xué)建模和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，利用Pro-E和 ADAMS軟件分析及驗(yàn)證所建模型，篩選出符合體感機(jī)構(gòu)要求的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，結(jié)果可用于輔助鉸鏈布置形式的選擇。

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