多近鄰作用下具有在位勢的一維雙原子鏈晶格振動的色散關系

呂　巋 ,童國平

(1.上饒師范學院，江西 上饒 334001；2.浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院, 浙江 金華 321004)

原子鏈中的原子之間存在相互作用勢能,同時可能存在與臨近原子無關的在位勢(能)[1-2].研究表明,在位勢對晶格振動色散關系產(chǎn)生顯著影響[3-5].這些研究均采用最近鄰相互作用的緊束縛模型,尚未考慮長程晶格間的相互作用.原子或分子晶體中四極矩比較顯著而雙極矩較小時,僅考慮晶格中的最近鄰相互作用就符合要求,但在特殊情況或精確度要求更高的情況下[6],雙極矩開始明顯,則須考慮長程晶格間的相互作用.本文計及原子間長程庫侖相互作用,在簡諧作用下求解具有在位勢的一維雙原子鏈晶格振動運動方程,得到了相應色散關系,并簡要討論了多近鄰作用下在位勢對禁帶寬度、頻隙、光頻支頂在布里淵區(qū)的位置等因素的影響特征,以補充相關研究的一些基礎知識.

1　理論模型和色散關系

考慮由N個原胞組成的一維雙原子鏈,設相鄰原子的平衡距離為a,原子質(zhì)量分別為m1與m2,電荷為±e,以u2n-1表示第n個原胞內(nèi)質(zhì)量為m1的原子離開平衡位置的位移,以u2n表示第n個原胞內(nèi)質(zhì)量為m2的原子離開平衡位置的位移,其中n=1,2,…，N.在簡諧近似下,計及多近鄰作用的具有在位勢的一維雙原子鏈晶格振動哈密頓量為:

H=T+V

(1)

其中動能部分為:

(2)

勢能部分為:

(3)

式中α是短程力常數(shù),η是在位勢能的力常數(shù),β=-2e2/a3為最近鄰間庫侖力常數(shù).本文考慮長程庫侖力作用到第四近鄰的情況,即取s=4,則最近鄰力常數(shù)為β1=α+β,第二到第四近鄰間長程庫侖力常數(shù)依次為β2=-β/8,β3=β/27,β4=-β/64.應用拉格朗日方程,可得到相應的晶格振動運動方程組為：

β3(u2n+2+u2n-4-2u2n-1)+β4(u2n+3+u2n-5-2u2n-1)-ηu2n-1

(4a)

β3(u2n+3+u2n-3-2u2n)+β4(u2n+4+u2n-4-2u2n)-ηu2n

(4b)

由晶格的周期性,可設u2n-1=Aei[q(2n-1)a-wt],u2n=Bei[q2na-wt],代入(4)式得到方程組:

[m1ω2-η-2(β1+β2+β3+β4)+2β2cos(2qa)+2β4cos(4qa)]A+

[2β1cos(qa)+2β3cos(3qa)]B=0

(5a)

[2β1cos(qa)+2β3cos(3qa)]A+

[m2ω2-η-2(β1+β2+β3+β4)+2β2cos(2qa)+2β4cos(4qa)]B=0

(5b)

方程組(5)有解的條件是其系數(shù)行列式的值為零,由此求得晶格振動的色散關系為:

(6)

其中C=2(β1+β3)+4β2sin2(qa)+4β4sin2(2qa)+η,D=2[β1cos(qa)+β3cos(3qa)].

(7)

上式中λ1,λ2,λ3,λ4的數(shù)值跟長程庫侖力作用的線度有關,詳見下表:

最近鄰近似次近鄰近似第四近鄰近似λ102-sin2(qa)/256/27-sin2(qa)/2-sin2(2qa)/16λ24cos2(qa)4cos2(qa)4cos2(qa)λ3016cos2(qa)16[cos(qa)+cos(3qa)/27]2λ4016cos2(qa)16cos2(qa)+16cos(qa)cos(3qa)/27

在布里淵區(qū)邊緣qB=π/2a處,由(7)式可得:

(8)

在布里淵區(qū)中心q=0處, 由(7)式可得:

(9)

2　結(jié)果討論

多近鄰作用下在位勢對色散關系的影響具有一些不同于最近鄰模型的新特征,本文主要從以下三個方面加以討論.討論中取原子質(zhì)量比m1/m2=2,短程力常數(shù)α用約化單位取為1.

2.1　對禁帶寬度的影響

2.2　對布里淵區(qū)中心頻隙的影響

2.3　對高頻支頂在布里淵區(qū)位置的影響

在不同原子質(zhì)量比下,η和|β|取其他值時,情況與上述討論類似,限于篇幅,在此不一一列舉.

圖2　η=0.15時高頻支頂?shù)奈恢秒S|β|的變化 圖3　η=0.85時高頻支頂?shù)奈恢秒S|β|的變化

3　結(jié)論

本文計及長程庫侖作用至第四近鄰,研究了具有在位勢的一維線性雙原子鏈晶格振動的色散關系,發(fā)現(xiàn)多近鄰作用下在位勢對色散關系中禁帶寬度、頻隙、高頻支頂在布里淵區(qū)的位置等因素的影響具有不同于最近鄰模型的特征,這些特征是以往的文獻所未提及的,其物理應用尚有待于實驗上的進一步探索.順便提及,如果把電子殼層視作質(zhì)量很小的原子,在解釋鐵電光學實驗中獲得成功的Bilz模型即可轉(zhuǎn)化為本文的四原子多近鄰模型[7].由于實際原子鏈中往往存在非線性作用,在位勢具有二次(簡諧)、四次(非簡諧)等不同形式,并且長程庫侖力作用到的原子可以不止四個,故模型尚待進一步完善和拓展.有關工作正在進行之中

參考文獻：

[1] Gorbach A V, Johansson M. Discrete gap breathers in a diatomic Klein-Gordon chain:stability and mocility [J]. Phys Rev E,2003,67(6):0666081-06660814.

[2] Maniadis P, Zolotaryuk A V, Tsironis G P. Existence and stability of discrete gap breathers in a diatomic β Femi-Pasta-Ulam chain [J]. Phys Rev,2003,E67(4):0466121-04661213.

[3] 田強,洪馥男. 具有在位勢的一維雙原子鏈晶格振動的色散關系[J]. 大學物理,2006,25(4):17-19+24.

[4] 潘學琴,劉炳燦,田強.在位勢對于一維雙原子鏈晶格振動長聲學波的影響[J].大學物理,2009,28(5):11-13.

[5] 任益充,范洪義.不變本征算符方法求解含不同在位勢的一維雙原子鏈的色散關系[J].物理學報,2013,62(15): 353-358.

[6] 徐文蘭,陸衛(wèi).多近鄰作用雙原子鏈和一維鐵電體晶格振動[J].紅外與毫米波學報,2000,19(5):394-396.

[7] Ho lma M, Chen Haydn. Phonen dispersion and anharmonicity in cubic KNbO3[J]. Phys Chem. Solids, 1996, 57: 1465.