，，

(南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106)

1 引言

多屬性決策[1-2]是決策理論與方法研究領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容，現(xiàn)有研究主要集中在區(qū)間型多屬性決策問(wèn)題、基于直覺(jué)模糊集的多屬性決策問(wèn)題、灰色多屬性決策問(wèn)題、基于多屬性決策的分類(lèi)問(wèn)題、決策指標(biāo)權(quán)重的測(cè)算和多屬性群決策等方面。戴厚平[3]研究了屬性權(quán)重信息完全未知且屬性值為區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)的多屬性決策問(wèn)題；Zhou Wenkun等[4]研究了屬性權(quán)重信息未知的不確定多屬性群決策問(wèn)題；陳孝新等[5]以灰色系統(tǒng)理論的思想和方法為基礎(chǔ)，探討了決策方案的屬性值為區(qū)間灰數(shù)的灰色多屬性決策問(wèn)題；徐澤水[6]研究了屬性值為直覺(jué)模糊數(shù)且決策者對(duì)方案有偏好的模糊多屬性決策問(wèn)題；Darood[7]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊多屬性決策問(wèn)題，并對(duì)其進(jìn)行了研究。在多屬性決策過(guò)程中，難點(diǎn)之一是由于問(wèn)題復(fù)雜性和環(huán)境不確定性造成的屬性值難以準(zhǔn)確設(shè)定的問(wèn)題，而這又是科學(xué)決策的前提條件。對(duì)此，樊治平[8]給出了具有區(qū)間數(shù)的多屬性決策問(wèn)題的綜合屬性值計(jì)算方法，并提出了區(qū)間數(shù)的兩種排序方法；汪心凡[9]將模糊數(shù)Vague值的有序加權(quán)平均( FV-OWA) 算子應(yīng)用于屬性權(quán)重完全未知且屬性值以模糊數(shù)Vague值形式給出的不確定多屬性決策問(wèn)題。從已有文獻(xiàn)中方法的應(yīng)用方面來(lái)看，主要是試圖通過(guò)區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)等不確定形式來(lái)處理，有一定的效果，但并沒(méi)有本質(zhì)上解決這個(gè)問(wèn)題。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理[10-11]是Pearl教授1988年提出的一種推理決策方法，由于其有雙向推理的功能，近年來(lái)在故障診斷[12-14]、醫(yī)療診斷[15]、數(shù)據(jù)挖掘[16]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。張紅兵[17]提出了應(yīng)用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)來(lái)考慮環(huán)境之中的因果關(guān)系隨機(jī)事件的基于世界狀態(tài)的決策模型的決策支持系統(tǒng)的構(gòu)建方法；肖秦琨[18]將貝葉斯網(wǎng)絡(luò)用于海上目標(biāo)識(shí)別，利用構(gòu)建的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)和已掌握的證據(jù)條件來(lái)推斷不同船艦類(lèi)型的概率；葉躍翔等[19]通過(guò)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理求解在各個(gè)方案下每個(gè)屬性取值的概率分布，從而把一般不確定多屬性決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化為風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題，這是重要的應(yīng)用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的多屬性決策文獻(xiàn)。

從已有利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)解決多屬性決策問(wèn)題的文獻(xiàn)來(lái)看，尚存在如下一些問(wèn)題：(1)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的條件概率分布表都是根據(jù)專(zhuān)家知識(shí)等方法直接給出的，而在實(shí)際問(wèn)題中，由于網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性等很難準(zhǔn)確確定，用區(qū)間數(shù)來(lái)估測(cè)范圍更為可信，而對(duì)于多屬性決策問(wèn)題，一些屬性受到復(fù)雜因素的影響，也難以給出方案的指標(biāo)屬性值；(2)從決策矩陣和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理所依據(jù)的信息來(lái)看，這實(shí)質(zhì)上是兩類(lèi)不同來(lái)源的信息，有不同的關(guān)注點(diǎn)，現(xiàn)有文獻(xiàn)(葉躍翔等[19])單獨(dú)利用了這些信息，兩者結(jié)合應(yīng)用的研究不多。從信息相互推證角度來(lái)看，兩者的聯(lián)合有助于不確定問(wèn)題的解決。對(duì)此，本文嘗試結(jié)合貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理技術(shù)和專(zhuān)家所給決策矩陣信息，提出一種新的解決不確定多屬性決策問(wèn)題的方案。

2 問(wèn)題描述及求解

2.1 問(wèn)題描述及解決思路

對(duì)于不確定多屬性決策中的屬性值概率分布不確定的多屬性決策問(wèn)題，決策專(zhuān)家所給的決策偏好信息具有很大的主觀(guān)性和不確定性，因此只依靠這類(lèi)信息進(jìn)行決策可能導(dǎo)致決策結(jié)果有很大的偏差；另一方面，根據(jù)影響屬性值概率分布的環(huán)境因素所構(gòu)建的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖，由于網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的條件概率分布表很難直接準(zhǔn)確給出(實(shí)質(zhì)上是一個(gè)區(qū)間數(shù))，這樣就無(wú)法利用網(wǎng)絡(luò)推理出方案屬性值概率的分布情況(若利用區(qū)間數(shù)運(yùn)算規(guī)則，得到推理結(jié)果的不確定性很大)。因此，本文首先根據(jù)決策專(zhuān)家所給決策矩陣信息求出方案綜合屬性值的上、下限區(qū)間，然后利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)信息求出屬性值概率分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式，得到方案綜合屬性值的數(shù)學(xué)表達(dá)式，結(jié)合二者內(nèi)在的信息特質(zhì)建立集結(jié)模型，最后求出方案的具有較高可能性的綜合屬性值，并對(duì)方案進(jìn)行排序。

2.2 問(wèn)題求解

2.2.1 根據(jù)決策矩陣確定各方案綜合屬性值范圍

步驟1：對(duì)決策矩陣中的屬性值按如下方法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化[20]：

步驟2：假設(shè)屬性的權(quán)重向量和屬性取各個(gè)值的概率區(qū)間已知，為準(zhǔn)確估計(jì)方案的可能值范圍，建立模型P1和P2求各個(gè)方案綜合屬性值的下限SiL和上限SiU(模型的思想實(shí)質(zhì)是估計(jì)最劣和最優(yōu)情況下方案的綜合屬性值)，即：

其中，i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。

模型目標(biāo)的含義：第i個(gè)方案的綜合屬性值可能下限。式(1)表示屬性取不同值的概率在決策專(zhuān)家所給區(qū)間[pk(aij)L，pk(aij)U]內(nèi)，式(2)表示第i個(gè)方案在第j個(gè)屬性下取不同值的概率之和為1，即滿(mǎn)足歸一化條件。

定理1 模型P1必定存在最優(yōu)解。

證明：易得，略。

同理，可得：

模型目標(biāo)的含義：第i個(gè)方案的綜合屬性值可能上限。

定理2 模型P2必定存在最優(yōu)解。

證明：易得，略。

通過(guò)估算方案的綜合屬性值的大小來(lái)進(jìn)行方案優(yōu)劣排序，充分考慮了不確定性問(wèn)題，這種思想在張全等[21]中有所體現(xiàn)，本文則將其擴(kuò)展到多狀態(tài)的不確定性決策過(guò)程。

2.2.2 根據(jù)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的方案綜合屬性值推理

按照影響屬性的所有因素，包括決策者可控的因素(即決策變量)和不可控的因素(即環(huán)境變量)，假設(shè)確定了這些屬性和變量之間的因果依賴(lài)關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系可確立貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖(如圖1)。通過(guò)咨詢(xún)領(lǐng)域?qū)＜一蛘叻治鰵v史統(tǒng)計(jì)資料、文獻(xiàn)等方法，確定了當(dāng)改變決策變量時(shí)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的條件概率表。與葉躍翔等[19]等不同，由于環(huán)境復(fù)雜性和信息不完全性等，本文認(rèn)為其中部分節(jié)點(diǎn)的條件概率分布是確定的數(shù)值，部分節(jié)點(diǎn)的條件概率分布則是以區(qū)間數(shù)px∈[pxL,pxU](x=1,2,…,z，z為不確定概率的個(gè)數(shù))的形式給出，這種情況更適用于復(fù)雜的決策情況。

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)合了圖論和概率論的知識(shí)，用于表達(dá)隨機(jī)變量之間復(fù)雜的概率不確定性。下文簡(jiǎn)述貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的基本思想[19-22]：

(1)一個(gè)隨機(jī)變量集組成網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，一個(gè)連接節(jié)點(diǎn)對(duì)的有向邊或箭頭集合，如果存在從節(jié)點(diǎn)X到節(jié)點(diǎn)Y的有向邊，則稱(chēng)X是Y的一個(gè)父節(jié)點(diǎn)，表示X對(duì)Y有直接影響；

(2)因每一個(gè)節(jié)點(diǎn)Xi都有一個(gè)條件概率分布P(Xi|Parents(Xi))，用于量化其父節(jié)點(diǎn)對(duì)該節(jié)點(diǎn)的影響，對(duì)離散情況，可以用表格的形式來(lái)表示，稱(chēng)為條件概率表(Conditional Probability Table，CPT，由于連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的復(fù)雜性，本文只考慮離散情況)；

(3)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)提供了對(duì)域的一個(gè)完整描述，所有變量的全聯(lián)合概率分布中的每一個(gè)條目都可以通過(guò)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的信息計(jì)算出來(lái)，即:

(3)

其中，Xi是第i個(gè)隨機(jī)變量，而xi是Xi的一個(gè)特定取值，Parents(Xi)是Xi的父節(jié)點(diǎn)，parents(Xi)是Parents(Xi)的一個(gè)特定取值。

在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，本文設(shè)計(jì)根據(jù)分析的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，計(jì)算得出各方案的綜合屬性值的數(shù)學(xué)表達(dá)式，其步驟如下：

2.2.3 基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理的雙重信息集結(jié)模型

其中，i=1,2,…,m；j=1,2,…n；x=1,2,…,z。

定理3 模型P3必定存在最優(yōu)解。

證明：易得，略。

基于特定的決策問(wèn)題，求解模型P3可以推出貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的概率分布、各個(gè)方案在各屬性下的概率分布和方案綜合屬性值。該模型同時(shí)考慮了專(zhuān)家所給信息和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理的不確定性。

綜上所述，本文方法的步驟可總結(jié)為：

步驟1：根據(jù)專(zhuān)家所給決策信息利用模型P1和P2，得出方案Si綜合屬性值所在區(qū)間[SiL,SiU]。

步驟3：利用模型P3集結(jié)步驟1和步驟2中所求綜合屬性值，得出方案準(zhǔn)確綜合屬性值。

3 算例分析

3.1 背景及基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

某航空公司現(xiàn)欲購(gòu)買(mǎi)一種戰(zhàn)斗機(jī)，有6種不同型號(hào)的飛機(jī)即Si,i=1,2,…,6可供選擇，決策屬性有Q1-馬赫數(shù)，指飛機(jī)的飛行速度與當(dāng)?shù)卮髿?即一定的高度、溫度和大氣密度)中的音速之比，單位為Ma；Q2-有效載重量即飛機(jī)所能承載的最大重量，單位千克；Q3-航程，即飛機(jī)加滿(mǎn)油的情況下所能飛行的最大距離，單位為千米；Q4-燃油消耗率即單位指示功的耗油量，單位為升每小時(shí)；Q5-探測(cè)敏感性，反映飛機(jī)對(duì)外來(lái)威脅的敏感性；Q6-被擊中的可能性，即指當(dāng)飛機(jī)遭受攻擊時(shí)被擊中的可能性；其中Q1、Q2、Q3和Q4都只有一個(gè)取值即K1=K2=K3=K4=1，Q5有三種取值(中、低、高)，即K5=3，Q6有大和小兩種取值即K6=2，Q1、Q2、Q3和Q5為效益型屬性，Q4和Q6為成本型屬性。設(shè)權(quán)重向量為：

W=(w1,…,w6)Τ=(0.15,0.2,0.1,0.18,0.2,0.17)Τ

專(zhuān)家給出決策矩陣A和屬性概率分布矩陣P如下所示：

對(duì)于定性屬性值，采用賦值法將其量化，即令：中=5，高=7，低=3，大=7，小=3。

圖2 飛機(jī)問(wèn)題的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖

表1 節(jié)點(diǎn)B、D、E和F的CPT

表2 節(jié)點(diǎn)A的CPT

表3 節(jié)點(diǎn)Q5的CPT

表4 節(jié)點(diǎn)Q6的CPT

表5 不確定的概率所在區(qū)間

根據(jù)領(lǐng)域?qū)＜业闹R(shí)、實(shí)際調(diào)查和歷史數(shù)據(jù)等資料確定貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)不確定的概率所在區(qū)間如表5所示：

3.2 計(jì)算結(jié)果及分析

(1)根據(jù)專(zhuān)家給出的決策矩陣和概率分布矩陣求各個(gè)方案綜合屬性值的上、下限即所在區(qū)間范圍。

步驟1：按照2.2.1中步驟1中標(biāo)準(zhǔn)化方法對(duì)屬性值標(biāo)準(zhǔn)化得：

(2)根據(jù)分析的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖(圖2)，求解各方案的綜合屬性值的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

步驟1：利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖(圖2)進(jìn)行推理計(jì)算在各種方案下不確定屬性“飛機(jī)的探測(cè)敏感性Q5”和“被擊中可能性Q6”的概率分布。首先設(shè)定觀(guān)察節(jié)點(diǎn)和證據(jù)節(jié)點(diǎn)。在本例中，“飛機(jī)的探測(cè)敏感性Q5”和“被擊中可能性Q6”是觀(guān)察節(jié)點(diǎn)，飛機(jī)類(lèi)型S是決策者可控的變量，設(shè)置為證據(jù)節(jié)點(diǎn)。通過(guò)改變飛機(jī)類(lèi)型S的狀態(tài)，就可以推理計(jì)算得到在給定“飛機(jī)類(lèi)型S”的條件下“飛機(jī)的探測(cè)敏感性Q5”和“被擊中可能性Q6”的概率分布，即：

+(1-yi1)(1-yi2)yi3(1-y7)+yi1yi2(1-yi3)(1-y8)+yi1(1-yi2)

(1-yi3)(1-y9)+ (1-yi1)yi2(1-yi3)(1-y10)+(1-yi1)(1-yi2)

(1-yi3)(1-y11)

(7)

(3)集結(jié)二者求方案綜合屬性值

根據(jù)模型P3集結(jié)(1)中根據(jù)專(zhuān)家所給決策信息所得綜合屬性值區(qū)間和(2)中根據(jù)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理所得綜合屬性值表達(dá)式，求解得方案的綜合屬性值。即S1=0.55250，S2=0.64895，S3=0.61674，S4=0.60725，S5=0.65341，S6=0.52260。因此，6種類(lèi)型的飛機(jī)優(yōu)劣順序?yàn)閟5?s2?s3?s4?s1?s6，即最優(yōu)飛機(jī)是S5。

本文中方法與已有文獻(xiàn)中方法相比，其主要優(yōu)勢(shì)在于同時(shí)考慮兩種不同類(lèi)型的信息，得出的結(jié)論比考慮單一信息得到的結(jié)論更精確，更客觀(guān)。一方面，單純考慮專(zhuān)家的決策偏好信息，如劉健等[23]，用其方法對(duì)本文中算例進(jìn)行求解得到方案的排序?yàn)閟5?s2?s3?s4?s1?s6，盡管結(jié)果的最終形式一致，但現(xiàn)有方法存在信息丟失現(xiàn)象，沒(méi)有充分考慮不確定信息導(dǎo)致的結(jié)果不確定性問(wèn)題。其次，單純采用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的推理，如葉躍翔等[19]，在實(shí)際決策問(wèn)題中準(zhǔn)確地確定網(wǎng)絡(luò)中的推理概率參數(shù)相對(duì)困難，因此要利用葉躍翔等[19]方法求解本文中決策問(wèn)題必須對(duì)本文中區(qū)間數(shù)形式給出的概率推理參數(shù)采用簡(jiǎn)單的處理(取平均值等)以轉(zhuǎn)化成確定的實(shí)數(shù)，最后求解得到方案的優(yōu)劣排序?yàn)閟5?s2?s3?s4?s1?s6，排序結(jié)果雖與本文中結(jié)果一致，但s6的綜合屬性值為0.506513，但利用劉健等[23]得到的方案s6的綜合屬性值所在區(qū)間為[0.52054，0.57121]，這說(shuō)明只考慮貝葉斯網(wǎng)絡(luò)信息時(shí)得到的方案的綜合屬性值與只考慮專(zhuān)家所給偏好信息時(shí)得到的方案綜合屬性值存在不一致性，而利用本文中方法得到的s6的綜合屬性值為0.52260屬于利用葉躍翔等[19]方法得到的s6的綜合屬性值所在區(qū)間。由此，在決策過(guò)程中同時(shí)考慮兩類(lèi)信息，通過(guò)兩類(lèi)信息的相互推證得出的結(jié)果比考慮單一信息得到的結(jié)果更為精確，這是本文的創(chuàng)新工作。

4 結(jié)語(yǔ)

考慮了當(dāng)部分屬性值的概率分布為區(qū)間數(shù)時(shí)的不確定多屬性決策問(wèn)題，提出了基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)和決策矩陣兩類(lèi)信息的集結(jié)模型，能解決貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型中概率參數(shù)難以估計(jì)和多屬性決策問(wèn)題中屬性值難以準(zhǔn)確估定的情景，通過(guò)模型的計(jì)算可以得出各個(gè)方案的確定的綜合屬性值，這樣可以更準(zhǔn)確選擇最優(yōu)方案以及對(duì)方案進(jìn)行排序。下一步需要深入研究的問(wèn)題有考慮多個(gè)專(zhuān)家進(jìn)行決策的情況，以及考慮決策的動(dòng)態(tài)特性。

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