孫維瑾， 費(fèi)?？?/p>

(裝甲兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部，北京 100072)

無(wú)論是衛(wèi)星導(dǎo)航，還是現(xiàn)在正在研究中的X射線(xiàn)脈沖星導(dǎo)航(X-ray pulsar-based NAVigation, XNAV)，都是測(cè)量光波從導(dǎo)航星座(衛(wèi)星或脈沖星)到達(dá)觀測(cè)者的傳播時(shí)間，即光子到達(dá)時(shí)間(Time Of Arrive,TOA)。由于光速不變性，TOA等價(jià)于導(dǎo)航星座到觀測(cè)者的距離, 姑且將這種導(dǎo)航方法稱(chēng)作TOA定位法。從純粹廣義相對(duì)論的觀點(diǎn)來(lái)看，TOA定位法中測(cè)量的系統(tǒng)時(shí)間(如BDT或GPST)屬于坐標(biāo)時(shí)間。在考慮引力作用的情況下，坐標(biāo)時(shí)間并不滿(mǎn)足光速不變性，于是將引力對(duì)測(cè)量時(shí)間的影響(相對(duì)論效應(yīng))作為一種修正加進(jìn)去，因此TOA定位法實(shí)際上是一種半經(jīng)典理論，是經(jīng)典力學(xué)與相對(duì)論的混合體。

原則上說(shuō)，直接在相對(duì)論框架內(nèi)建立導(dǎo)航理論是完全可行的，有不少學(xué)者在這方面作了深入探討。2002年，Rovelli[1]在深入研究衛(wèi)星導(dǎo)航理論過(guò)程中，首先將相對(duì)論測(cè)量理論引入導(dǎo)航系統(tǒng)，提出GPS中的可觀測(cè)量是指固有量而并非坐標(biāo)量，認(rèn)為應(yīng)該借鑒相對(duì)論天體物理的研究方法，在4維零標(biāo)架中討論光傳播問(wèn)題，因?yàn)榱銟?biāo)架的一個(gè)明顯特性是與坐標(biāo)變換無(wú)關(guān)；Blagojevic等[2]隨后建立了一種共軛零標(biāo)架，將對(duì)應(yīng)坐標(biāo)稱(chēng)為GPS典型坐標(biāo)；Coll等[3-5]將這一方法系統(tǒng)化，提出4個(gè)發(fā)射體的固有時(shí)間構(gòu)成4維時(shí)空的光坐標(biāo)或發(fā)射坐標(biāo)，可以為任意觀測(cè)者定位導(dǎo)航；文獻(xiàn)[6-8]進(jìn)一步完善了這一理論。由此建立起來(lái)的理論體系稱(chēng)之為相對(duì)論定位系統(tǒng)(Relativistic Positioning System, RPS)，它是以相對(duì)論測(cè)量理論為基礎(chǔ)的一種全新的導(dǎo)航方法。

RPS相對(duì)于TOA定位法有一個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)，就是測(cè)量的不是坐標(biāo)時(shí)間而是發(fā)射體的固有時(shí)間，在脈沖星導(dǎo)航等深空導(dǎo)航領(lǐng)域得到實(shí)際應(yīng)用是有可能的，這里就此作一些探討。

1 相對(duì)論定位系統(tǒng)基本原理

〈xa,xa〉-2〈xa,x〉+〈x,x〉。

(1)

圖1 發(fā)射體的世界線(xiàn)與觀測(cè)者的過(guò)去光錐

以下取c=1的自然單位制。假設(shè)發(fā)射體的3維速度va為常量，則4維閔氏速度也是常量，即

(2)

積分得

(3)

(4)

時(shí)空間隔變?yōu)?/p>

(τa)2-2τa〈ua,(x-xa(0))〉+〈(x-xa(0)),(x-xa(0))〉=0。

(5)

令觀測(cè)者4維位置矢量與發(fā)射體初始位置矢量的差值為

za(x)=x-xa(0)，

(6)

則有

(τa)2-2τa〈ua,za〉+〈za,za〉=0。

(7)

由此解出

(8)

式(8)表明發(fā)射體的固有時(shí)間是觀測(cè)者坐標(biāo)的函數(shù)，即

τa=τa(zμ)，a=1,2,3,4。

進(jìn)一步將其視為一種坐標(biāo)變換，只要變換矩陣的行列式不為0，則

zμ=zμ(τa)，μ=0,1,2,3。

即觀測(cè)者坐標(biāo)也唯一地由τa所確定。因此可以將4個(gè)發(fā)射體的固有時(shí)間(τa|a=1,2,3,4)當(dāng)成觀測(cè)者坐標(biāo)，稱(chēng)之為光坐標(biāo)(light coordinates)或發(fā)射坐標(biāo)(emission coordinates)。

既然光坐標(biāo)構(gòu)成坐標(biāo)系，就應(yīng)該有相應(yīng)的標(biāo)架和度規(guī)。對(duì)式(8)求微分，可得到

(9)

(10)

不難求出度規(guī)張量的對(duì)角元素

(11)

因此光坐標(biāo){τa}構(gòu)成零標(biāo)架。

2 脈沖星導(dǎo)航的相對(duì)論定位法

上面的討論是假設(shè)發(fā)射體的3維速度va為常量，由此可見(jiàn)：應(yīng)用RPS的前提條件是導(dǎo)航星座應(yīng)該具有常速度，而X射線(xiàn)脈沖星正好具備這一條件，它在太陽(yáng)系質(zhì)心參考系(Bary Centric Reference System, BCRS)中的速度(自行)具有確定值(在短時(shí)間內(nèi)甚至可以視為靜止)。以BCRS為基準(zhǔn)對(duì)XNAV的相對(duì)論定位法進(jìn)行探討，以下在2維時(shí)空得到的結(jié)論可以很方便地推廣到4維時(shí)空。

在BCRS中引入2維Newman-Penrose標(biāo)架{ω1,ω2}及其坐標(biāo){X1,X2}={U,V}，與2維正交標(biāo)架{e0,e1}及其坐標(biāo){t,x}的關(guān)系分別為

(12)

(13)

根據(jù)式(12)和(13)，可知新標(biāo)架下的度規(guī)和線(xiàn)元分別是

(14)

dτ2=gabdXadXb=2dUdV。

(15)

由于度規(guī)的對(duì)角分量g11=g22=0，故{ω1,ω2}是零標(biāo)架。

設(shè)脈沖星a(a=1,2)在BCRS中的速度va=const，根據(jù)式(2)和(13)，可知脈沖星的閔氏速度矢量在零標(biāo)架下的分量也為常量，即

(16)

式中：

是va對(duì)應(yīng)的閔氏時(shí)空雙曲角[9]。設(shè)脈沖星的初始坐標(biāo)分別為(Ua(0),Va(0))，對(duì)式(16)進(jìn)行積分，得到它們的坐標(biāo)為

(17)

根據(jù)發(fā)射點(diǎn)(Ua,Va)與接收點(diǎn)(U,V)的時(shí)空間隔

2(U-Ua)(V-Va)=0，

(18)

解出U=Ua或V=Va。如果航天器位于2顆脈沖星之間，則接收點(diǎn)的坐標(biāo)為

(19)

式(19)也可以根據(jù)式(8)求出。將

代入式(8)，求出脈沖星a的固有時(shí)，即

τa=γa[(Δta-vaΔxa)-|vaΔta-Δxa|]，

(20)

于是得到

(21)

在式(21)中分別取a=1,2，就得到式(19)。

2維時(shí)空的相對(duì)論定位法如圖2所示，下面通過(guò)圖2作具體說(shuō)明。

圖2中：{t,x}和{U,V}分別為正交標(biāo)架和零標(biāo)架；γ、γ1、γ2分別為航天器和2顆脈沖星的世界線(xiàn)。由于脈沖星做勻速運(yùn)動(dòng)，脈沖星世界線(xiàn)是2維時(shí)空的斜直線(xiàn)，與時(shí)間軸的夾角θ=arctanv(取c=1)反映了脈沖星在BCRS中的速度，圖中顯示的是

圖2 2維時(shí)空的相對(duì)論定位法

脈沖星1和2分別沿x軸正向和負(fù)向運(yùn)動(dòng)。設(shè)初始時(shí)刻t=0時(shí)，τ1=τ2=0，2顆脈沖星的空間坐標(biāo)分別為x1(0)和x2(0)，則變換到零標(biāo)架為

脈沖星不斷沿自身的光錐發(fā)射光波，這些波矢量構(gòu)成坐標(biāo)系{U,V}的坐標(biāo)網(wǎng)格(grid)，每一條波矢量就是一條坐標(biāo)線(xiàn)，對(duì)應(yīng)于一顆脈沖星的固有時(shí)間。例如：設(shè)2顆脈沖星的固有周期分別是T1、T2，它們每隔一個(gè)周期發(fā)射一個(gè)脈沖，則圖中過(guò)P1、P2點(diǎn)的波矢量對(duì)應(yīng)的固有時(shí)分別為τ1=5.0T1，τ2=4.0T2。如果航天器位于這2條波矢量的交點(diǎn)，則它對(duì)應(yīng)的光坐標(biāo)就是(τ1,τ2)。

3 RPS定位法與TOA定位法的比較

利用坐標(biāo)變換式(13), 將式(19)變換到通常的正交系{t,x}，則有

(22)

在2顆脈沖星的速度(v1,v2)和初始位置(x1(0),x2(0))已知的情況下，航天器的時(shí)空坐標(biāo)(t,x)由光坐標(biāo)(τ1,τ2)來(lái)確定，這是相對(duì)論定位方法。

(23)

(24)

與式(22)比較，航天器的時(shí)空坐標(biāo)可表示為

(25)

如果航天器攜帶高精度原子鐘可以確定光子到達(dá)航天器的時(shí)間t，則只需測(cè)量一顆脈沖星的光子到達(dá)SSB的時(shí)間tB1或tB2，即可確定航天器的位置，即

x=tB1-t=t-tB2。

(26)

這就是不考慮引力作用情況下的TOA定位方法。

由于式(25)和(26)可從式(22)導(dǎo)出，因此在理論上RPS與TOA定位法是統(tǒng)一的；但由于測(cè)量對(duì)象不同，其在實(shí)踐中是有區(qū)別的。

TOA定位法需要已知tB，它們是指航天器接收到光脈沖的同時(shí)假想SSB接收同一脈沖的坐標(biāo)時(shí)間。在實(shí)際測(cè)量中，設(shè)航天器在某一時(shí)刻測(cè)得特定脈沖星觀測(cè)輪廓的相位是φ(t)，因?yàn)镾SB接收的脈沖星標(biāo)準(zhǔn)輪廓的固有頻率fP和初始相位φ(0)是已知量，根據(jù)Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)式可以推算出SSB的標(biāo)準(zhǔn)輪廓在任意時(shí)刻的相位，當(dāng)相位與φ(t)相同時(shí)的時(shí)間即為tB，由下式確定[10-11]：

(27)

式中：fP(k)為頻率的k階時(shí)間導(dǎo)數(shù)。由此可見(jiàn)：光子到達(dá)SSB的時(shí)間并非直接測(cè)量值，而是由某一參考時(shí)刻的標(biāo)準(zhǔn)輪廓推算出來(lái)的。

在RPS中，tB只是中間變量(或者根本不需要)。由式(24)可知：它們可由脈沖星的固有時(shí)及其初始位置來(lái)確定。而脈沖星的固有時(shí)乃是直接測(cè)量值，可以根據(jù)航天器接收的脈沖星觀測(cè)輪廓的相位φ(t)(包含整波數(shù))以及脈沖星固有周期TP直接得到，即

τ(t)=φ(t)·TP，φ(0)=0。

(28)

這就是RPS的優(yōu)越性。

4 結(jié)論

1) 相對(duì)于TOA定位法，RPS使得時(shí)間測(cè)量較為簡(jiǎn)單可靠，它只需測(cè)量觀測(cè)輪廓的相位，實(shí)際上就是計(jì)算對(duì)應(yīng)于脈沖星固有時(shí)的波數(shù)，不必以標(biāo)準(zhǔn)輪廓的周期為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并與標(biāo)準(zhǔn)輪廓進(jìn)行比較。

2) 因?yàn)镽PS測(cè)量的不是坐標(biāo)時(shí)間，在工程上不必建立嚴(yán)格的時(shí)間系統(tǒng)，但仍需建立空間系統(tǒng)，如太陽(yáng)系質(zhì)心系或地心系的空間坐標(biāo)系。

3) 在TOA定位法中，脈沖星的方向數(shù)據(jù)必須精確，而脈沖星的速度和初始距離對(duì)導(dǎo)航的影響不大。但采用RPS必須精確給出這2種參量，而天文觀測(cè)數(shù)據(jù)難以達(dá)到導(dǎo)航所需的精度，這可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)解決：如果精確測(cè)量2組數(shù)據(jù)(t,x,τ1,τ2)，根據(jù)式(22)可得到4個(gè)方程，由此即可解出2個(gè)脈沖星的速度和初始位置(v1,v2,x1(0),x2(0))。

以上討論沒(méi)有涉及引力場(chǎng)的影響，下一步將對(duì)此進(jìn)行研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] Rovelli C. GPS Observables in General Relativity[J]. Phys Rev D, 2002, 65(4):044017.

[2] Blagojevic M, Garecki J, Hehl F W ,et al. Real Null Coframes in General Relativity and GPS Type Coordinates[J]．Phys Rev D, 2002,65(4):044018.

[3] Coll B, Ferrando J, Morales J. Two-dimensional Approach to Relativistic Positioning Systems[J]. Phys Rev D,2006, 73(8)：084017.

[4] Coll B, Ferrando J, Morales J. Positioning with Stationary Emitters in a Two Dimensional Space-time[J]. Phys Rev D, 2006, 74(10):104003.

[5] Coll B, Pozo J. Relativistic Positioning Systems: the Emission Coordinates[J]. Class Quantum Grav, 2006,23(7): 7395-7416.

[6] Ruggiero M L, Tartaglia A. Mapping Cartesian Coordinates into Emission Coordinates: Some Toy Models[J]. Int J Mod Phys D, 2008,17(2):311-326.

[7] Bini D, Geralico A, Ruggiero M L，et al. Emission Versus Fermi Coordinates: Applications to Relativistic Positioning Systems[J]. Class Quantum Grav, 2008,25(20):205011.

[8] Bunandar D, Caveny S A , Matzner R A. Measuring Emission Coordinates in a Pulsar-based Relativistic Positioning System [J]. Phys Rev D, 2011, 84(10):104005.

[9] 費(fèi)保俊. 相對(duì)論與非歐幾何[M]. 北京：科學(xué)出版社，2005:77.

[10] 楊廷高，南仁東，金乘進(jìn)，等．脈沖星在空間飛行器定位中的應(yīng)用[J]. 天文學(xué)進(jìn)展，2007, 25(3): 249-261.

[11] 費(fèi)保俊，姚國(guó)政，杜健，等．X射線(xiàn)脈沖星自主導(dǎo)航的脈沖輪廓和聯(lián)合觀測(cè)方程[J]．中國(guó)科學(xué): 物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)，2010，40(5): 644-650.