溫爭鳴，胡于進

（華中科技大學機械科學與工程學院，湖北 武漢430074）

0 引言

自由界面模態(tài)綜合法是復(fù)雜系統(tǒng)動力學分析的最有效的方法之一［1－2］。但是，該方法完全忽略了高階截斷模態(tài)的影響，結(jié)果的收斂性和精度均較差。因此，一些研究者［3－5］通過研究，形成了目前常用的雙協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法。

雖然自由界面法在工程中已有了廣泛的應(yīng)用，但是這些應(yīng)用大都僅僅針對某一工程實例?；陔p協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法［6－7］開發(fā)通用性的求解系統(tǒng)，為自由界面模態(tài)綜合法在工程中的應(yīng)用提供有效工具。

1 雙協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法

1.1 子結(jié)構(gòu)降階

將復(fù)雜系統(tǒng)按照其特點劃分為若干個子結(jié)構(gòu)，選取其中任一子結(jié)構(gòu)為例來介紹子結(jié)構(gòu)的降階。設(shè)該子結(jié)構(gòu)的無阻尼動力學方程為：

按照界面自由度和非界面自由度對上式進行分塊，得：

下標i和j分別表示結(jié)構(gòu)的非界面自由度和界面自由度；fj為邊界作用力。因為子結(jié)構(gòu)作自由振動，所以非界面力為零。

由式（1）和式（2）可得：

B為布爾矩陣，表征了界面自由度在總體自由度中的位置。

求解式（1）可得子結(jié)構(gòu)的正則化模態(tài)φr，取前k階作為子結(jié)構(gòu)的保留主模態(tài)φk。設(shè)子結(jié)構(gòu)的高階假設(shè)模態(tài)為Ψd，即

將子結(jié)構(gòu)的保留模態(tài)集和剩余模態(tài)集組裝成假設(shè)模態(tài)矩陣為：

利用假設(shè)模態(tài)矩陣，將子結(jié)構(gòu)的物理坐標x轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標p，即

pk為選擇的低階保留主坐標；fj為界面力，這里將其作為一組廣義坐標。式（6）即為模態(tài)綜合的第1次坐標變換。將式（6）代入式（1），得子結(jié)構(gòu)在模態(tài)坐標下的動力學方程為：

1.2 綜合求解

不失一般性，以2個子結(jié)構(gòu)（α和β）為例進行綜合。對子結(jié)構(gòu)分別建立模態(tài)坐標下的動力學方程，并聯(lián)立起來，得到系統(tǒng)的自由振動方程為：

假設(shè)子結(jié)構(gòu)α和β間只有1個對接界面。引入面力平衡條件αfj＝－βfj，得：

再利用對接面位移協(xié)調(diào)αxj＝βxj進行裝配。聯(lián)立式（6），將界面力fj表示為保留模態(tài)坐標pk的函數(shù)形式為：

因此，有

L1＝αΨjd＋βΨjd；L2＝［－αφikβφik］。聯(lián)立式（9）和式（11）得：

T＝T1T2；q＝［αpLβpL］T。利用式（12），對式（8）進行坐標變換，從而建立解耦后的系統(tǒng)動力學方程為：

求解式（13）可得到系統(tǒng)的固有頻率以及系統(tǒng)在廣義坐標q下的振型，結(jié)合式（6）和式（12）可將結(jié)果返回到物理坐標上。例如對于子結(jié)構(gòu)α，有：

αB＝［αIβ0］，它表征了子結(jié)構(gòu)α 的模態(tài)坐標αp在p中的位置。

2 剛體模態(tài)及彈性連接的處理

對于有剛體模態(tài)的自由子結(jié)構(gòu)而言，其剛度陣是奇異矩陣，無法運用式（4）計算剩余柔度。對于這種情況，可以利用移頻法［8］來消除子結(jié)構(gòu)剛度陣的奇異性，仍然采用子結(jié)構(gòu)的剩余模態(tài)來近似高階截斷模態(tài)。移頻法的基本公式為：

子結(jié)構(gòu)的綜合需要將邊界位移協(xié)調(diào)作為條件來建立第2次坐標變換的轉(zhuǎn)換矩陣。這種假設(shè)對于子結(jié)構(gòu)間完全固連的情況較為符合，但是對于連接比較薄弱、變形不連續(xù)以及存在連接部件的結(jié)構(gòu)，則不能很好地進行分析。連接子結(jié)構(gòu)的引入可以很好地解決這方面的問題。

連接子結(jié)構(gòu)的基本特征［9］為：僅存在界面自由度而無非界面自由度，所有界面自由度又同時與相鄰的模態(tài)子結(jié)構(gòu)所共有。其基本特性決定了它的坐標變換矩陣僅僅依賴于相鄰子結(jié)構(gòu)模態(tài)矩陣中對應(yīng)于界面自由度的子矩陣，而無法生成獨立的廣義坐標。設(shè)連接子結(jié)構(gòu)的坐標變換矩陣為：

cφ為連接子結(jié)構(gòu)的變換矩陣；αΨjd為α子結(jié)構(gòu)模態(tài)矩陣對應(yīng)于界面自由度的子矩陣；βΨjd為β子結(jié)構(gòu)模態(tài)矩陣對應(yīng)于界面自由度的子矩陣。

3 求解系統(tǒng)的實現(xiàn)流程

3.1 輸入模塊

輸入模塊的主要工作是通過收集子結(jié)構(gòu)的模型數(shù)據(jù)、連接集數(shù)以及求解參數(shù)來定義模態(tài)綜合實例。

子結(jié)構(gòu)的模型數(shù)據(jù)含義：第1部分是指子結(jié)構(gòu)的節(jié)點和單元數(shù)據(jù)，用于實現(xiàn)子結(jié)構(gòu)的顯示；第2部分是指子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及低階模態(tài)，用于實現(xiàn)子結(jié)構(gòu)的降階。系統(tǒng)通過文件預(yù)處理將bdf文件轉(zhuǎn)換成mdl文件以讀取子結(jié)構(gòu)的有限元模型，子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣、剛度陣和模態(tài)矩陣則可以通過Nastran的SOL103序列（模態(tài)分析求解序列）獲得。因此，對于理論模型，必須提供子結(jié)構(gòu)的bdf文件，若提供的是其他格式的模型文件，則需要通過相應(yīng)的軟件轉(zhuǎn)換為bdf文件格式。

連接集數(shù)據(jù)是指子結(jié)構(gòu)之間相互連接的自由度集合以及連接屬性。自由度集合包含連接節(jié)點編號以及自由度號。連接屬性則分為剛性連接和彈性連接，對于彈性連接需要定義各個連接自由度之間的等效剛度，為連接子結(jié)構(gòu)的定義提供必要的數(shù)據(jù)。

求解參數(shù)主要包括：各個子結(jié)構(gòu)的保留模態(tài)階數(shù)（各子結(jié)構(gòu)的保留模態(tài)數(shù)可以不同）、移頻量和綜合結(jié)果的計算階數(shù)。

3.2 子結(jié)構(gòu)降階模塊

子結(jié)構(gòu)降階模塊的作用是處理輸入模塊讀入的信息，為之后的綜合求解準備必要的數(shù)據(jù)。其中，子結(jié)構(gòu)預(yù)處理是在子結(jié)構(gòu)與子結(jié)構(gòu)、子結(jié)構(gòu)與連接集之間建立對應(yīng)關(guān)系，并為第2次坐標變換矩陣的子矩陣T1的生成做準備。子結(jié)構(gòu)降階則是以子結(jié)構(gòu)的bdf文件為基礎(chǔ)，通過USET1命令將相應(yīng)的連接集信息寫入bdf文件，然后利用DMAP語言結(jié)合求解參數(shù)修改SL103序列以實現(xiàn)子結(jié)構(gòu)的降階，具體的DMAP實現(xiàn)流程如圖1所示。

首先，通過MODUSET模塊將子結(jié)構(gòu)的分析自由度集劃分為界面自由度集和非界面自由度集，然后分別利用UPARTN和MERGE，將子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和剛度陣和模態(tài)矩陣按照不同的自由度集進行分塊和再組裝。對于有剛體模態(tài)的子結(jié)構(gòu)，需要使用ADD模塊完成移頻處理，以消除剛度矩陣的奇異性。在完成系統(tǒng)矩陣的處理后，利用PARTN模塊截取保留主模態(tài)，然后運用SMPYAD，SOLVE和ADD模塊求出剩余模態(tài)矩陣，再通過MERGE模塊將保留主模態(tài)和剩余模態(tài)組裝成假設(shè)模態(tài)矩陣。最后，利用SMPYAD模塊求出子結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量陣和模態(tài)剛度陣，并通過OUTPUT4模塊將模態(tài)質(zhì)量陣和模態(tài)剛度陣以及假設(shè)模態(tài)矩陣輸出到op4文件。

圖1 子結(jié)構(gòu)降階流程

對于存在柔性連接的綜合實例，需要通過連接子結(jié)構(gòu)模塊來構(gòu)造連接子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和剛度陣。這一過程在VC＋＋程序中完成，并未涉及DMAP程序，故在此不作詳細介紹。

3.3 綜合求解模塊

綜合求解模塊以SOL100序列為基礎(chǔ)，自定義一個新的求解序列，它的輸入包括各個子結(jié)構(gòu)的輸出、連接子結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)矩陣以及第2次坐標變換矩陣的子矩陣T1矩陣。綜合求解模塊的DMAP流程如圖2所示。

通過INPUTT4模塊將各個子結(jié)構(gòu)輸出到op4文件中的模態(tài)質(zhì)量陣、模態(tài)剛度陣以及假設(shè)模態(tài)矩陣，并讀入到求解序列中，T1矩陣的讀入則是由DMIIN模塊完成。利用ADD模塊和MERGE模塊分別將求出L1矩陣和L2矩陣，并通過SOLVE模塊和MERGE模塊構(gòu)造T2矩陣。使用MPYAD模塊將T1和T2相乘得到模態(tài)綜合第2次坐標變換的變換矩陣T矩陣。得到T矩陣后，利用SMPYAD對綜合系統(tǒng)的質(zhì)量陣和剛度陣進行坐標變換，并用READ模塊求出綜合系統(tǒng)的特征值、固有頻率和振型。最后使用MPYAD模塊，將綜合系統(tǒng)的振型轉(zhuǎn)化成子結(jié)構(gòu)在物理坐標下的振型，并利用MATPCH模塊將結(jié)果輸出到相應(yīng)子結(jié)構(gòu)的pch文件中。綜合系統(tǒng)的特征值和固有頻率頻率則通過OFP模塊輸出到f06文件中。綜合求解結(jié)束后，通過后處理模塊將綜合求解模塊輸出的固有頻率和振型讀取到內(nèi)存中，并為每個子結(jié)構(gòu)生成相應(yīng)rsl文件，以便系統(tǒng)進行讀取和顯示。

所開發(fā)的自由界面模態(tài)綜合法求解系統(tǒng)是以實驗室所開發(fā)的混合建模求解系統(tǒng)為基礎(chǔ)，該系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)以及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)見參考文獻［10－12］。

圖2 綜合求解流程

4 算例驗證

4.1 浮筏裝置

圖3所示為1個浮筏裝置的簡化機構(gòu)。其中，m1和m2表示被隔振機械，質(zhì)量分別為：m1＝200 kg，m2＝250kg，筏架和基座的尺寸分別為：1 200 mm×800mm×20mm和2 000mm×800mm×40 mm?；膬啥踢吋s束、兩長邊自由，而筏架的四邊均自由。筏架和基座的材料參數(shù)為：E＝2.0×1011N／m2，ρ＝7 800kg／m3，μ＝0.3。m1和 m2分別通過1個彈簧和阻尼器與筏架相連，筏架通過8個彈簧固定在基座上。將其劃分為基座和筏架（含機器）2個子結(jié)構(gòu)?；c筏架之間的彈簧作為連接子結(jié)構(gòu)，連接子結(jié)構(gòu)的彈簧剛度為k2＝500N／m。基座與筏架之間的彈簧僅存在Y方向的自由度，因此，僅需設(shè)置Y方向的連接自由度。又因為子結(jié)構(gòu)2包含有剛體模態(tài)，因此，需要對子結(jié)構(gòu)做移頻處理，移頻量設(shè)為1。

圖3 浮筏裝置結(jié)構(gòu)

每個子結(jié)構(gòu)選取保留模態(tài)為13階（包含3階剛體模態(tài)）。將模態(tài)綜合計算結(jié)果中的前5階彈性頻率與Nastran整體計算的前5階彈性頻率進行比較，比較結(jié)果如表1所示。對比結(jié)果表明，系統(tǒng)對彈性連接子結(jié)構(gòu)的綜合計算結(jié)果能滿足工程要求。

表1 浮筏裝置模態(tài)綜合彈性頻率對比

4.2 多子結(jié)構(gòu)及剛性連接驗證

以一個飛機模型為例來驗證多個子結(jié)構(gòu)件剛性相接的綜合計算。將其劃分為3個子結(jié)構(gòu)，即機身和2個機翼。飛機模型子結(jié)構(gòu)組裝后的整體模型包含19 191個殼單元，18 930個節(jié)點，材料參數(shù)為：E＝2.0×109N／m2，ρ＝1 750kg／m3，μ＝0.3。子結(jié)構(gòu)之間為剛性連接，每個子結(jié)構(gòu)均取16階保留模態(tài)（包括6階剛體模態(tài)）參與綜合，連接自由度為全部6個自由度，移頻量設(shè)為1。表2為綜合分析與整體分析的前5階彈性頻率的對比結(jié)果。對比結(jié)果表明，該系統(tǒng)對剛性連接子結(jié)構(gòu)的綜合計算結(jié)果能夠滿足工程要求。

表2 飛機模型模態(tài)綜合彈性頻率對比

5 結(jié)束語

基于求解功能強大的Nastran求解器和DMAP語言，結(jié)合雙協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法，開發(fā)了面向工程應(yīng)用的自由界面模態(tài)綜合求解系統(tǒng)，設(shè)計并實現(xiàn)了相應(yīng)的功能模塊。從算例可以看出，該求解系統(tǒng)綜合計算的結(jié)果與整體有限元分析的結(jié)果相比，有較高的計算精度，能夠滿足工程實際的要求。

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