李源

摘 要：在時(shí)域內(nèi)基于熱不可逆原理建立了直升機(jī)粘彈減擺器的模型。通過模型參數(shù)繪制出粘彈減擺器在受剪力作用時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了粒子群優(yōu)化計(jì)算。結(jié)果表明：所建立的模型能夠很好地反映粘彈減擺器的非線性特性，通過粒子群優(yōu)化算法求解的模型參數(shù)使剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線的總體誤差更小，更能反映實(shí)際的變化關(guān)系。

關(guān)鍵詞：粘彈減擺器；非線性模型；粒子群優(yōu)化；參數(shù)優(yōu)化

1 粘彈減擺器

1.1 主要作用及結(jié)構(gòu)形式

直升機(jī)動(dòng)力學(xué)問題一直是限制直升機(jī)發(fā)展的主要問題，而動(dòng)力學(xué)問題又可以分為兩大類，即直升機(jī)動(dòng)穩(wěn)定性問題和直升機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題。在動(dòng)穩(wěn)定性問題中，“地面共振”和“空中共振”問題一直是人們關(guān)注的焦點(diǎn)，該問題一旦出現(xiàn)就會(huì)釀成災(zāi)難性的事故，而粘彈減擺器作為直升機(jī)旋翼槳轂部分的重要零部件，能夠?yàn)橹鄙龣C(jī)槳葉的擺振運(yùn)動(dòng)提供足夠的剛度和阻尼，用來抑制直升機(jī)的“地面共振”和“空中共振”，從而提高直升機(jī)的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性。

粘彈減擺器一般由硅橡膠和鋼板形成的層壓結(jié)構(gòu)構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)形式很多，一般有以下三種形式：板式粘彈減擺器、筒式粘彈減擺器和多層疊加式粘彈阻尼器，如圖1所示。

（a）板式粘彈減擺器 （b）筒式粘彈減擺器

（C）多層疊加式粘彈減擺器

圖1 粘彈減擺器的三種結(jié)構(gòu)形式

1.2時(shí)域模型

E.C.Smith等人基于熱不可逆原理在時(shí)域內(nèi)建立了線性滯彈位移場（Anelastic displacement field，ADF）材料模型，該模型是通過在無彈位移場將非線性彈簧和非線性Kelvin元件串聯(lián)而成，其單滯彈位移場的材料本構(gòu)關(guān)系如下：

（1）

（2）

式中，？滓和？著分別是材料的總應(yīng)力和總應(yīng)變，？滓i和？著i分別是第i個(gè)滯彈性位移場的應(yīng)力和應(yīng)變，？滓■■和？著■■分別是第i個(gè)滯彈性位移場的滯彈性應(yīng)力和滯彈性應(yīng)變，N是滯彈性場的個(gè)數(shù)，Gu是材料的剪切模量，？贅i是第i個(gè)滯彈性場的松弛時(shí)間，ci是第i個(gè)滯彈性位移場與彈性位移場間的耦合系數(shù)。

當(dāng)N=1時(shí)，廣義的線性ADF模型就變成單層ADF模型，該問題可以簡化成一個(gè)一維剪切問題，？著表示橫截面位移場的總位移，？著A表示滯彈位移場部分的位移，此時(shí)，就是用一個(gè)單層的ADF來建立滯彈性位移場的模型。如圖2所示：一個(gè)阻尼器和一個(gè)與其平行的彈性元件共同構(gòu)成一個(gè)Kelvin元件，再與一個(gè)彈性元件串聯(lián)構(gòu)成廣義的Maxwell模型。

現(xiàn)有的非線性粘彈性材料模型都是在線性單層ADF模型的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，如圖3所示，圖中穿越彈簧元件和阻尼元件的箭頭表示它們是非線性的，此時(shí)彈性元件和Kelvin模塊都具有非線性力學(xué)特性。

2 模型參數(shù)識(shí)別和驗(yàn)證

2.1 模型參數(shù)識(shí)別

首先要確定出現(xiàn)在非線性ADF模型中的特征函數(shù)f、g和h，這三個(gè)特征函數(shù)是用來描述材料在受到各種變化力時(shí)的行為，這部分主要用來合成非線性ADF模型的參數(shù)。對(duì)于這三個(gè)未知的特征函數(shù)的方程形式，我們用Ku、Ka和d來表示，方程形式的選取加以修改如下：

（8）

（9）

（10）

（11）

在上述方程形式中，保留了基礎(chǔ)的低幅值線性材料特征，常數(shù)ku1、ka1和kd1分別相當(dāng)于線性ADF模型中的參數(shù)Gu、c和？贅。模型中的參數(shù)可以通過非線性減擺器動(dòng)態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)來識(shí)別，識(shí)別出來的數(shù)據(jù)是力信號(hào)和位移信號(hào)，而模型的參數(shù)關(guān)系是關(guān)于應(yīng)力和應(yīng)變的，因此需要把力和位移的信號(hào)轉(zhuǎn)化為應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，其對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

（12）

（13）

于是式（8～11）中的系數(shù)可以通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，首先對(duì)于第i時(shí)刻的應(yīng)變值？著i，可根據(jù)式3求得相應(yīng)的應(yīng)力值？滓i，然后得到各時(shí)刻的模型預(yù)測值，對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化處理，就可以得到模型參數(shù)。

2.2 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證該粘彈減擺器的非線性ADF模型的正確性，下面將模型參數(shù)理論值和實(shí)際試驗(yàn)[8]數(shù)據(jù)通過應(yīng)力應(yīng)變曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示，該圖是在無預(yù)偏置下粘彈減擺器模型理論值和實(shí)驗(yàn)值的數(shù)據(jù)對(duì)比，圖中離散點(diǎn)是在4Hz簡諧激振力作用下所測出的剪切位移為1cm的試驗(yàn)值，光滑曲線是通過非線性ADF模型識(shí)別出來的參數(shù)所繪制的應(yīng)力應(yīng)變滯遲回線。從圖中可以直觀地看出試驗(yàn)值和理論值吻合良好，該非線性ADF模型較理想地表現(xiàn)出粘彈性材料的非線性特性。

3 模型參數(shù)的粒子群優(yōu)化計(jì)算

從模型驗(yàn)證的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線可以看到，根據(jù)非線性ADF模型繪出的關(guān)系曲線與實(shí)驗(yàn)值基本一致，但是在中間部分區(qū)域與實(shí)驗(yàn)值還是存在一些出入，為了更精確地反映出實(shí)際工作中粘彈減擺器的應(yīng)力應(yīng)變遲滯回線的特性，減少理論計(jì)算和實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差，下面將通過粒子群優(yōu)化算法來對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，并將通過優(yōu)化計(jì)算的結(jié)果繪制出的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線計(jì)算所得的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得的頻率在4Hz時(shí)的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線如圖5所示：

通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行粒子群優(yōu)化計(jì)算，首先計(jì)算幅值為0.1cm，頻率為4Hz時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線，如圖5中最里面的曲線，在圖上獲取一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，根據(jù)非線性ADF模型和式（8～11）用粒子群優(yōu)化算法來計(jì)算參數(shù)ku1，ku2，ku3，ku4和ka1的值，選取五維的空間，學(xué)習(xí)因子c1=2，c2=2，慣性權(quán)重w=0.8，最大迭代次數(shù)為3000，初始化群體個(gè)體數(shù)目為30，通過MATLAB編程計(jì)算所得的優(yōu)化參數(shù)結(jié)果如下：

ku1=1.309 ku2=-2.254 ku3=2.184 ku4=3.151 ka1=0.012

計(jì)算所得的優(yōu)化極值為0.651，滿足優(yōu)化極值要求。endprint

根據(jù)所計(jì)算的參數(shù)值描繪出剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線如圖6所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計(jì)算的曲線相對(duì)比如圖7所示：

由圖7可見，使用粒子優(yōu)化算法計(jì)算所得的結(jié)果和使用一般算法所得的結(jié)果很相近，這是因?yàn)楫?dāng)幅值較小時(shí)，阻尼較小，粘彈減擺器非線性材料的動(dòng)力學(xué)特性無法體現(xiàn)出來，幅值越小，材料的特性越接近線性，所以使用粒子優(yōu)化算法和一般算法所得的結(jié)果差異不大，當(dāng)幅值足夠小時(shí)，兩者的計(jì)算結(jié)果接近重合。

下面將根據(jù)粒子群優(yōu)化算法來計(jì)算幅值為0.5cm，頻率為4Hz時(shí)的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線，如圖5中中間的曲線，同樣在圖上獲取一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，用粒子群優(yōu)化算法通過MATLAB編程，計(jì)算所得的優(yōu)化參數(shù)結(jié)果如下：

ku1=0.866 ku2=-4.771 ku3=6.148 ku4=8.836 ka1=0.016

計(jì)算所得的優(yōu)化極值為0.946，滿足優(yōu)化極值要求。

根據(jù)所計(jì)算的參數(shù)值描繪出剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線如圖8所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計(jì)算的曲線相對(duì)比如圖9所示：

從圖9中可以看出，使用粒子群優(yōu)化算法計(jì)算所繪制出的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線與實(shí)驗(yàn)所得曲線誤差很小，幾乎重合一致，使用一般計(jì)算方法所得的曲線雖然也能較好地反應(yīng)粘彈性材料的遲滯特性，但是在曲線擬合上還是存在一定的誤差，沒有使用粒子群優(yōu)化算法計(jì)算所得的結(jié)果精確。

根據(jù)所計(jì)算的參數(shù)值描繪出剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線如圖10所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計(jì)算的曲線相對(duì)比如圖11所示：

從圖11可以看出，使用一般計(jì)算方法所得出的曲線在中間部分與原實(shí)驗(yàn)曲線存在一定的誤差，雖然也能較好地體現(xiàn)出非線性材料的遲滯特性，但是誤差較大；而使用粒子群優(yōu)化算法計(jì)算得出的曲線在中間90%的部分幾乎與原實(shí)驗(yàn)曲線重合，兩者之間的誤差很小，可以說與原實(shí)驗(yàn)曲線是相一致的；但在實(shí)驗(yàn)兩端，兩種計(jì)算方法所得到的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線都不可避免的存在一定的誤差，這可能是由曲線兩端趨勢的突變引起的。

4 結(jié)束語

根據(jù)粘彈減擺器非線性ADF模型，用粒子群優(yōu)化算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算。優(yōu)化計(jì)算的模型參數(shù)不僅能夠反應(yīng)幅值較小時(shí)的實(shí)驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線關(guān)系，當(dāng)幅值變大時(shí)仍能夠很好的與實(shí)驗(yàn)曲線相一致，較一般計(jì)算方法更為精確，可見所采用的粒子群優(yōu)化算法合理，且優(yōu)化方法有效可行。因此通過粒子群優(yōu)化算法計(jì)算的模型參數(shù)具有更廣的適用范圍，可以用來計(jì)算有靜位移作用下的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系等。endprint

根據(jù)所計(jì)算的參數(shù)值描繪出剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線如圖6所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計(jì)算的曲線相對(duì)比如圖7所示：

由圖7可見，使用粒子優(yōu)化算法計(jì)算所得的結(jié)果和使用一般算法所得的結(jié)果很相近，這是因?yàn)楫?dāng)幅值較小時(shí)，阻尼較小，粘彈減擺器非線性材料的動(dòng)力學(xué)特性無法體現(xiàn)出來，幅值越小，材料的特性越接近線性，所以使用粒子優(yōu)化算法和一般算法所得的結(jié)果差異不大，當(dāng)幅值足夠小時(shí)，兩者的計(jì)算結(jié)果接近重合。

下面將根據(jù)粒子群優(yōu)化算法來計(jì)算幅值為0.5cm，頻率為4Hz時(shí)的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線，如圖5中中間的曲線，同樣在圖上獲取一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，用粒子群優(yōu)化算法通過MATLAB編程，計(jì)算所得的優(yōu)化參數(shù)結(jié)果如下：

ku1=0.866 ku2=-4.771 ku3=6.148 ku4=8.836 ka1=0.016

計(jì)算所得的優(yōu)化極值為0.946，滿足優(yōu)化極值要求。

根據(jù)所計(jì)算的參數(shù)值描繪出剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線如圖8所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計(jì)算的曲線相對(duì)比如圖9所示：

從圖9中可以看出，使用粒子群優(yōu)化算法計(jì)算所繪制出的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線與實(shí)驗(yàn)所得曲線誤差很小，幾乎重合一致，使用一般計(jì)算方法所得的曲線雖然也能較好地反應(yīng)粘彈性材料的遲滯特性，但是在曲線擬合上還是存在一定的誤差，沒有使用粒子群優(yōu)化算法計(jì)算所得的結(jié)果精確。

根據(jù)所計(jì)算的參數(shù)值描繪出剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線如圖10所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計(jì)算的曲線相對(duì)比如圖11所示：

從圖11可以看出，使用一般計(jì)算方法所得出的曲線在中間部分與原實(shí)驗(yàn)曲線存在一定的誤差，雖然也能較好地體現(xiàn)出非線性材料的遲滯特性，但是誤差較大；而使用粒子群優(yōu)化算法計(jì)算得出的曲線在中間90%的部分幾乎與原實(shí)驗(yàn)曲線重合，兩者之間的誤差很小，可以說與原實(shí)驗(yàn)曲線是相一致的；但在實(shí)驗(yàn)兩端，兩種計(jì)算方法所得到的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線都不可避免的存在一定的誤差，這可能是由曲線兩端趨勢的突變引起的。

4 結(jié)束語

根據(jù)粘彈減擺器非線性ADF模型，用粒子群優(yōu)化算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算。優(yōu)化計(jì)算的模型參數(shù)不僅能夠反應(yīng)幅值較小時(shí)的實(shí)驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線關(guān)系，當(dāng)幅值變大時(shí)仍能夠很好的與實(shí)驗(yàn)曲線相一致，較一般計(jì)算方法更為精確，可見所采用的粒子群優(yōu)化算法合理，且優(yōu)化方法有效可行。因此通過粒子群優(yōu)化算法計(jì)算的模型參數(shù)具有更廣的適用范圍，可以用來計(jì)算有靜位移作用下的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系等。endprint

根據(jù)所計(jì)算的參數(shù)值描繪出剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線如圖6所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計(jì)算的曲線相對(duì)比如圖7所示：

由圖7可見，使用粒子優(yōu)化算法計(jì)算所得的結(jié)果和使用一般算法所得的結(jié)果很相近，這是因?yàn)楫?dāng)幅值較小時(shí)，阻尼較小，粘彈減擺器非線性材料的動(dòng)力學(xué)特性無法體現(xiàn)出來，幅值越小，材料的特性越接近線性，所以使用粒子優(yōu)化算法和一般算法所得的結(jié)果差異不大，當(dāng)幅值足夠小時(shí)，兩者的計(jì)算結(jié)果接近重合。

下面將根據(jù)粒子群優(yōu)化算法來計(jì)算幅值為0.5cm，頻率為4Hz時(shí)的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線，如圖5中中間的曲線，同樣在圖上獲取一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，用粒子群優(yōu)化算法通過MATLAB編程，計(jì)算所得的優(yōu)化參數(shù)結(jié)果如下：

ku1=0.866 ku2=-4.771 ku3=6.148 ku4=8.836 ka1=0.016

計(jì)算所得的優(yōu)化極值為0.946，滿足優(yōu)化極值要求。

根據(jù)所計(jì)算的參數(shù)值描繪出剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線如圖8所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計(jì)算的曲線相對(duì)比如圖9所示：

從圖9中可以看出，使用粒子群優(yōu)化算法計(jì)算所繪制出的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線與實(shí)驗(yàn)所得曲線誤差很小，幾乎重合一致，使用一般計(jì)算方法所得的曲線雖然也能較好地反應(yīng)粘彈性材料的遲滯特性，但是在曲線擬合上還是存在一定的誤差，沒有使用粒子群優(yōu)化算法計(jì)算所得的結(jié)果精確。

根據(jù)所計(jì)算的參數(shù)值描繪出剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線如圖10所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計(jì)算的曲線相對(duì)比如圖11所示：

從圖11可以看出，使用一般計(jì)算方法所得出的曲線在中間部分與原實(shí)驗(yàn)曲線存在一定的誤差，雖然也能較好地體現(xiàn)出非線性材料的遲滯特性，但是誤差較大；而使用粒子群優(yōu)化算法計(jì)算得出的曲線在中間90%的部分幾乎與原實(shí)驗(yàn)曲線重合，兩者之間的誤差很小，可以說與原實(shí)驗(yàn)曲線是相一致的；但在實(shí)驗(yàn)兩端，兩種計(jì)算方法所得到的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線都不可避免的存在一定的誤差，這可能是由曲線兩端趨勢的突變引起的。

4 結(jié)束語

根據(jù)粘彈減擺器非線性ADF模型，用粒子群優(yōu)化算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算。優(yōu)化計(jì)算的模型參數(shù)不僅能夠反應(yīng)幅值較小時(shí)的實(shí)驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線關(guān)系，當(dāng)幅值變大時(shí)仍能夠很好的與實(shí)驗(yàn)曲線相一致，較一般計(jì)算方法更為精確，可見所采用的粒子群優(yōu)化算法合理，且優(yōu)化方法有效可行。因此通過粒子群優(yōu)化算法計(jì)算的模型參數(shù)具有更廣的適用范圍，可以用來計(jì)算有靜位移作用下的剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系等。endprint