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      一種遞歸π演算向Petri網(wǎng)的轉(zhuǎn)換方法

      2014-04-12 00:32:08張雙雙
      關(guān)鍵詞:持有者庫所等價

      康 輝,張雙雙,2,梅 芳

      (1.吉林大學(xué),計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,長春130012;2.吉林信息安全測評中心,長春130062)

      隨著面向服務(wù)的計(jì)算(Service-oriented computing SOC/Service-oriented architecture,SOA)技術(shù)[1]和業(yè)務(wù)流程管理(Business process management,BPM)技術(shù)[2]的廣泛應(yīng)用以及對軟件可信性要求越來越高,很多學(xué)者用π演算和Petri網(wǎng)作為服務(wù)組合和業(yè)務(wù)流程技術(shù)的理論基礎(chǔ)。π演算用來描述拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)動態(tài)變化的并發(fā)系統(tǒng),通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法,對系統(tǒng)的屬性和行為進(jìn)行分析。但是π演算[3-7]的進(jìn)程表達(dá)式比較繁瑣,不能形象地反應(yīng)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)信息,不能刻畫系統(tǒng)的真并發(fā)行為,而且從系統(tǒng)驗(yàn)證角度來看,其支持工具少,僅有MVB和HAL等幾種自動驗(yàn)證工具,這樣給后續(xù)的形式化驗(yàn)證帶來了困難。Petri網(wǎng)[8-9]是一種形式化圖形驗(yàn)證工具,它側(cè)重于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)描述和性質(zhì)分析,并且能有效地刻畫系統(tǒng)真正的并發(fā)語義。它是一種可用網(wǎng)狀圖形表示的系統(tǒng)模型[10-11],適合描述異步、并發(fā)、分布式的系統(tǒng),既可用于靜態(tài)的結(jié)構(gòu)分析,又可用于動態(tài)的行為分析。

      由于π演算存在固有缺陷,很多學(xué)者已經(jīng)在將π演算向Petri網(wǎng)轉(zhuǎn)換這方面做了很多研究[12-13],例如Raymond Devillers[12]等人已經(jīng)提出了其轉(zhuǎn)換的一般方法。但是對于π演算中遞歸結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換,目前仍然空白。在π演算中,對遞歸的表達(dá)是其基本的語義,較為簡單;而在一般Petri網(wǎng)中,對遞歸的描述非常困難。實(shí)際應(yīng)用π演算時遞歸結(jié)構(gòu)經(jīng)常出現(xiàn),因此,本文給出了一種π演算中遞歸結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為Petri網(wǎng)的方法。

      1 基本概念及轉(zhuǎn)換規(guī)則

      1.1 基本概念

      關(guān)于π演算的基本概念,在文獻(xiàn)[3]中已有詳細(xì)介紹在此不再贅述。在給出π演算中遞歸表達(dá)式基本形式之前,先看一個例子:

      式(1)中每個通道a、b、c、…中都保存著一個數(shù)值h′(這個數(shù)值可以不一樣),從已知通道a開始,讀取通道內(nèi)當(dāng)前值h′加到現(xiàn)有的值上,直到得到的h值大于10時可以選擇執(zhí)行輸出該值。這樣,從a開始到輸出h時所有計(jì)算過的通道即是該get函數(shù)的路徑。

      在式(1)中,既有自調(diào)用的算子,又有非自調(diào)用的算子,并且有選擇運(yùn)算符“+”將兩個進(jìn)程相連。在不滿足遞歸出口條件時,多次執(zhí)行前綴算子ab獲取下一個通道,并執(zhí)行計(jì)算h值操作。當(dāng)滿足遞歸出口條件時,可以選擇繼續(xù)自調(diào)用,也可以終止調(diào)用過程。

      本文給出了一種一般π演算的遞歸表達(dá)式的基本形式:

      當(dāng)然,在一些表達(dá)式中也會出現(xiàn)有多個自調(diào)用表達(dá)式的形式,比如:

      在式(3)至式(5)中,均有兩次自調(diào)用,雖然在轉(zhuǎn)換時與式(2)有點(diǎn)不同,但基本轉(zhuǎn)換思路大致相同。為了方便描述轉(zhuǎn)換過程,在本文中,以式(2)這種遞歸形式為例。

      為了更好地記錄遞歸運(yùn)算的層次,本文引入軌跡的概念。通常,軌跡一般用來指進(jìn)程P所依次執(zhí)行的一系列活動,一般用〈action1,action2…〉表示。

      定義1 軌跡:π演算遞歸結(jié)構(gòu)執(zhí)行時,為了記錄遞歸運(yùn)算的層次,我們將遞歸調(diào)用的順序稱為軌跡,用字母trail表示。調(diào)用一次用σ1表示,調(diào)用第二次用σ2表示,以此類推,調(diào)用第n次用σn表示,則進(jìn)程中遞歸結(jié)構(gòu)執(zhí)行的軌跡trail=〈σ1,σ2,…,σn〉。

      定義2 逆軌跡:與軌跡相應(yīng)地,在遞歸返回時其軌跡稱為逆軌跡,記為trail-1,上述遞歸返回的逆軌跡即為trail-1=〈σn,σn-1,…,σ1〉。

      在本文中,π演算進(jìn)程P轉(zhuǎn)換而成的Petri網(wǎng)記為NP,NP是一個有向連通圖,其節(jié)點(diǎn)分別稱為庫所和變遷。這些節(jié)點(diǎn)通過有向弧相連。相同類型的兩個節(jié)點(diǎn)之間是不允許相連的。

      1.2 轉(zhuǎn)換規(guī)則

      遞歸π演算向Petri網(wǎng)轉(zhuǎn)換要遵循一些轉(zhuǎn)換規(guī)則,在本文中將這些規(guī)則概括為兩類:基本進(jìn)程的轉(zhuǎn)換規(guī)則以及組合規(guī)則。

      1.2.1 基本進(jìn)程轉(zhuǎn)換規(guī)則

      對于向子網(wǎng)K(ρ)的轉(zhuǎn)換,是根據(jù)表達(dá)式ρ的語法樹,其組成為給定基本子項(xiàng)(進(jìn)程項(xiàng)0,進(jìn)程調(diào)用,內(nèi)部動作以及輸入輸出前綴)的圖轉(zhuǎn)換。

      由于不涉及任何的名字操作,因此進(jìn)步進(jìn)程項(xiàng)0和內(nèi)部動作前綴τ十分簡單。進(jìn)程調(diào)用X(α1,…,αnX)也類似,但是結(jié)果將產(chǎn)生一個層次變遷,它將通過標(biāo)識等價規(guī)則進(jìn)行激發(fā)變換[10]。

      具體的轉(zhuǎn)換規(guī)則如圖1所示。

      圖1 空進(jìn)程、啞動作τ、進(jìn)程調(diào)用、動作前綴向Petri網(wǎng)轉(zhuǎn)換規(guī)則Fig.1 Translation rules from o,τ,the process call and the prefix to Petri nets

      1.2.2 組合規(guī)則

      本節(jié)中的組合規(guī)則用于合并Petri網(wǎng)的算子,包括前綴組合規(guī)則、選擇組合規(guī)則、并行組合規(guī)則以及范圍處理規(guī)則,其中前3個規(guī)則給出了合并標(biāo)簽庫所、相應(yīng)的持有者的方法[12]。

      假設(shè)有網(wǎng)Ni=(∪,Ti,ιi)(i=1,2)是兩個不相干的未標(biāo)記的Petri網(wǎng),并且有?s1,s1∈,?s2,s2∈,如果ι1(s1)=(λ,D1),ι2(s2)=(λ,D2),那么D1=D2,即被相同符號標(biāo)識的持有者庫所也有同樣的值類型集合。下面將給出四種組合規(guī)則的形式化處理方法,如圖2所示。前綴組合規(guī)則:N1.N2。假設(shè)N1有唯一的入口控制庫所和唯一的出口控制庫所(出口控制庫所記作s1),通過如下步驟獲得組合結(jié)果:

      (1)網(wǎng)N1和網(wǎng)N2并排放置。

      (2)對應(yīng)每個s2∈°N2,創(chuàng)建一個新的庫所s′2,用符號i標(biāo)識,同時將網(wǎng)N1和網(wǎng)N2中在si和t∈Ti(i∈{1,2})的弧Ψ在新的庫所s′2和t上標(biāo)記,并使用同樣的注釋符號和同樣的弧類型(無向或是有向的)標(biāo)記,而后網(wǎng)N1的唯一出口控制庫所和網(wǎng)N2的出口控制庫所將被刪除。

      (3)對于有相同標(biāo)識符號和類型的持有者庫所將被合并為一個持有者庫所,并且如前一樣,具有相同的標(biāo)識符號和類型,在原來的網(wǎng)N1和網(wǎng)N2中連接合并的持有者庫所與變遷之間的弧及注釋標(biāo)識在合并后的持有者庫所中保持不變。

      1)選擇組合規(guī)則:N1+N2,可通過如下過程獲得圖轉(zhuǎn)換結(jié)果:

      ①網(wǎng)N1和網(wǎng)N2并排放置。

      對于每個s1∈°N1和s2∈°N2,創(chuàng)建一個新的庫所s,用符號e標(biāo)識,并且使得每個在si和t∈Ti,i∈{1,2}的弧Ψ在新的庫所s和變遷t上作同樣標(biāo)識,即使用相同的注釋符號和相同的弧類型(無向或是有向的);類似地,對于每個s1∈和s2∈,創(chuàng)建一個新的庫所s,用符號x標(biāo)識,其連接性與上面規(guī)則定義一致。最后,將原來在網(wǎng)N1和網(wǎng)N2中標(biāo)識的入口控制庫所(被符號e標(biāo)識)和出口控制庫所(被符號x標(biāo)識)刪除。

      圖2 組合規(guī)則Fig.2 Composition rules

      ②具有相同名字的持有者庫所的合并可參見前綴組合規(guī)則。

      2)并行組合規(guī)則:N1|N2,可通過如下過程獲得圖轉(zhuǎn)換結(jié)果:

      ①網(wǎng)N1和網(wǎng)N2并排放置;

      ②具有相同名字的持有者庫所的合并可參見前綴組合規(guī)則。

      3)范圍處理規(guī)則:N=sco(N1),可通過如下過程獲得圖轉(zhuǎn)換結(jié)果:

      ①對于每對變遷t1,t2∈T1,其中t1和t2分別被snd或rcv所標(biāo)識,創(chuàng)建一個新的變遷t,用符號τ標(biāo)識,而在變遷t與庫所s上的弧注釋符號是在變遷t1與庫所s以及變遷t2與庫所s的弧注釋符號的簡單合并。在這里注意在snd所標(biāo)識的變遷周圍的弧與rcv所標(biāo)識的變遷周圍的弧是互不相干的,所以不需要進(jìn)行反復(fù)的合并操作。

      ②最后刪除被snd和rcv所標(biāo)識的變遷以及與其相連接的弧。

      2 遞歸π演算向Petri網(wǎng)的轉(zhuǎn)換及等價性證明

      2.1 準(zhǔn)備與討論

      類似于式(1)中的例子,當(dāng)數(shù)據(jù)h滿足h>10時才可以選擇執(zhí)行h.0,因此在執(zhí)行遞歸時要判斷是否滿足遞歸出口的條件。因此在遞歸調(diào)用和遞歸返回間加入一個判定庫所,用來存儲判定是否滿足遞歸出口條件的判定托肯。判定托肯的形式為F.D或者T.D,其中F.D表示不滿足遞歸出口條件,D表示這個托肯的類型是判定托肯(decision token);T.D表示滿足遞歸出口條件。

      對于如何記錄當(dāng)前數(shù)據(jù)屬于哪次遞歸操作,本文采用trail.data.place的形式,即當(dāng)前軌跡.數(shù)據(jù)值.所在庫所的形式存儲在棧庫所中。

      對于軌跡,在執(zhí)行遞歸調(diào)用時,調(diào)用一次用σ1標(biāo)記,調(diào)用第二次用σ2標(biāo)記,…,調(diào)用第n次用σn表示,進(jìn)程中遞歸結(jié)構(gòu)執(zhí)行的軌跡trail=〈σ1,σ2,…,σn〉。例如遞歸主體X(a1,…,an)將用軌跡標(biāo)記為σ1,σ2,…,σn.X(a1,…,an)。對于遞歸主體后面的Q(a″1,…,a″n),在遞歸返回之前是不執(zhí)行的,在執(zhí)行Q(a″1,…,a″n)時是按照軌跡〈σ1,σ2,…,σn〉的逆軌跡〈σn,σn-1,…,σ1〉執(zhí)行的。

      2.2 遞歸π演算向Petri網(wǎng)的轉(zhuǎn)換

      對于π演算遞歸結(jié)構(gòu)向Petri網(wǎng)的轉(zhuǎn)換,本文采用層次化方法,即將表達(dá)式中的每一個子表達(dá)式(包括遞歸主體)都先轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的子網(wǎng),然后組合起來;如果自調(diào)用表達(dá)式?jīng)]有滿足遞歸出口條件,那么對自調(diào)用表達(dá)式的網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步細(xì)化,將下一次調(diào)用的網(wǎng)結(jié)構(gòu)展開代替上一層中自調(diào)用表達(dá)式對應(yīng)的網(wǎng)結(jié)構(gòu)。

      下面給出關(guān)于式(2)的遞歸結(jié)構(gòu)全景圖第一層,如圖3所示。

      說明:

      (1)最開始的庫所e與最后的庫所x是此π演算表達(dá)式對應(yīng)網(wǎng)結(jié)構(gòu)的控制庫所,這是假設(shè)該表達(dá)式是一個主式;如果此遞歸π演算表達(dá)式是其他π演算表達(dá)式的子式,這兩個庫所應(yīng)換成與外界相連、用于傳遞控制信號的內(nèi)部庫所i。

      圖3 典型π演算遞歸結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換結(jié)果全景圖第一層Fig.3 First layer of franslation panoramic view from typical recursionπcalculus to Petri net

      (2)圖中的庫所d是本文新加庫所——判定庫所,存儲了判定是否滿足遞歸出口條件的判定托肯F.D和T.D。

      (3)在自調(diào)用表達(dá)式對應(yīng)的網(wǎng)結(jié)構(gòu)與判定庫所d之間有一條弧相連,表示在執(zhí)行自調(diào)用表達(dá)式時,其中的條件發(fā)生了變化,這個變化的條件要及時傳給判定庫所,使判定庫所做出合理的判斷。

      (4)在P(a1,…,an)、Q(a″1,…,a″n)等表達(dá)式前進(jìn)行了軌跡的標(biāo)記;而表達(dá)式R(b1,…,bn)卻沒有軌跡標(biāo)記,因?yàn)樵谶f歸調(diào)用時此表達(dá)式只執(zhí)行一次。

      (5)判定庫所對應(yīng)一個判斷邏輯,嚴(yán)格來講,如果系統(tǒng)中有多個遞歸表達(dá)式,則每一個表達(dá)式單獨(dú)對應(yīng)一個判定庫所。

      (6)出于版面考慮,這里沒有畫出棧庫所、名字持有者庫所、標(biāo)簽庫所以及相關(guān)弧。

      式(2)遞歸結(jié)構(gòu)全景的第二層如圖4所示。

      圖4 典型π演算遞歸結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換結(jié)果全景圖第二層Fig.4 Second layer of translation panoramic view from typical recursionπcalculus to Petri net

      類似地,調(diào)用多次的π演算表達(dá)式對應(yīng)的網(wǎng)結(jié)構(gòu)也能夠給出。

      對于形如式(2)的π演算表達(dá)式,采用層次化方法,將π演算遞歸結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成Petri網(wǎng)的步驟為:

      (1)按照1.2節(jié)中的基本進(jìn)程轉(zhuǎn)換規(guī)則及組合規(guī)則將P(a1,…,an)、R(b1,…,bn)以及Q(a″1,…,a″n)分別轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的子網(wǎng)NP1、NP2、NP3。

      (2)將自調(diào)用表達(dá)式X(a′1,…,a′n)先看做一個整體表示,對應(yīng)的網(wǎng)結(jié)構(gòu)先用NP0表示。各個組成部分用構(gòu)造sco(NP1|NP2|NP3|NP0)網(wǎng)連接起來,這將多種標(biāo)簽庫所和可能來自不同部分的有uv和v標(biāo)記的變遷對合并起來。這個構(gòu)造并不合并其他的持有者庫所。移除所有標(biāo)記為uv和u-v的變遷。

      (3)判斷X(a′1,…,a′n)是否滿足遞歸出口條件,若不滿足,將X(a′1,…,a′n)視為X(a1,…,an),轉(zhuǎn)步驟(1)。用不同的標(biāo)記來記錄不同的調(diào)用;若滿足,轉(zhuǎn)(4)。

      (4)將圖3中的變遷P(a1,…,an)用子網(wǎng)NP1替換,如果NP1只有一個輸入庫所e,那么將此庫所與開始的庫所e合并,仍舊記為e;否則創(chuàng)建一個輔助變遷t1,使開始庫所e指向輔助變遷t1,然后由變遷t1指向NP1所有的輸入庫所e,再將NP1所有的輸入庫所e改為內(nèi)部庫所i。

      同樣地,如果NP1只有一個輸出庫所x,將此庫所與最后庫所x合并,記為x;否則創(chuàng)建一個輔助變遷t2,使NP1所有的輸出庫所x指向輔助變遷t2,然后由變遷t2指向最后的庫所x,再將NP1所有的輸出庫所x改為內(nèi)部庫所i。

      在用NP2、NP3替換R(b1,…,bn)、Q(a″1,…,a″n)時也做同樣的處理。

      (5)將相同的名字持有者庫所合并,與原庫所相連的弧以原方式練到合并后的庫所上。將需要保存數(shù)據(jù)的變遷用弧與棧庫所相連。

      (6)為了得到完整的變遷網(wǎng)NP,向輸入庫所中插入一個小黑點(diǎn)作為托肯,并把下面的通道插入到持有者庫所中去:

      ①把ζ(α)插入到每個α標(biāo)記的持有者庫所中,其中α∈domain(ζ);

      ②把a(bǔ).a.K插入到標(biāo)簽庫所中,其中對于每一個a∈konwn(ζ);

      ③把n.N插入到標(biāo)簽庫所中,其中n∈C\konwn(ζ);

      ④把Δ.R插入到標(biāo)簽庫所中,其中Δ∈rstr(ζ)。

      2.3 互模擬等價

      本文定義了從遞歸π演算到Petri網(wǎng)的語義轉(zhuǎn)換,從而產(chǎn)生了有限結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換網(wǎng)——NP,它是具有有限庫所、變遷和弧的網(wǎng)結(jié)構(gòu),該遞歸結(jié)構(gòu)的標(biāo)號遷移系統(tǒng)ItsP與轉(zhuǎn)換后的Petri網(wǎng)所對應(yīng)的標(biāo)號遷移系統(tǒng)ItsNp是強(qiáng)互模擬。

      定理1 NP是具有有限庫所、變遷和弧的Petri網(wǎng)圖,并且使得ItsP和ItsNp是互為強(qiáng)互模擬的標(biāo)號遷移系統(tǒng)。

      證明 基本π演算部分的Petri網(wǎng)語義等價證明在文獻(xiàn)[12]中詳細(xì)介紹了轉(zhuǎn)換的思想、方法以及相關(guān)的語義等價證明,在此不再贅述。

      關(guān)于遞歸結(jié)構(gòu)的Petri網(wǎng)語義等價的證明采用數(shù)學(xué)歸納法。具體如下:

      設(shè)K為遞歸結(jié)構(gòu)執(zhí)行次數(shù),即遞歸層數(shù)。

      (1)當(dāng)K=1時,按照文中所述遞歸π演算向Petri網(wǎng)的轉(zhuǎn)換方法,其直接轉(zhuǎn)換為不帶遞歸結(jié)構(gòu)的基本π演算,其互模擬等價性是已知的。

      (2)假設(shè)當(dāng)K=n時,從遞歸π演算向Petri網(wǎng)的轉(zhuǎn)換具有互模擬等價性,那么證明當(dāng)K=n+1時互模擬等價仍成立。由于當(dāng)K=n時,前n層的遞歸調(diào)用已經(jīng)實(shí)現(xiàn),即可以將前n層遞歸調(diào)用得到的π演算表達(dá)式看做一個復(fù)雜無遞歸的基本π演算表達(dá)式,這樣再加上第n+1層的遞歸調(diào)用轉(zhuǎn)化為(1)中的形式,此時K′=1,符合(1)中所證互模擬等價。因此當(dāng)K=n+1時遞歸π演算向Petri網(wǎng)轉(zhuǎn)化的互模擬等價性成立。證畢。

      對不同密度、不同施肥處理的相對增加量進(jìn)行雙因素方差分析,結(jié)果表明(表5):3種不同施肥處理并未對毛竹相對增產(chǎn)量產(chǎn)生顯著差異(P=0.138>0.05);在試驗(yàn)所設(shè)2種密度中,低密度毛竹林相對增加產(chǎn)量顯著高于高密度毛竹林(P=0.023<0.05)。

      3 更簡潔的Petri網(wǎng)表示

      Petri網(wǎng)是一個很好的描述與分析并行系統(tǒng)的模型。但是當(dāng)遞歸結(jié)構(gòu)遞歸的次數(shù)較多時,會產(chǎn)生巨大的Petri網(wǎng)。尤其是在實(shí)際應(yīng)用中,如果系統(tǒng)過大或較復(fù)雜時,會遇到結(jié)點(diǎn)數(shù)過多的情況。系統(tǒng)的組合狀態(tài)數(shù)又隨結(jié)點(diǎn)數(shù)成指數(shù)函數(shù)增長,這就是所謂的組合爆炸問題。解決結(jié)點(diǎn)數(shù)過多引起的組合爆炸問題的辦法是盡量減少模型的結(jié)點(diǎn)個數(shù)。為了使轉(zhuǎn)換后的Petri網(wǎng)較為簡潔,本文給出了壓縮的Petri網(wǎng)圖,它保留了系統(tǒng)的語義,并編碼完全相同的軌跡集合。

      3.1 一種更簡潔的Petri網(wǎng)表示

      分析如式(2)形式的π演算的遞歸結(jié)構(gòu),如果該π演算表達(dá)式不滿足遞歸出口條件,那么會循環(huán)執(zhí)行自調(diào)用表達(dá)式之前的子表達(dá)式P(a1,…,an),執(zhí)行過程大致如圖5所示。

      如果π演算表達(dá)式的遞歸結(jié)構(gòu)執(zhí)行多次,那么會產(chǎn)生巨大的Petri網(wǎng),因此本文考慮將其進(jìn)行簡化,得到一種更簡潔的Petri網(wǎng)表示。受圖3啟發(fā),本文將典型π演算遞歸結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換結(jié)果用全景圖表示,如圖6所示。

      這里需要考慮以下幾個問題:

      圖5 π演算表達(dá)式遞歸結(jié)構(gòu)執(zhí)行圖Fig.5 Execution ofπcalculus expression recursive structure

      圖6 一種更簡潔的Petri網(wǎng)表示Fig.6 A more compact representation of Petri net

      對于遞歸出口之前每次執(zhí)行的表達(dá)式P(a1,…,an),其每次具體執(zhí)行是不一樣的,我們在其前面用軌跡標(biāo)記,表示按照軌跡σ1,σ2,…,σn執(zhí)行,這里的軌跡是根據(jù)判定庫所的變化一步一步生成的。然后在執(zhí)行遞歸返回時,Q(a″1,…,a″n)按照軌跡σ1,σ2,…,σn的逆軌跡σn,σn-1,…,σ1執(zhí)行。

      3.2 等價性證明

      本文給出了Np的一種更簡潔Petri網(wǎng)表示,記為Nc,它是具有有限庫所、變遷和弧的網(wǎng)結(jié)構(gòu),保留了系統(tǒng)的語義,編碼完全相同的軌跡集合。

      定理2 Nc是具有有限庫所、變遷和弧的Petri網(wǎng)圖,并且使得Np和Nc編碼完全相同的軌跡集合(激發(fā)順序)。

      證明 針對遞歸結(jié)構(gòu),分別從遞歸調(diào)用、遞歸出口及遞歸返回三部分考慮其執(zhí)行的軌跡集合。

      (1)對每次遞歸調(diào)用執(zhí)行的表達(dá)式P(a1,…,an),Np和Nc的執(zhí)行軌跡均為{σ1,σ2,…,σn}。

      (2)對遞歸出口執(zhí)行的表達(dá)式R(b1,…,bn),由于只執(zhí)行一次,因此其軌跡集合可以忽略。

      (3)對遞歸返回表達(dá)式Q(a″1,…,a″n),Np和Nc的軌跡集合均為{σn,σn-1,…,σ1}。證畢。

      4 結(jié)束語

      通過對π演算遞歸結(jié)構(gòu)和Petri網(wǎng)的經(jīng)典理論進(jìn)行研究分析,本文首先給出了遞歸π演算的基本形式,然后將遞歸π演算向Petri網(wǎng)進(jìn)行轉(zhuǎn)換,并證明這種轉(zhuǎn)換的互模擬等價性;隨后針對多次遞歸的情況對由π演算遞歸結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換得到的Petri網(wǎng)進(jìn)行簡化,得到了一種保持系統(tǒng)語義的、編碼完全相同的軌跡集合的更簡潔的Petri網(wǎng),與原Petri網(wǎng)相比能夠提高對于模型驗(yàn)證的效率,比如對移動系統(tǒng)的驗(yàn)證等。

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