葉丹丹，羅繼亮

（華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 廈門(mén)361021）

1 基本概念和定義

Petri網(wǎng)結(jié)構(gòu)表示為N＝（P，T，Pre Post）.其中：P是庫(kù)所的集合，P＝｛p1，p2，…，pn｝；T是變遷的集合，T＝｛t1，t2，…，tm｝；Pre：P×T→｛0，1，…｝是前向關(guān)聯(lián)矩陣，定義了從庫(kù)所到變遷的有向弧的權(quán)值；Post：T×P→｛0，1，…｝是后向關(guān)聯(lián)矩陣，定義了從變遷到庫(kù)所的有向弧的權(quán)值.標(biāo)識(shí)是n維的列向量m，其元素m（j）是第j個(gè)庫(kù)所的托肯數(shù)目.m0是系統(tǒng)的初始標(biāo)識(shí)，變遷tj可表示為一個(gè)m維向量δj，其第j分量等于1.當(dāng)tj發(fā)生后，系統(tǒng)到達(dá)新標(biāo)識(shí)m′＝m+D·δj.其中：D＝Post-Pre稱(chēng)為關(guān)聯(lián)矩陣；變遷序列表示為δ，也可以描述為一個(gè)激發(fā)向量δ，其各分量等于相應(yīng)變遷在δ中出現(xiàn)的次數(shù).

在一個(gè)Petri網(wǎng)結(jié)構(gòu)里，存在一個(gè)向量y∶P→Z.如果y≥0，并且y·D＝0，可以得到

整個(gè)系統(tǒng)若是可以正常運(yùn)行，則標(biāo)識(shí)m要滿(mǎn)足方程（1）.

定義1 設(shè)R為集合S上的一個(gè)關(guān)系，則集合｛x∈S｜（x，y）∈R，至少一個(gè)y∈S｝稱(chēng)為R的支集，記做SuppR，則Suppy＝｛p∈P｜y（p）≠0｝.

定義2 Petri網(wǎng)結(jié)構(gòu)里的一個(gè)庫(kù)所不變量y，若不存在另一個(gè)庫(kù)所不變量y′≠y，使得Suppy′?Suppy，則該庫(kù)所不變量y為最小庫(kù)所不變量.

定義3 如果最小庫(kù)所不變量y中各元素的最大公約數(shù)為1，那么y稱(chēng)為嚴(yán)格最小庫(kù)所不變量.y1就是嚴(yán)格最小庫(kù)所不變量，而y2，y3不是嚴(yán)格最小庫(kù)所不變量.

自Porod和Kratky提出蠕蟲(chóng)狀鏈模型以來(lái),運(yùn)用此模型處理諸如DNA等較為剛性長(zhǎng)鏈的研究逐年增多.近年來(lái),隨著DNA研究的迅猛發(fā)展,蠕蟲(chóng)狀鏈模型也重新被廣泛應(yīng)用.例如,有關(guān)蠕蟲(chóng)狀鏈模型應(yīng)用的文獻(xiàn)自2006—2016年的十年間累計(jì)達(dá)1 552篇(數(shù)據(jù)來(lái)自SciFinder數(shù)據(jù)庫(kù)).因此,厘清一些基本概念就顯得非常重要.

定義4 在一個(gè)Petri網(wǎng)結(jié)構(gòu)里，如果Y是嚴(yán)格最小庫(kù)所不變量組成的集合，并且其中元素是庫(kù)所不變量的最大線性無(wú)關(guān)組，那么Y稱(chēng)為特征庫(kù)所不變量集.

特征庫(kù)所不變量集Y蘊(yùn)含Petri網(wǎng)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)信息，即Petri網(wǎng)中所有庫(kù)所不變量可由該集合中元素線性表示，它表征了由嚴(yán)格最小庫(kù)所不變量為基底向量所構(gòu)成的空間.若系統(tǒng)可以正常運(yùn)行，則系統(tǒng)Petri網(wǎng)結(jié)構(gòu)中所有庫(kù)所間的關(guān)系須包含于該空間內(nèi).

定義5 在一個(gè)Petri網(wǎng)結(jié)構(gòu)里，Y是一個(gè)特征庫(kù)所不變量集.設(shè)Y內(nèi)包含k個(gè)元素，那么標(biāo)識(shí)m的故障矩陣定義為k×n維的矩陣T（m），它需要滿(mǎn)足下列條件

從嚴(yán)格最小庫(kù)所不變量yi中，可以獲取非零列（j列）所對(duì)應(yīng)的庫(kù)所pj所攜帶的系統(tǒng)信息.若在任意當(dāng)前標(biāo)識(shí)m下，庫(kù)所間關(guān)系不滿(mǎn)足嚴(yán)格最小庫(kù)所不變量yi，則在該yi中攜帶系統(tǒng)信息的庫(kù)所pj可能存在故障，記其T（m）i，j為1；同理，若庫(kù)所間關(guān)系滿(mǎn)足嚴(yán)格最小庫(kù)所不變量yi，則該yi中攜帶系統(tǒng)信息的庫(kù)所pj無(wú)故障，記其T（m）i，j為-1；而yi中零列，即不體現(xiàn)系統(tǒng)信息的庫(kù)所pj的故障情況未知，記其T（m）i，j為0.

故障函數(shù)表征了系統(tǒng)的故障信息，即各個(gè)庫(kù)所發(fā)生故障概率的相對(duì)大小，某一個(gè)pj庫(kù)所的故障函數(shù)f越大，則其發(fā)生故障的可能性越高.在診斷故障的過(guò)程中，計(jì)算出每個(gè)庫(kù)所的故障函數(shù)，取其中最大值，也就是故障最有可能發(fā)生的庫(kù)所，這樣就可以鎖定故障范圍了.

2 故障診斷算法及其分析

輸入：Petri網(wǎng)N，m0和任意當(dāng)前標(biāo)識(shí)m；輸出：故障概率最大的結(jié)點(diǎn)（庫(kù)所）.

步驟1 求出Petri網(wǎng)N的關(guān)聯(lián)矩陣D；

步驟2 利用方程（1），計(jì)算一個(gè)特征庫(kù)所不變量集Y＝｛y1，y2，…，yk｝，k∈Z+；

步驟3 判斷yi·m＝y(tǒng)i·m0，i＝1，2，…，k，等式是否成立；如果上述等式均成立，則沒(méi)有故障發(fā)生，算法退出；否則，執(zhí)行下一步；

步驟4 根據(jù)定義5，計(jì)算故障矩陣T（m）；

步驟5 根據(jù)T（m）和定義6，計(jì)算故障函數(shù)λm；

步驟6 比較n個(gè)庫(kù)所的故障函數(shù)λm（pj），選出最大的λm（pj），則故障出現(xiàn)在第j個(gè)庫(kù)所的概率最大，退出算法.

在算法中，根據(jù)給定的系統(tǒng)Petri網(wǎng)的模型，首先可以求得該P(yáng)etri網(wǎng)的關(guān)聯(lián)矩陣D.如果當(dāng)前標(biāo)識(shí)m可以從初始標(biāo)識(shí)m0到達(dá)，則其必須滿(mǎn)足m＝m0+D·δ.在式子的兩邊同時(shí)右乘n維的矩陣y，可以得到y(tǒng)·m＝y(tǒng)·m0+y·D·δ.當(dāng)y·D＝0時(shí)，即y·m＝y(tǒng)·m0，對(duì)于任何從初始標(biāo)識(shí)m0開(kāi)始可達(dá)的標(biāo)識(shí)m都滿(mǎn)足托肯的總數(shù)是不變量；如果Petri網(wǎng)模型代表的是一個(gè)正常運(yùn)行的系統(tǒng)，則對(duì)于任何可達(dá)的當(dāng)前標(biāo)識(shí)m都滿(mǎn)足約束條件y·m＝y(tǒng)·m0，通過(guò)方程y·D＝0去尋找?guī)焖蛔兞縴.

解這個(gè)齊次方程，利用該方程的基礎(chǔ)解系，可以表示空間中滿(mǎn)足該約束的任意庫(kù)所不變量y，用一個(gè)集合表示基礎(chǔ)解系，即特征庫(kù)所不變量集Y＝｛y1，y2，…，yk｝，k∈Z+.在這個(gè)集合中，每一個(gè)元素都需要滿(mǎn)足這個(gè)約束條件y·m＝y(tǒng)·m0.如果每一個(gè)元素都滿(mǎn)足該約束，即總共有k個(gè)等式成立，則證明在當(dāng)前標(biāo)識(shí)m0下，沒(méi)有故障發(fā)生.如存在約束條件不滿(mǎn)足情況，需要進(jìn)一步去解決；如果是第i個(gè)約束方程不相等，即表示故障有可能會(huì)發(fā)生.在第i個(gè)方程中對(duì)應(yīng)的庫(kù)所不變量yi中，第m個(gè)為非零的列，代表第m個(gè)庫(kù)所中可能存在故障，增加該庫(kù)所故障發(fā)生的可能.令對(duì)應(yīng)的非零列中的故障函數(shù)為+1，零列庫(kù)所不變，將這個(gè)新的列向量作為故障矩陣T（m）的第i行.如果是第j個(gè)約束方程相等，即表示故障不會(huì)發(fā)生，在第j個(gè)方程中對(duì)應(yīng)的庫(kù)所不變量yi中，第n個(gè)為非零的列，代表第n個(gè)庫(kù)所中不會(huì)存在故障，降低該庫(kù)所故障發(fā)生的可能.令對(duì)應(yīng)的非零列中的故障函數(shù)為-1，非零列保持不變，同樣作為新的列向量作為故障矩陣T（m）的第j行，最后將T（m）中每一個(gè)庫(kù)所的故障函數(shù)加大一起，選出最大值，即故障發(fā)生的可能性最大.

在算法中，當(dāng)改變?nèi)我鈽?biāo)志，就需要重新計(jì)算步驟3～6.當(dāng)系統(tǒng)復(fù)雜性增大時(shí)，由于故障矩陣和故障函數(shù)計(jì)算的復(fù)雜度是由特征庫(kù)所不變量集決定，而特征庫(kù)所不變量集是根據(jù)Petri網(wǎng)結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)矩陣計(jì)算得到的，也就是說(shuō)隨著系統(tǒng)復(fù)雜性的增大，關(guān)聯(lián)矩陣的維數(shù)會(huì)增多，而特征庫(kù)所不變量集中的元素是庫(kù)所不變量y，根據(jù)齊次方程y·D＝0，會(huì)隨著關(guān)聯(lián)矩陣的維數(shù)增多，該齊次方程的解是呈現(xiàn)多項(xiàng)式級(jí)增長(zhǎng)，因此算法的復(fù)雜度也是多項(xiàng)式級(jí)的，這在工程應(yīng)用上可以得到實(shí)現(xiàn).

3 實(shí)例分析

圖1為某液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)過(guò)程的Petri網(wǎng)模型［12］.此圖主要針對(duì)啟動(dòng)過(guò)程建，所以省略了對(duì)單一設(shè)備運(yùn)行參數(shù)的事件監(jiān)控，例如渦輪轉(zhuǎn)速限幅監(jiān)控事件.圖1中各結(jié)點(diǎn)的物理意義如表1所示.表1中：p5是p0狀態(tài)中的一個(gè)子集，即整個(gè)系統(tǒng)就緒（p0）包括了渦輪泵就緒狀態(tài).

圖1 液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)過(guò)程Petri網(wǎng)Fig.1 A Petri net for the starting process of liquid propellant rocket engine

表1 圖1Petri網(wǎng)中各結(jié)點(diǎn)的物理意義Tab.1 Correspondence of each transition and places Petri nets in figure 1to its physical meaning

基于上面給定的Petri網(wǎng)模型，根據(jù)算法可以算出該液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)過(guò)程的的關(guān)聯(lián)矩陣D為

因此，當(dāng)前標(biāo)識(shí)m′對(duì)應(yīng)的故障矩陣為

下面需要驗(yàn)證實(shí)例的正確性.首先根據(jù)給定的Petri網(wǎng)模型，可以得到該P(yáng)etri網(wǎng)系統(tǒng)的可達(dá)圖，如圖2所示.在圖2中可以看到：任意當(dāng)前標(biāo)識(shí)下，庫(kù)所p5和p6中是不可能同時(shí)存在托肯的；同樣從火箭啟動(dòng)的過(guò)程中看到，只有當(dāng)燃燒劑到達(dá)預(yù)燃室、氧化劑到達(dá)預(yù)燃室以及渦輪泵準(zhǔn)備就緒時(shí)，托肯才有可能到達(dá)渦輪泵測(cè)速狀態(tài)，與可達(dá)圖相符.在給定的當(dāng)前標(biāo)識(shí)m′＝［0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0］T下，庫(kù)所p5和p6中同時(shí)存在托肯，并且?guī)焖鵳1和p2中也存在托肯.從圖2可以看出：當(dāng)p1和p2中存在托肯時(shí)，庫(kù)所p5中必然存在托肯，所以最大可能是庫(kù)所p6違背了可達(dá)圖的演化規(guī)則，即p6中出現(xiàn)故障的概率最大，這也驗(yàn)證了算法的正確性.

圖2 液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)過(guò)程的Petri網(wǎng)可達(dá)圖Fig.2 Reachable graph of the starting process of liquid propellant rocket engine in Petri nets

4 結(jié)束語(yǔ)

在分析文獻(xiàn)方法中的計(jì)算效率低、故障診斷不及時(shí)、故障定位模糊等缺點(diǎn)后，提出了基于Petri網(wǎng)特征結(jié)構(gòu)的故障診斷方法.給出了特征庫(kù)所不變量集的定義，提出了故障矩陣和故障函數(shù)的概念，并利用數(shù)學(xué)計(jì)算來(lái)進(jìn)行故障定位.該方法使得故障診斷更加快速，故障定位更加精確，由于是多項(xiàng)式級(jí)的計(jì)算復(fù)雜度，同樣利于工程應(yīng)用.

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