陳 佳 類淑河, 管長龍 張 沖 陶山山

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白冠破碎空間分布模式的統(tǒng)計推斷方法*

陳 佳1類淑河1,2①管長龍2張 沖1陶山山3

(1. 中國海洋大學數(shù)學科學學院 青島 266100; 2. 中國海洋大學物理海洋實驗室 青島 266100; 3. 中國海洋大學工程學院 青島 266100)

白冠空間分布模式分析是海浪破碎統(tǒng)計研究的前提。本文提出利用空間點過程統(tǒng)計分析工具研究白冠空間分布模式, 并結合實際白冠破碎觀測錄像資料, 計算觀測數(shù)據(jù)的-函數(shù)和-函數(shù), 與Markov chain Monte Carlo(MCMC)方法生成的模擬包跡進行比較, 推斷得出其白冠空間分布模式類型為空間齊次Poisson過程。研究表明空間點過程統(tǒng)計分析工具適用于白冠破碎研究。

白冠破碎; 空間點過程;-函數(shù);-函數(shù); Markov chain Monte Carlo(MCMC)

海浪破碎是廣袤海洋中最常見的一種自然現(xiàn)象。這種破碎是海-氣間動量、能量傳輸和物質(zhì)交換的重要渠道, 在海-氣相互作用中扮演著主要角色。破碎會加劇海-氣之間的氣體交換, 產(chǎn)生的湍流對海洋上混合層各種物理過程有著顯著影響破碎也是維持波浪場能量平衡、限制波高的主要機制(Melville, 1996; Asher, 1996)。此外, 海浪破碎研究對海洋遙感、海洋工程、導航和其他實際應用也有非常重要的作用。

白冠破碎的發(fā)生具有很強的隨機性, 破碎發(fā)生的時刻與位置都是隨機的, 不同破碎的強度和空間規(guī)模也各不相同。人們至今對這種隨機性的理解仍較膚淺。在實際觀測資料處理中, 無論是白冠覆蓋率, 還是破碎波波峰線長度, 大多僅僅停留于簡單的求和或取平均。它們本質(zhì)上只是對過程中某項真實參數(shù)的一種估計, 沒有真正考慮破碎白冠的空間分布模式。若沒有一個恰當?shù)臄?shù)學模型來描述這種隨機性, 很難說清楚上面這些估計的可靠性與穩(wěn)健性。

事實上, 空間點過程正是刻劃白冠破碎隨機性的恰當數(shù)學工具?？臻g點過程研究最早可追溯到20世紀60年代早期在地理學領域的研究, 研究者們將植物生態(tài)學中有關空間模式的分析方法應用到其它的領域中(Gatrell, 1996)。Ripley(1977)首次系統(tǒng)提出空間點模式分析的統(tǒng)計理論, 后經(jīng)Diggle(2003)、Baddeley(2007)、Stoyan(2006)和Moller(2007)等統(tǒng)計學家的發(fā)展, 理論方法得到逐步完善, 形成了空間點過程的理論。近年來, 在地震學、生態(tài)學、森林學、地理學、空間流行病學以及材料科學等諸多領域獲得成功應用(Moller, 2007)。目前國內(nèi)外還沒有見到采用空間點過程理論方法研究白冠破碎的文獻。

如果將破碎白冠的重心位置視為平行于海面的二維平面上的點, 任一時刻在給定海域的白冠破碎形成一空間點過程。在這一理論框架下, 白冠面積、波峰線長度等特征量都可以視為過程的標值, 白冠覆蓋率和L()可由累計的空間標值點過程描述。顯然, 在空間點過程的理論框架下, 對于海浪破碎的隨機性和破碎耗散等問題可以有更深入的理解和討論。

白冠破碎空間分布模式(以下簡稱“白冠分布模式”)的統(tǒng)計推斷正對應空間點過程類型的判斷, 這是白冠破碎空間點過程模型研究的基本前提?？臻g統(tǒng)計學理論中的-函數(shù)、-函數(shù)等統(tǒng)計函數(shù), 提供了空間點過程類型推斷的有效工具(Loosmore, 2006; Baddeley, 2007)。本文借助這些工具, 討論白冠破碎空間點分布模式的統(tǒng)計推斷方法, 并以實際觀測的破碎白冠圖像分析為例, 演示推斷過程, 討論白冠破碎空間分布模式推斷與結果分析中面臨的問題。

1 空間點過程及其推斷工具簡介

1.1 空間點過程

其中()表示區(qū)域的面積，[()]表示區(qū)域內(nèi)點數(shù)的期望(Moller, 2007; Walter, 2005)。

空間點過程主要分為三類: 空間齊次Poisson過程、Cox過程和Gibbs過程?？臻g齊次Poisson過程具有空間完全隨機性(complete spatial randomness, CSR), 其在任意有界空間區(qū)域內(nèi)的事件數(shù)服從Poisson分布, 強度是常數(shù), 不隨空間區(qū)域變化。Cox過程由主過程和從屬過程兩級過程構成, 過程的強度不再是一個常數(shù), 而是具有空間依賴性, 往往表現(xiàn)為點的簇生性(或稱聚集性)。這類過程最早由Cox (1955)提出, 因而命名為Cox過程。Cox過程模型又可分為很多不同的具體模型(Moller, 2007)。Gibbs過程與Cox過程類似, 同樣由兩級過程組成, 是在空間齊次Poisson過程的基礎上進行Gibbs取樣而獲得, 因此命名為Gibbs過程。在Gibbs過程中, 主要表現(xiàn)為過程內(nèi)點之間的相互排斥性, 形成的過程具有規(guī)則分布的特點。Gibbs過程模型也分為很多具體類型(Baddeley, 2007; Ripley, 1977)。

1.2 基本統(tǒng)計推斷工具介紹

空間點分布模式的統(tǒng)計推斷的實質(zhì)是由觀測模式來推斷點過程的類型。不同尺度下, 同一觀測資料對應的點過程類型可能不同。因而推斷工具與推斷結論都要考慮研究尺度的選擇。常用的推斷工具為-函數(shù)和-函數(shù), 它們都是研究尺度的函數(shù)(Loosmore, 2006; Stoyan, 2006)。-函數(shù)由Ripley(1977)提出, 通過計數(shù)測度()的等效二階矩測度來定義(Baddeley, 2007)。當=(0,)((0,)表示以原點為圓心,為半徑的圓域)時,

有了具體觀測后,-函數(shù)可通過

在計算這些統(tǒng)計函數(shù)的估計時, 接近邊界的點, 會對計算結果產(chǎn)生一定的影響, 這種影響稱為邊界效應(Moller, 2007)。常用的修正方法有: 邊界修正(Ripley, 1988)、平移修正(Ohser, 1983)和Ripley同質(zhì)修正(Ripley, 1988; Ohser, 1983)。修正之后的-函數(shù)估計為:

其中(,)為邊界修正項。

2 白冠分布模式統(tǒng)計推斷方法示例

2.1 圖像識別

圖1為一實際觀測的白冠破碎圖像, 選自我們在青島大公島西部海域(35°59′10.822″N, 120°25′53.190″E)錄像資料, 拍攝時間為2011年4月, 當時平均風速在5m/s左右, 東南風, 采用Sony CX180攝像機拍攝, 25幀/秒。由于拍攝具有一定的傾角, 圖像產(chǎn)生透視失真, 處理前先使用photoshop粗略校正, 而后采用Kleiss(2009)提出的白冠識別方法, 以圖像中每個顯著白冠的重心位置作為事件發(fā)生點(忽略面積小于50像素的破碎), 形成觀測模式, 如圖2所示。

2.2 白冠分布模式的統(tǒng)計推斷

圖3給出了白冠觀測模式的-函數(shù)圖像。研究尺度的選擇借鑒Diggle的建議, 不超過觀測區(qū)域最短邊的1/3(Diggle, 2003)。圖中點狀虛線為空間齊次Poisson過程(CSR假定)的理論函數(shù)值, 實線為觀測模式的-函數(shù)估計值, 線段狀虛線代表999次CSR模擬模式產(chǎn)生的上、下界。當＞1時, 盡管觀測模式的-函數(shù)位于()=0的上方, 但仍完全落入上、下界所確定的范圍內(nèi)部, 無法拒絕白冠破碎的空間分布模式為CSR模型的零假設。

圖1 實際白冠破碎圖像

圖2 白冠破碎(圓圈)的觀測模式

圖3 觀測模式的L-函數(shù)估計圖像

上述基于-函數(shù)對空間點過程類型的判斷只是初步的, 更嚴格的推斷一般采用Markov chain Monte Carlo(MCMC)方法實現(xiàn)模擬包跡檢驗。MCMC方法不僅用于生成所選擇的模型, 也用于進行模型檢驗和參數(shù)估計(Stoyan, 2006)。由于Cox過程和Gibbs過程的模型有多種類型, 其-函數(shù)和-函數(shù)的理論結果往往未知, 不適合作零假設模型。因而檢驗中零假設通常采用空間Poisson過程(CSR假定)。

在每次模擬中, 我們基于MCMC方法產(chǎn)生999次的來自CSR模型的模擬模式。分別計算觀測模式與模擬模式的-函數(shù), 以模擬模式的值來形成-函數(shù)的擬合包跡, 如圖4中灰色帶狀區(qū)域所示, 實線為依據(jù)觀測模式計算的-函數(shù), 點狀虛線為空間齊次Poisson(CSR)理論-函數(shù)曲線。觀察觀測模式-函數(shù)估計與擬合包跡的相對位置: 如果在每一個研究尺度上, 觀測模式的估計均位于擬合包跡區(qū)域內(nèi)部, 則認為觀測模式具有完全隨機性, 不拒絕空間齊次Poisson過程的假設; 如果在某一個研究尺度上, 觀測模式估計落在包跡區(qū)域的上方, 則認為實際觀測對應的過程為Cox過程類; 若落在包跡區(qū)域下方, 則認為實際觀測對應的過程為Gibbs過程類。

圖4 觀測圖像K-函數(shù)與CSR模擬包跡

從圖4可以看出, 在我們選擇的尺度范圍內(nèi), 觀測模式-函數(shù)圖像盡管在＞1時位于空間齊次Poisson過程的上方, 卻均落在擬合包跡(灰色)區(qū)域的內(nèi)部。這與圖3給出的-函數(shù)結果一致, 因而我們可以認為, 在這些尺度上白冠分布模式為空間齊次Poisson過程類型。

3 結論及討論

本文借助空間點過程的理論及其推斷工具, 包括-函數(shù)和-函數(shù), 提出了白冠分布模式的統(tǒng)計推斷方法, 并結合白冠圖像數(shù)據(jù), 驗證了方法的可行性和有效性。通過實例展示, 我們認為白冠破碎空間點分布模式的統(tǒng)計推斷方法可用于白冠破碎的研究。

由于拍攝時攝像機具有一定的傾角, 使得圖像產(chǎn)生透視失真, 從而使得這些距離也失真。這對于-函數(shù)、-函數(shù)估計的計算是有影響的, 因為這些計算都是基于事件發(fā)生點之間的距離進行的。因而, 圖像校正是圖像預處理中的關鍵環(huán)節(jié)。本文只是使用photoshop進行較為粗略的校正, 還有待于進一步改進校正方法。在使用Kleiss(2009)提出的識別方法提取破碎白冠的重心坐標時, 閾值的設置也會使識別過程中遺漏或誤判小的白冠破碎, 這些都可能影響到推斷結果的可靠性。

另外, 空間點分布模式的推斷結果也依賴于分析尺度。限于攝像設備與拍攝點的高度, 錄像資料所覆蓋的區(qū)域有限, 因此我們目前的研究僅局限于較小的區(qū)域范圍(100m以內(nèi)), 更大分析尺度下的點分布模式仍是未知的。因而, 文中的推斷分析僅僅作為白冠破碎空間點分布模式的統(tǒng)計推斷方法應用于白冠破碎隨機性研究。推斷結果是否可靠, 依賴于白冠破碎圖像校正與識別方法的改進。

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statistical inference methods FOR spatial point pattern of white-cap breaking

CHEN Jia1, LEI Shu-he1,2, GUAN Chang-long2, ZHANG Chong1, TAO Shan-shan3

(1. The College of Mathematics, Ocean University of China, Qingda, 266100, China; 2. The Laboratory of Physical Oceanography, Ocean University of China, Qingdao, 266100, China; 3. The College of Engineering, Ocean University of China, Qingdao,266100, China)

For a long time, research on white-cap breaking does not involve the issue of spatial distribution pattern. However, the spatial distribution pattern is the premise of research for describing the statistical characteristic of breaking waves. By applying the theory of spatial point process with statistical inference tools, we studied white-cap breaking and modeled its spatial distribution. Combining with the real white-cap breaking images, we calculated the-function and the-function of the observed patterns, and used MCMC (Markov chain Monte Carlo) random simulation test against the null hypothesis about homogeneous Poisson process, making the-function as basic statistics for inferring that the spatial point pattern of the observed images we chose is homogeneous Poisson process. Case studies show that the statistical tools of spatial point process can be applied effectively for research on white-cap breaking.

white-cap breaking; spatial point process;-function;-function; Markov chain Monte Carlo(MCMC)

10.11693/hyhz20121023001

* 國家自然科學基金重點項, 41276010號。陳佳, Email: cj_ouc@163.com

類淑河, 副教授, Email: shuhelei@ouc.edu.cn

2012-10-23,

2013-01-05

P731.22