劉同新， 馬寶峰

（北京航空航天大學(xué)流體力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191）

低階格式在大渦模擬計(jì)算中的適用性

劉同新， 馬寶峰

（北京航空航天大學(xué)流體力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191）

采用三維Taylor-Green渦作為研究對(duì)象，利用工程中常用的低階數(shù)值格式，研究格式本身的數(shù)值誤差對(duì)大渦模擬計(jì)算的影響.結(jié)果表明：三種數(shù)值格式的數(shù)值耗散行為都與亞格子模型行為類似，即在小雷諾數(shù)下，流場(chǎng)比較光滑時(shí)，耗散很小，當(dāng)雷諾數(shù)增加，流動(dòng)轉(zhuǎn)捩為湍流，流場(chǎng)梯度增大，耗散顯著增大.對(duì)于MUSCL格式和二階有界中心格式，在高雷諾數(shù)下，亞格子尺度模型沒有明顯改善計(jì)算結(jié)果，但也沒有使計(jì)算結(jié)果惡化.中心格式相比其它兩種格式，數(shù)值耗散最小，但是在高雷諾數(shù)湍流情況下，中心格式的數(shù)值耗散仍然主導(dǎo)了能量的耗散，再添加亞格子模型，計(jì)算結(jié)果反而變得稍差.對(duì)于工程中的低階格式而言，采用中心格式計(jì)算大渦模擬是比較好的選擇，而且在計(jì)算不存在穩(wěn)定性問題時(shí)，采用不添加亞格子模型的隱式大渦模擬效果更好.

大渦模擬；數(shù)值耗散；亞格子模型；低階格式；

0 引言

湍流的準(zhǔn)確計(jì)算在航空、航天器設(shè)計(jì)和研制中具有重要意義，因而能夠準(zhǔn)確地模擬湍流一直是學(xué)術(shù)界和工業(yè)界追求的目標(biāo).在工程湍流計(jì)算中以往大都采用基于雷諾平均的湍流模式（RANS），由于湍流模式是對(duì)湍流內(nèi)大小不同尺度的流動(dòng)結(jié)構(gòu)統(tǒng)一建模，難以得到普適模型，計(jì)算準(zhǔn)確度欠佳.同時(shí)雷諾平均基于時(shí)間平均，抹掉了非定常脈動(dòng)細(xì)節(jié)，無法計(jì)算轉(zhuǎn)捩、氣動(dòng)噪聲等非定常問題.直接數(shù)值模擬方法（DNS）盡管計(jì)算準(zhǔn)確，并可獲得流場(chǎng)的全部信息，但計(jì)算資源的要求過高，在可以預(yù)見的將來難以應(yīng)用到工程計(jì)算中，目前主要用來對(duì)低雷諾數(shù)、簡(jiǎn)單幾何外形的流動(dòng)做機(jī)理研究.

大渦模擬（LES）是目前最有希望取代雷諾平均來進(jìn)行湍流工程計(jì)算的方法［1］.其在相對(duì)較低的計(jì)算資源下能夠模擬較高的雷諾數(shù)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)能夠獲得非定常流場(chǎng)信息.大渦模擬不對(duì)時(shí)間求平均，而是在空間上對(duì)湍流小尺度渦進(jìn)行濾波，因而流動(dòng)在時(shí)間方向上大渦脈動(dòng)信息不丟失.濾波掉小尺度渦后由于切斷了湍流從大渦向小渦的級(jí)串，因而能量會(huì)在截?cái)嗟某叨壬隙逊e，產(chǎn)生非物理解或數(shù)值不穩(wěn)定，因而在計(jì)算時(shí)需要設(shè)計(jì)一種機(jī)制，將累積的能量耗散掉.用來耗散小渦能量的模型稱為亞格子尺度模型（subgrid-scale model，SGS）.亞格子模型是針對(duì)小渦建模，而小渦運(yùn)動(dòng)更容易趨向均勻各向同性，因而更容易獲得相對(duì)普適的模型.

對(duì)于亞格子尺度模型，除了本身的建模誤差外，模型提供的物理耗散與計(jì)算格式誤差之間干擾是一個(gè)需要解決的重要問題.Ghosal［2］通過理論分析指出即使是四階精度的中心格式，其截?cái)嗾`差與亞格子應(yīng)力也是同一量級(jí)的.所以為了準(zhǔn)確模擬亞格子應(yīng)力，大渦模擬一般要求采用高精度低耗散的數(shù)值格式進(jìn)行計(jì)算或者采用顯示濾波方法［3］濾除網(wǎng)格分辨率內(nèi)的高波數(shù)段模擬不準(zhǔn)的流場(chǎng).高精度格式和顯示濾波方法雖然在學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域，針對(duì)簡(jiǎn)單幾何外型的流場(chǎng)取得較好的計(jì)算結(jié)果，但出于計(jì)算效率和魯棒性的原因，一直沒有廣泛應(yīng)用到工程計(jì)算中.工程領(lǐng)域采用的仍然是二階到三階精度的低階格式.基于數(shù)值格式誤差對(duì)亞格子模型的干擾較大，有研究人員提出不顯式建立亞格子尺度模型，而利用數(shù)值格式自身的數(shù)值耗散作為隱式模型模擬SGS應(yīng)力，該大渦模擬方法稱為隱式大渦模擬.隱式大渦模擬類似于超聲速計(jì)算中的激波捕捉方法，即都是用數(shù)值格式自身的耗散來模擬物理問題.

Boris等［4］首次分析了單調(diào)格式的截?cái)嗾`差，發(fā)現(xiàn)其耗散行為與SGS應(yīng)力很類似，因而提出可利用格式的截?cái)嗾`差隱式作為SGS模型的想法，而不再建立顯式SGS模型.但正如Grinstein等［5］所說的，并不是所有的數(shù)值格式不加顯式SGS模型，在粗網(wǎng)格上計(jì)算都叫做隱式大渦模擬，只有某些特定的數(shù)值格式才能夠得到較好的計(jì)算結(jié)果.多種數(shù)值格式已被驗(yàn)證適合做隱式大渦模擬，可參照相關(guān)綜述文章［5］.Garnier等［6］采用均勻各向同性湍流，研究了一系列迎風(fēng)格式在大渦模擬中的適用性，發(fā)現(xiàn)迎風(fēng)類格式的數(shù)值耗散行為與SGS模型類似但不完全一樣，即使是5階WENO格式的數(shù)值耗散已足夠大，不建議另外再加顯式SGS模型.而Hickel［7］等進(jìn)一步指出，利用已有的格式采用逐個(gè)嘗試的方法研究隱式大渦模擬有些盲目，他們采用改型方程分析方法，針對(duì)格式的截?cái)嗾`差性質(zhì)，專門建立了一種適合做隱式大渦模擬的新格式，針對(duì)模型流動(dòng)，取得了很好的模擬結(jié)果.Kravchenko and Moin［8］對(duì)渠道流動(dòng)進(jìn)行大渦模擬誤差分析，他們利用譜方法進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)在低階格式下誤差對(duì)于亞格子模型具有較大的影響，但仍然能夠得到較好的計(jì)算結(jié)果.楊小龍和符松［9］采用pade格式，研究了低階到高階格式數(shù)值誤差對(duì)大渦模擬的影響，結(jié)果表明亞格子模型能夠緩解數(shù)值誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，采用低精度格式也可能夠得到較好計(jì)算結(jié)果.謝志剛等［10］也采用二階格式得到了較為滿意的計(jì)算結(jié)果.

綜上，目前對(duì)于數(shù)值耗散對(duì)大渦模擬計(jì)算結(jié)果的影響，結(jié)論尚不一致，不同研究者采用不同的計(jì)算格式和方法可能會(huì)得到不同的結(jié)論，因而需要開展更廣泛的研究，對(duì)不同的數(shù)值格式特別是工程中常用的低階格式在大渦模擬中的適用性，采用不同的方法進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證，從而為工程計(jì)算提供參考.本文采用一種后驗(yàn)的方法（a posteriori），以Taylor-Green渦為計(jì)算對(duì)象，對(duì)工程中常用的低階數(shù)值格式的數(shù)值耗散對(duì)大渦模擬的影響進(jìn)行評(píng)估.

1 數(shù)值方法

1.1 主控方程及亞格子尺度模型

本研究的所有計(jì)算基于FluentTM14.5代碼，該代碼目前在工業(yè)界應(yīng)用較多.

計(jì)算基于不可壓N-S方程，大渦模擬需要對(duì)方程進(jìn)行濾波處理，濾波后的方程為

大渦模擬的亞格子尺度建模既是針對(duì)ij進(jìn)行，本研究的亞格子尺度模型選用動(dòng)態(tài)Smagorinsky模型，這是目前大渦模擬計(jì)算中的主流模型，在計(jì)算效率和準(zhǔn)確性方面較適合于工程計(jì)算.動(dòng)態(tài)Smagorinsky模型是將經(jīng)典Smagorinsky模型中的系數(shù)Cs在計(jì)算過程中根據(jù)大渦信息自動(dòng)計(jì)算［11－12］.

經(jīng)典Smagorinsky模型基于Boussinesq渦粘假設(shè)

動(dòng)態(tài)亞格子建模過程是一種方法，而不是單一的模型，該過程可應(yīng)用于任何常系數(shù)亞格子模型，將其變?yōu)閯?dòng)態(tài)模型.應(yīng)用于經(jīng)典Smagorinsky模型則構(gòu)成動(dòng)態(tài)Smagorinsky模型.該方法的基本思路是對(duì)流動(dòng)方程進(jìn)行二次濾波，根據(jù)第二次濾波及大渦模擬第一次濾波信息自動(dòng)計(jì)算渦粘系數(shù)，從而保證亞格子模型可適應(yīng)更廣泛的流動(dòng)計(jì)算.

1.2 離散格式

數(shù)值離散基于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格有限體積法，不可壓流動(dòng)方程采用分?jǐn)?shù)步方法（fractional step）［13］求解.相比于SIMPLE類方法，分?jǐn)?shù)步方法不將算子分裂誤差通過迭代降到接近零，而是將分裂誤差降到與時(shí)間截?cái)嗾`差為同一量級(jí).這樣能夠大大減少在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)推進(jìn)的迭代次數(shù)，從而在非定常計(jì)算中能夠提高計(jì)算效率.該算法時(shí)間截?cái)嗾`差和算子分裂誤差都由時(shí)間步長(zhǎng)確定，因而時(shí)間步長(zhǎng)不宜太大.本研究時(shí)間離散采用隱式二階格式，具有二階精度，時(shí)間步長(zhǎng)取為0.001.

本計(jì)算空間對(duì)流項(xiàng)采用三種離散格式，包括二階中心格式、三階MUSCL格式和二階有界中心格式.粘性項(xiàng)離散采用二階中心格式.

Fluent程序中的有限體積法基于格心法，即計(jì)算變量位于各網(wǎng)格單元的幾何中心.不同的空間格式體現(xiàn)為，由相鄰單元中心變量值，計(jì)算界面上的值所用的差值或重構(gòu)方法.

二階中心格式：二階中心格式具有較少的數(shù)值耗散常被用在大渦模擬中.該格式利用界面兩側(cè)單元中心的值計(jì)算界面變量值.對(duì)于界面流動(dòng)變量，基于二階中心格式的界面重構(gòu)公式為

其中0和1代表了相鄰兩個(gè)單元，其中中間的公用面為f，?φr，0和?φr，1是位于單元0和1中心的變量的梯度，其中r為單元中心到面中心的向量.單元中心的變量計(jì)算采用Taylor展開法［14］.

因?yàn)槎A中心格式奇偶失聯(lián)，計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)非物理振蕩，因而需要做校正（deferred correction），φf，up為低階迎風(fēng)格式計(jì)算的結(jié)果，“old”為上一時(shí)間步的結(jié)果，當(dāng)計(jì)算收斂后，結(jié)果收斂到二階中心格式.

三階MUSCL格式：MUSCL格式是通過中心格式和二階迎風(fēng)格式混合構(gòu)造的格式，最早由Van Leer提出［15］.MUSCL格式相比二階迎風(fēng)格式，具有更小的數(shù)值耗散，對(duì)網(wǎng)格類型適應(yīng)性更強(qiáng).

其中φf，up＝φ＋?φ·r，為二階迎風(fēng)格式.

二階有界中心格式：由于純中心格式數(shù)值耗散較小，即使采用校正，在梯度大的地方計(jì)算結(jié)果中仍會(huì)出現(xiàn)非物理振蕩.而有界中心格式的數(shù)值耗散大于純中心格式，但比中心格式魯棒性好，一般不會(huì)出現(xiàn)非物理振蕩.有界中心差分格式是由變量歸一化方法（NVD）［16］并在對(duì)流有界準(zhǔn)則（CBC）［17］約束下構(gòu)造的復(fù)合格式，該復(fù)合格式由中心格式、中心和二階迎風(fēng)混合格式、一階迎風(fēng)格式復(fù)合而成.

1.3 Taylor-Green渦

Taylor-Green渦（TGV）是研究湍流轉(zhuǎn)捩、級(jí)串和耗散的一種重要的模型流動(dòng)［18］.被廣泛用來驗(yàn)證大渦模擬的計(jì)算正確性.相比均勻各向同性湍流，TG渦包含的流動(dòng)機(jī)制更為豐富，計(jì)算難度也更大.

TG渦初始為一光滑的自由周期渦，可視為層流，開始演化后，在非線性作用下，光滑渦結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，轉(zhuǎn)捩為湍流，并不斷級(jí)串為更小的渦，同時(shí)隨著時(shí)間的演化，能量不斷耗散.

本研究選用三維Taylor-Green渦（TGV）進(jìn)行計(jì)算，分析湍流發(fā)展過程中的能量耗散.其初始流場(chǎng)為

初始渦量場(chǎng)可通過ω＝?×u得到.

計(jì)算域?yàn)檫呴L(zhǎng)為2π的正方體，網(wǎng)格點(diǎn)為64×64×64，正方體對(duì)應(yīng)的兩個(gè)面形成周期性邊界條件.根據(jù)TG渦直接數(shù)值模擬的結(jié)果，該網(wǎng)格尺度可保證在所計(jì)算的雷諾數(shù)下，網(wǎng)格對(duì)渦系的截?cái)嗖〝?shù)處于慣性區(qū)，從而能夠保證大渦模擬的網(wǎng)格尺度是足夠的.取特征速度為1，特征尺度為1，定義雷諾數(shù)為1／ν.計(jì)算過程中，雷諾數(shù)通過分子粘性系數(shù)來改變.

TG渦系統(tǒng)是一個(gè)自耗散系統(tǒng)，在演化過程中能量不斷耗散.在數(shù)值模擬的情況下，能量耗散的來源分為流體分子粘性耗散，亞格子模型耗散和數(shù)值耗散.

分子粘性耗散率 εmol＝2ν＜SijSij＞，＜·＞代表體積平均；

亞格子模型耗散率 εSGS＝2νSGS＜SijSij＞，

其中ν，νSGS，Sij分別分子粘性系數(shù)，亞格子湍流渦粘系數(shù)和應(yīng)變率張量，νSGS＝μSGS／ρ．分子耗散率和亞格子耗散率一起稱為物理耗散率εphy＝εmol＋εSGS．

2 計(jì)算結(jié)果及分析

圖1顯示TG渦在不同時(shí)刻的演化結(jié)構(gòu)，初始為規(guī)則的周期多渦結(jié)構(gòu)，隨時(shí)間演化，逐漸變?yōu)樾〕叨刃郎u.圖中渦面是利用渦的λ2判別法［19］得到，其灰度代表了動(dòng)能的大小.

圖2給出了不同時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，可見所取時(shí)間步長(zhǎng)已足夠小，改變時(shí)間步長(zhǎng)后總能量隨時(shí)間的衰減曲線完全重合，本文的以下計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)都取為0.001.圖3給出了不同雷諾數(shù)下總平均動(dòng)能隨時(shí)間的演化.在初始動(dòng)能一樣的情況下，雷諾數(shù)越大，耗散越慢，湍流動(dòng)能在慣性作用下會(huì)傳遞到更小尺度的渦上去.

通過與DNS結(jié)果的對(duì)比，可以比較各種差分格式以及亞格子模型的計(jì)算效果，本研究選用BRACHETT［20］的TG渦直接數(shù)值模擬結(jié)果作為對(duì)比數(shù)據(jù).BRACHETT［20］的關(guān)于TG渦的DNS數(shù)據(jù)是該方向的經(jīng)典數(shù)據(jù)，由譜方法計(jì)算，最初計(jì)算時(shí)采用2563網(wǎng)格，約十年后又基于8643網(wǎng)格做了校核［21］，但未發(fā)現(xiàn)偏差.長(zhǎng)期以來一直作為TG渦模擬的對(duì)比數(shù)據(jù)，即使最新DNS計(jì)算也與其復(fù)合得很好［22］.

圖4給出了Re＝100情況下，三種數(shù)值格式計(jì)算的TG渦系統(tǒng)能量耗散率隨時(shí)間的演化.給出了物理耗散率和總耗散率在有無亞格子模型情況下的變化規(guī)律，并給出的DNS數(shù)據(jù)作為對(duì)比.可見5條曲線基本上重合到一起，計(jì)算結(jié)果與DNS數(shù)據(jù)符合很好，無論加不加亞格子模型，流動(dòng)的物理耗散率都等于總耗散率，即數(shù)值耗散很小.實(shí)際上由于在該雷諾數(shù)下，流動(dòng)演化可看成層流演化，耗散過程主要是分子粘性耗散，亞格子耗散可以忽略不計(jì).

圖5給出了Re＝400情況下的計(jì)算結(jié)果.對(duì)于每一種計(jì)算格式的計(jì)算結(jié)果而言，此時(shí)物理耗散率和總耗散率都出現(xiàn)差異，特別是在耗散率峰值附近（t＝6 s），差異顯著，表明數(shù)值耗散此時(shí)對(duì)計(jì)算結(jié)果有明顯的影響.對(duì)比三種數(shù)值格式，MUSCL格式數(shù)值耗散的影響最大，t＝4 s以后，能量總耗散率與物理耗散曲線之間明顯分散（圖5（a）），但是加不加SGS模型對(duì)總耗散率和物理耗散率影響不大.中心差分格式和有界中心格式數(shù)值耗散的影響相對(duì)較小.考慮施加亞格子尺度模型和不加模型兩種情況，采用中心格式計(jì)算的物理耗散值與總耗散率的差值是最小的，表明中心格式的數(shù)值耗散相對(duì)較小，與DNS的結(jié)果也比較接近.

當(dāng)Re＝3 000時(shí)，數(shù)值耗散的影響顯著增加，如圖6所示.對(duì)于MUSCL格式和有界中心格式而言，施加亞格子模型與否，總能量耗散率相差不大.對(duì)比DNS數(shù)據(jù)，亞格子模型僅在局部時(shí)間段對(duì)耗散率有所改善，但并不明顯.而對(duì)于中心格式，不加SGS模型時(shí)，總能量耗散率與DNS結(jié)果反而更接近，盡管此時(shí)耗散仍然偏大，耗散率峰值出現(xiàn)的時(shí)間提前，但是峰值的大小與DNS結(jié)果很接近.上述結(jié)果表明對(duì)于三種數(shù)值格式而言，在該雷諾數(shù)下，數(shù)值耗散基本主控了耗散率的量值，且大于亞格子尺度模型提供的耗散.基于這一點(diǎn)可以看出，對(duì)于所采用三種低階格式而言，利用格式本身的數(shù)值耗散來作為亞格子模型，構(gòu)成隱式大渦模擬是更為實(shí)用的技術(shù)，而再顯式添加亞格子模型的效果并不大，甚至?xí)褂?jì)算結(jié)果變差（比如中心格式）.

對(duì)于三種數(shù)值格式而言，中心格式的總耗散率與DNS結(jié)果最為接近，特別是不加SGS模型時(shí).更為重要的，采用中心格式時(shí)，在添加亞格子模型的情況下，中心格式的物理耗散占總耗散率的比重最大（圖6（c）），有界中心格式其次，MUSCL格式最小.這表明中心格式的數(shù)值耗散對(duì)大渦模擬計(jì)算的影響最小.不加亞格子模型時(shí)，由于計(jì)算物理耗散率時(shí)少了亞格子耗散率，所以物理耗散率量值很小.

需要注意，無論加不加亞格子模型，以及采用三種之中的任一數(shù)值格式，計(jì)算得到的耗散率相比DNS結(jié)果在大部分區(qū)域都偏大，而在峰值附近又偏小.說明在高雷諾數(shù)下還沒有做到準(zhǔn)確模擬湍流的耗散.根據(jù)已有的研究結(jié)果［7］，本文用到動(dòng)態(tài)Smagorinsky模型本身的耗散率相比DNS結(jié)果本來就偏大，即該亞格子模型本身也存在建模誤差.因而即使采用高精度低耗散數(shù)值格式，顯示添加動(dòng)態(tài)Smagorinsky亞格子模型，計(jì)算的耗散率與圖6（c）中計(jì)算的總耗散率在趨勢(shì)上也是類似的，可參見文獻(xiàn)［7］中四階中心格式的計(jì)算結(jié)果.

3 結(jié)論

以Taylor-Green渦的時(shí)間演化為計(jì)算對(duì)象，研究了三階MUSCL格式、二階有界中心格式和二階中心格式的數(shù)值誤差對(duì)大渦模擬計(jì)算結(jié)果的影響.得到如下結(jié)論：

1）三種數(shù)值格式的數(shù)值耗散行為都與亞格子模型行為類似，即在小雷諾數(shù)下，流場(chǎng)比較光滑時(shí)，耗散很小，當(dāng)雷諾數(shù)增加，流動(dòng)轉(zhuǎn)捩為湍流，流場(chǎng)梯度增大，耗散顯著增大.與直接數(shù)值模擬結(jié)果相比較，對(duì)于添加和不添加亞格子模型兩種情況能量耗散都偏大.

2）對(duì)于MUSCL格式和二階有界中心格式，在高雷諾數(shù)下，亞格子尺度模型沒有明顯改善計(jì)算結(jié)果，但也沒有使計(jì)算結(jié)果惡化.中心格式相比其它兩種格式，數(shù)值耗散最小，但是在高雷諾數(shù)湍流情況下，中心格式的數(shù)值耗散仍然主導(dǎo)了能量的耗散，再添加亞格子模型，計(jì)算結(jié)果反而變得稍差.

3）對(duì)于工程中的低階格式而言，采用中心格式計(jì)算大渦模擬是比較好的選擇，而且在計(jì)算不存在穩(wěn)定性問題的前提下，采用不添加亞格子模型的隱式大渦模擬效果更好.

［1］張兆順，崔桂香，許春曉.湍流大渦數(shù)值模擬的理論和應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2008.

［2］Ghosal S.An analysis of numerical errors in large-eddy simulations of turbulence［J］.Journal of Computational Physics，1996，125（1）：187－206.

［3］Gullbrand J，Chow F K.The effect of numerical errors and turbulence models in large-eddy simulations of channel flow，with and without explicit filtering［J］.Journal of Fluid Mechanics，2003，495：323－341.

［4］Boris J P，Grinstein F F，Oran E S，Kolbe R L.New insights into large eddy simulation［J］.Fluid Dynamics Research，1992，10：199－228.

［5］Grinstein F，Margolin L，Rider W.Implicit large eddy simulation：Computing turbulent flow dynamics［M］.Cambridge，UK：Cambridge University Press，2007.

［6］Garnier E，Mossi M，Sagaut P，Comte P，Deville M.On the use of shock capturing schemes for large-eddy simulation［J］. Journal of Computational Physics，1999，153：273－311.

［7］Hickel S，Adams N A，Domaradzki J A.An adaptive local deconvolution method for implicit LES［J］.Journal of Computational Physics，2006，213：413－436.

［8］Kravchenko A G，Moin P.On the effect of numerical errors in large eddy simulations of turbulent flows［J］.Journal of Computational Physics，1997，131（2）：310－322.

［9］楊小龍，符松.直接數(shù)值模擬／大渦模擬中數(shù)值誤差影響的研究［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2008，29（7）.

［10］謝志剛，許春曉，崔桂香，王志石.方柱繞流大渦模擬［J］.計(jì)算物理，2007，24（2）：171－180.

［11］Germane M，Piomelli U，Moin P，Cabot W H.A dynamic subgrid-scale eddy viscosity model［J］.Physics of Fluids，1991，（4）：633－635.

［12］Lilly D K.A proposed modification of the germano subgrid-scale closure model［J］.Physics of Fluids，1992，（4）：633－635.

［13］Glaz H M，Bell J B，Colella P.An analysis of the fractional-step method［J］.Journal of Computational Physics，1993，108：51－58.

［14］Barth T J，Jespersen D.The design and application of upwind schemes on unstructured meshes［C］.AIAA 27th Aerospace Sciences Meeting，AIAA－89－0366，Reno，Nevada，1989.

［15］Van Leer B.Toward the ultimate conservative difference scheme.IV.A second order sequel to Godunov's method［J］. Journal of Computational Physics，1979，32：101－136.

［16］Leonard B P.The ULTIMATE conservative difference scheme applied to unsteady one-dimensional advection［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1991，88：17－74.

［17］Gaskell P H，Lau A K C.Curvative-compensated convective transport：SMART，a new boundedness-preserving transport algorithm［J］.International Journal for Numerical Methods in Fluids，1988，8：617－641.

［18］Taylor G I，Green A E.Mechanism of the production of small eddies from large ones［C］∥Proceedings of the Royal Society of London，Series A，Mathematical and Physical Sciences，1937，158：499－521.

［19］Jeong J，Hussain F M.On the identification of a vortex［J］.Journal of Fluid Mechanics，1991，285：69－94.

［20］Brachet M E，Meiron D I，Orszag S A，Nickel B G，Morf R H，F(xiàn)risch U.Small-scale structure of the Taylor-Green vortex ［J］.Journal of Fluid Mechanics，1983，130：411－452.

［21］Brachet M，Meneguzzi M，Vincent A.Politano H，Sulem P-L.Numerical evidence of smooth self-similar dynamics and possibility of subsequent collapse for three-dimensional ideal flow［J］.Physics of Fluids，1992，（4）：2845－2854.

［22］Chapelier J-B，Plata M D L L.Renac F.Inviscid and viscous simulations of the Taylor-Green vortex flow using a modal discontinuous Galerkin approach［A］.AIAA－2012－3073，2012.

Suitability of Low-order Numerical Schemes in Large Eddy Simulations

LIU Tongxin，MA Baofeng
（Ministry-of-Education Key Laboratory of Fluid Mechanics，Beihang University，Beijing 100191，China）

Several low-order numerical schemes were evaluated for their suitability in large-eddy simulations based on 3D Taylor-Green vortex，with and without a subgrid-scale model.It shows that dissipation characteristics of three numerical schemes used are similar to a subgrid-scale model.At lower Reynolds numbers，flow fields are relatively smooth，numerical dissipation is lower；As Reynolds number increasing，transition to turbulence occurs and numerical dissipation grows greatly.For MUSCL and bounded centered schemes，subgrid-scale model has a little influence on results at high Reynolds numbers.The second-order central scheme exhibits lower dissipation，but at higher Reynolds numbers numerical dissipation still dominates total energy dissipation of flow.With an explicit subgrid-scale model the results even become worse.Therefore，for large eddy simulations in engineering，the second order central scheme is suitable，particularly without an explicit subgrid-scale model.

large eddy simulation；numerical dissipation；subgrid-scale model；low-order numerical schemes

date： 2013－07－01；Revised date： 2013－10－02

O368

A

1001-246X（2014）03-0307-07

2013－07－01；

2013－10－02

國(guó)家自然科學(xué)基金（11272033）資助項(xiàng)目

劉同新（1987－），男，山東，碩士生，研究方向：非定常流動(dòng)的大渦模擬研究，E-mail：bf-ma＠buaa.edu.cn