崔 寧

（河北建筑工程學(xué)院數(shù)理系，河北 張家口075000）

0 引 言

現(xiàn)實(shí)生活中人們面臨著許多傳染病的威脅，數(shù)學(xué)模型在分析疾病的傳播和控制措施的制定中起著非常重要的作用，而隔離一直作為有效的措施應(yīng)用于H1N1、HIV／AIDS、SARS［1－3］等疾病控制中.將總?cè)藬?shù)分為易感者類S、潛伏者類E、感染者類I和隔離者類Q，本文將研究具雙線性傳染率［4］的SEIQS模型

這里，易感者來源分為常數(shù)遷入率A和對(duì)潛伏者和感染者的有效治愈率μ1ω1E、μ2ω2I，其中，ω1和ω2分別代表對(duì)潛伏者和感染者的隔離率；各艙室類的自然死亡率為d；因病死亡率和潛伏期的發(fā)病率分別用α、ε表示.

顯然，我們只需考查（1.1）的子系統(tǒng)

由（1.2）可得

因此

所以系統(tǒng)（1.2）的不變集為

定義D的邊界和內(nèi)點(diǎn)集合分別為?D和°D，經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算可得系統(tǒng)存在兩個(gè)正平衡點(diǎn)：無病平衡點(diǎn)P0＝（A／d，0，0）∈?D和地方病平衡點(diǎn)P1＝（S1，E1，I1），其中

S1＝（d＋ε＋ω1）（d＋α＋ω2）／（εβ），I1＝I0（R0－1），E1＝（d＋α＋ω2）I1／ε，為系統(tǒng)（1.2）的基本再生數(shù)，由此可得結(jié)論

定理1R0≤1時(shí)，P0為D內(nèi)的唯一平衡點(diǎn)；R0＞1時(shí)，內(nèi)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)P1.

1 全局穩(wěn)定性

引理1 若R0＞1，選取充分大的t＞0，存在緊吸引集，當(dāng)t＞t時(shí)，沿系統(tǒng)（1.2）過初值（S（0），E（0），I（0））∈K的解（S（t），E（t），I（t））均有βS（t）＞μ2ω2成立.

證明 由系統(tǒng)（1.2）可得

若βS（t）≤μ2ω2，應(yīng)有S′（t）≥A－dS（t）≥A－dμ2ω2／β，注意到R0＞1，所以

可知（1.2）的所有解在無窮遠(yuǎn)處都經(jīng)過直線βS（t）＝μ2ω2并最終保留在直線之上，因此，對(duì)于充分大的t＞0，當(dāng)t＞t時(shí)，βS（t）≥μ2ω2對(duì)于過初值（S（0），E（0），I（0））∈K的解（S（t），E（t），I（t））均成立.證畢

定理2 （i）當(dāng)R0≤1時(shí)，D內(nèi)存在唯一的無病平衡點(diǎn)P0，且全局漸近穩(wěn)定；（ii）當(dāng)R0＞1時(shí)，°D內(nèi)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)P1，P0不穩(wěn)定.

證明 構(gòu)建函數(shù)

對(duì)函數(shù)沿著（1.2）的解求導(dǎo)數(shù)，當(dāng)R0≤1有

此外，當(dāng)且僅當(dāng)I＝0時(shí)，有V′＝0，在｛（S，E，I）∈D∶V′＝0｝上的最大不變集為單點(diǎn)集｛P0｝.因此，由LaSalle不變集原理［5］可知，當(dāng)R0≤1時(shí)P0全局漸近穩(wěn)定.同時(shí)I＞0時(shí)，有V′＞0，及可S＞A／（dR0）知結(jié)論（ii）成立.證畢

定理3 當(dāng)R0＞1時(shí)，°D內(nèi)唯一的地方病平衡點(diǎn)P1全局漸近穩(wěn)定.

證明 通過上述結(jié)果，可知系統(tǒng)（1.2）在可行集D的內(nèi)部滿足文獻(xiàn)［6］中的條件（H1），（H2），系統(tǒng)的加法復(fù)合矩陣為

定義函數(shù)

矩陣

經(jīng)計(jì)算得

將（u，v，w）定義為的向量，選擇R3中的范數(shù)，并把ρ記為該范數(shù)的Lozinskii測(cè)度，結(jié)合文獻(xiàn)［7］可估計(jì)ρ（B）≤sup（g1，g2），這里

由系統(tǒng)（1.2）可得

因此，選擇充分大的t使得

對(duì)t＞t成立.所以，存在一吸引集K，使得沿系統(tǒng)（1.2）過初值x0∈K的解有

從而可知q2≤－d／2＜0成立.所以°D內(nèi)唯一的地方病平衡點(diǎn)P1全局漸近穩(wěn)定.證畢

2 仿 真

接下來我們討論系統(tǒng)極限環(huán)的存在性，我們?nèi)?shù)值為

A＝0.1，μ1＝μ2＝w1＝w2＝0.0001，α＝ε＝0.1，d＝0.0001，β＝0.0011，

則系統(tǒng)存在地方病平衡點(diǎn)P1＝（3.6728，5.1087，25.4165）.經(jīng)計(jì)算得Jacobian矩陣的特征根為－0.684， －0.0337i， 0.0337i，

顯然，此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分支.所以，結(jié)合文獻(xiàn)［8］，當(dāng)β1＝0.001＜β時(shí)，系統(tǒng)在地方病平衡點(diǎn)P1附近出現(xiàn)極限環(huán)，如圖1.

圖1 系統(tǒng)極限環(huán)現(xiàn)象

［1］Hong Xiao，Huaiyu Tian，Lei Shao etc，Spatio－temporal Simulation of Epidemiological SIQR Model Based on the Multi－Agent System with Focus on Influenza A（H1N1）.Communications in Computer and Information Science，107（2010）：180～189

［2］Ram Naresh，Agraj Tripathi，Dileep Sharma，Modelling and analysis of the spread of AIDS epidemic with immigration of HIV infectives.Mathematical and Computer Modelling，49（2009）：880～892

［3］Ying－Hen Hsieh，Chwan－Chuan King，Cathy W.S Chen etc，Impact of quarantine on the 2003SARS outbreak：A retrospective modeling study.Journal of Theoretical Biology 244（2007）：729～736

［4］W.Wang，S.Ruan，Bifurcation in an epidemic model with constant removal rate of infectives，J.Math.Anl.Appl.291（2004）775～793

［5］J.P.LaSalle，The Stability of Dynamical Systems，SIAM，Philadephia，PA，1976

［6］M.Y.Li，J.S.Muldowney，A geometric approach to global－stability problems，SIAM J.Math.Anal.27（1996）1070

［7］R.H.Martin Jr.，Logarithmic norms and projections applied to linear differential systems，J.Math.Anal.Appl.45（1974）432

［8］NA YI，ZHIWU ZHAO，QINGLING ZHANG，Global Analysis of an Epidemic Model with general Incidence Rate，International Journal of Information and systems Sciences，5（2009）296～310