柯炳春

目前，中考考場雖然無法直接考查“課題學(xué)習(xí)”的實(shí)踐過程，但試題的設(shè)計(jì)可以呈現(xiàn)學(xué)生獨(dú)立利用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)能力觀察、發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的過程，呈現(xiàn)學(xué)生自主探索研究的課題學(xué)習(xí)過程。因此，在初中數(shù)學(xué)“課題學(xué)習(xí)”的復(fù)習(xí)教學(xué)中，仍應(yīng)重視過程性教學(xué)，以更好地促進(jìn)學(xué)生理解知識(shí)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和思維能力，提高復(fù)習(xí)效益。重視復(fù)習(xí)問題的選擇，以讓學(xué)生能夠經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成和發(fā)展過程，是我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中可采用的有效方法.

一、重現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過程，提高建模能力

《2014年福建省數(shù)學(xué)學(xué)科考試大綱》指出，課題學(xué)習(xí)要結(jié)合實(shí)際，會(huì)提出、探討一些具有挑戰(zhàn)性的研究課題，經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應(yīng)用”的基本過程.進(jìn)而體驗(yàn)從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題、建立數(shù)學(xué)模型，綜合應(yīng)用已有的知識(shí)解決問題的過程.建模能力是初中數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的核心能力之一.因此，在課題復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，教師要重視依托實(shí)際問題為背景重現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過程，讓學(xué)生重溫從實(shí)際問題中提煉出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型的過程，以促進(jìn)學(xué)生建模能力的提升.

例1 一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度.如圖1，當(dāng)李明走到點(diǎn)A處時(shí)，張龍測得李明直立向高AM與其影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點(diǎn)B處時(shí)，李明直立時(shí)身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB=1.25m.已知：李明直立時(shí)的身高為1.75m，求路燈的高度CD的長（精確到0.1m）.

本題依托學(xué)生身邊的實(shí)際問題為背景，貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，圍繞著初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過程進(jìn)行合理設(shè)置問題，有利于引導(dǎo)學(xué)生日常注意從身邊的事物與活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、提煉出數(shù)學(xué)問題.在問題解決的過程中，讓學(xué)生重溫“問題情境—建立模型—求解”的基本過程，學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中提煉出數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，有效提升課題學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)效益.

二、展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，培養(yǎng)研究方法

經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，是學(xué)生獲取感性知識(shí)，習(xí)得學(xué)習(xí)、研究問題方法的主要來源.《課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》在課題學(xué)習(xí)的具體目標(biāo)培養(yǎng)提出在學(xué)習(xí)過程中要獲得一些研究問題的方法和經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維能力，加深理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí).數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)為學(xué)生營造了一種“研究”的氣氛，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，以課題為中心展開研討活動(dòng)，通過動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和合作交流等學(xué)習(xí)方式來“做數(shù)學(xué)”；實(shí)際上是給學(xué)生提供了一個(gè)自主學(xué)習(xí)的體驗(yàn)和實(shí)踐機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中接觸到一些有研究和探索價(jià)值的題材和方法，幫助學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué).因此，在課題復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)重視選題，重新展現(xiàn)“知識(shí)背景-知識(shí)形成-揭示聯(lián)系”的數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，讓學(xué)生經(jīng)歷必要的猜想與驗(yàn)證、分析與研究的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)；促進(jìn)學(xué)生在“研究”活動(dòng)中進(jìn)行獨(dú)立思考、自主探索、發(fā)現(xiàn)知識(shí)、尋找規(guī)律，提升學(xué)生的綜合與實(shí)踐能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、研究方法.

例2 閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題：

sin30°=■，cos30°=■，則sin230°+cos230°= ；①

sin45°=■，cos45°=■，則sin245°+cos245°= ；②

sin60°=■，cos60°=■，則sin260°+cos260°= ；③

……觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A，都有sin2A+cos2A= .④

（1）如圖2，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對(duì)∠A證明你的猜想；

（2）已知：∠A為銳角（cosA>0）且sinA=■，求cosA.

本題利用學(xué)生掌握較為扎實(shí)的“銳角三角函數(shù)”知識(shí)為背景，從特殊的銳角函數(shù)值這一基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)入手，讓學(xué)生經(jīng)歷“特殊-猜想-一般”和“猜想-論證-應(yīng)用”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究歷程.在問題解決的過程中，學(xué)生通過自主的計(jì)算、猜想、概括等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，進(jìn)一步加深對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的研究活動(dòng)的真諦，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與提升，有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)研究方法.

三、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程，提升學(xué)習(xí)能力

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展，課堂教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)況，而且重視激發(fā)學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)潛力，不可忽視對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，為終身教育和可持續(xù)發(fā)展做準(zhǔn)備.從課題學(xué)習(xí)的教學(xué)功能上分析，數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)追求的目標(biāo)不僅是知識(shí)的獲得和問題的解決，更重要的是使學(xué)生去經(jīng)歷、去嘗試數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究活動(dòng)，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維，獲得創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.因此，在課題學(xué)習(xí)的復(fù)習(xí)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)重視呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生去體驗(yàn)、感受知識(shí)擴(kuò)充、拓展的經(jīng)過，以及向前發(fā)展的方向、知識(shí)之間的聯(lián)系與綜合，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升.

例3 在△ABC中，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)（P異于A、B），過點(diǎn)P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點(diǎn)P的△ABC的相似線，簡記為P（lx） （x為自然數(shù)）.例：如圖3，直線a分別交AB、AC于P、N點(diǎn)，則 PN是△ABC的一條相似線.

應(yīng)用：（1）如圖3，∠A=90°， ∠C=55°，PN是△ABC的一條相似線，則∠ANP= 度.

（2）如圖3，∠A=90°，設(shè)∠B=∠C，當(dāng)BP=2PA時(shí)，P（l1）、P（l2）都是過點(diǎn)P的△ABC的相似線（其中l(wèi)1⊥BC， l2∥AC），此外還有 條.

探究：如圖4，∠A=90°，∠B=30°，當(dāng)■為何值時(shí)，P（lx）截得的三角形面積為△ABC面積的■？

本題以學(xué)生熟悉的“相似形”為背景，發(fā)展導(dǎo)出“三角形相似線”這一新概念，并從定義、舉例、應(yīng)用、探究四個(gè)逐步深入的方式進(jìn)行設(shè)置問題.在問題解決過程中，有效地促使學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作、觀察發(fā)現(xiàn)、思考?xì)w納、推理論證等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，認(rèn)識(shí)、理解、應(yīng)用、探究的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程；有效地將學(xué)習(xí)過程中的觀察、思考、發(fā)現(xiàn)、概括、創(chuàng)新等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)暴露出來，有利用于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升.

課題學(xué)習(xí)的內(nèi)容是具有打挑戰(zhàn)性的，各地中考數(shù)學(xué)試卷中與“課題學(xué)習(xí)”有關(guān)的試題，從顯性上看似乎是在考查基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用能力等，但從隱性上看卻在考查學(xué)生在解決一些具有挑戰(zhàn)性問題的策略、方法和能力.這相當(dāng)于在考查學(xué)生在平時(shí)課題學(xué)習(xí)的過程中所積累下來的包括建模、探究、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)策略、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造等數(shù)學(xué)能力.因此，在“課題學(xué)習(xí)”的復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，要善于選擇課題，有效引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成和發(fā)展過程，誘導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)探究、實(shí)驗(yàn)、概括、應(yīng)用等思維活動(dòng)，加深理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，掌握基本的科研方法，提高數(shù)學(xué)建模、探究、學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造等課題學(xué)習(xí)的核心能力，使課題學(xué)習(xí)的復(fù)習(xí)效益得于有效提升.