袁萬(wàn)萍

近年來(lái)，中考數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題成為考查學(xué)生的熱點(diǎn)題型，這類(lèi)題型不僅涉及知識(shí)點(diǎn)多，而且能將幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)緊密結(jié)合，既考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力，又考查了學(xué)生的思維能力和空間想象能力，較綜合地體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的素質(zhì)要求. 但是由于這類(lèi)題型往往信息較多，綜合難度較大，學(xué)生得分情況很不理想，如何在平時(shí)教學(xué)中逐步滲透，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)、分析此類(lèi)題型的能力，理解動(dòng)與靜的辯證關(guān)系，達(dá)到提高思維品質(zhì)的目的，成為我們一線教師值得思考的問(wèn)題.

一、了解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

所謂“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類(lèi)開(kāi)放性題目. 解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題. 二、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的類(lèi)別與解題策略

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題按動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)分類(lèi)可以分為：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題. 按運(yùn)動(dòng)軌跡分類(lèi)可以分為：直線上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、曲線（比如拋物線、圓）上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、平面上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性，如等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值. 下面就此問(wèn)題的常見(jiàn)題型作簡(jiǎn)單介紹，關(guān)鍵給以點(diǎn)撥.

（一）三角形邊上動(dòng)點(diǎn)

例1 （2012貴州遵義）如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A，C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D.

（1）當(dāng)∠BQD = 30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（2）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°度角的直角三角形的性質(zhì).

分析 （1）由△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，可知∠ACB = 60°，再由∠BQD = 30°，可知∠QPC = 90°，設(shè)AP = x，則PC = 6 - x，QB = x，在Rt△QCP中，∠BQD = 30°，PC = QC，即6 - x = （6 + x），解得x = 2.

（2）作QF⊥AB，交線段AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接QE，PF，由點(diǎn)P，Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，可知AP = BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE ≌ △BQF，再由AE = BF，PE = QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB + AE = BE + BF = AB，DE = AB，由等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6可得出DE = 3，故當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變.

（二）四邊形邊上動(dòng)點(diǎn)

例2 （2011貴州遵義）如圖2，梯形ABCD中，AD∥BC，BC = 20 cm，AD = 10 cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從B，D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2 cm的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1 cm的速度沿DA向終點(diǎn)A移動(dòng)，線段PQ與BD相交于點(diǎn)E，過(guò)E作EF∥BC交CD于點(diǎn)F，射線QF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s，0 < t < 10）.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ為平行四邊形？

（2）在P，Q移動(dòng)的過(guò)程中，線段PH的長(zhǎng)是否發(fā)生改變？如果不變，求出線段PH的長(zhǎng)；如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，梯形.

分析 （1）如果四邊形PCDQ為平行四邊形，則DQ = CP，根據(jù)P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，求出DQ，CP的長(zhǎng)度表達(dá)式，解方程即可.

（2）PH的長(zhǎng)度不變，根據(jù)P，Q兩點(diǎn)的速度比，即可推出QD ∶ BP = 1 ∶ 2，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH = 20.

（三）拋物線上動(dòng)點(diǎn)

例3 （2010貴州遵義）如圖3，已知拋物線y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（2，-1），且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn)D.

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在問(wèn)題（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問(wèn)：是否存在以A，P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，拋物線，直角三角形，四邊形.

分析 （1）將Q（2，-1），C（0，3）分別代入y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）中即可確定a的值，然后配方后即可確定該拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P1為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P1與點(diǎn)B重合；當(dāng)點(diǎn)A為△APD2的直角頂點(diǎn)時(shí)，分別計(jì)算得P1（1，0），P2（2，-1）.

（3）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（1，0）時(shí)，不能構(gòu)成平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2（2，-1）（即頂點(diǎn)Q）時(shí)，平移直線AP（如圖）交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F. 當(dāng)AP = FE時(shí)，四邊形PAFE是平行四邊形.