唐榮瓊

摘要：通過(guò)對(duì)一道不等式求最值的探索，不僅能夠更加清晰地認(rèn)識(shí)命題思想，尋找命題的背景材料，追蹤溯源，還可以開(kāi)發(fā)試題的教學(xué)功效。通過(guò)對(duì)本試題的探索，達(dá)到對(duì)知識(shí)更深刻的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：不等式；最值；解題

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)06-0135

題目：設(shè)■b是1-a和1+a的等比中項(xiàng)，則a+3b的最大值為()

(A)1(B)2(C)3(D)4

解法1：運(yùn)用方程思想

令a+3b=m，則a=m-3b，代入a2+3b2=1，有(m-3b)2+3b2=1，即m2+9b2-6mb+3b2-1=0?；?jiǎn)得12b2-6mb+m2-1=0。

這是關(guān)于b的一元二次方程，且有解，故△=36m2-48(m2-1)≥0，即m2≤4，所以-2≤m≤2，即a+3b的最大值為2。

評(píng)注：將求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程處理，這是高中數(shù)學(xué)的一種重要方法。

解法2：運(yùn)用(三角)換元的思想

令a=sinθ，■b=cosθ，即b=■cosθ(θ∈R)，代入a+3b，得a+3b=sin+■cosθ=2sin(θ+■)。由θ∈R，知2sin(θ+■)≤2，所以a+3b的最大值為2。

評(píng)注：換元思想的利用往往可以簡(jiǎn)化問(wèn)題形式結(jié)構(gòu)，降低問(wèn)題難度。

解法3：運(yùn)用待定系數(shù)法

2λ1a+2λ23b=2λ1a+2(■λ2)(■b)≤λ1＋a2+3b2+3λ2，當(dāng)且僅當(dāng)λ1=a，λ2=b時(shí)取等號(hào)，即2λ1a+6λ2b≤2，比較2λ1a+6λ2b與a+3b的系數(shù)，有λ1=λ2=a=b時(shí)上述不等式取等號(hào)。將a=b代入a2+3b2=1，得λ1=λ2=a=b=■

因此2λ1a+6λ2b≤2，即a+3b≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=■時(shí)等號(hào)成立。

評(píng)注：不等式問(wèn)題處理的錯(cuò)誤通常在于取等號(hào)條件的把握，等號(hào)取不到可能就是系數(shù)原因，于是選用待定系數(shù)法。

解法4：運(yùn)用柯西不等式

觀察題目結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)與柯西不等式類(lèi)似，于是利用柯西不等式：得■(aibi)2≤(■ai2)(■ai2)，(a+3b)2=(1a+■■b)2≤[12+(■)2[a2+3b2]，即(a+3b)2≤4，∴-2≤a+3b≤２，即a+3b的最大值為2。

評(píng)注：公式法使用的關(guān)鍵是觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，選擇恰當(dāng)方式，利用結(jié)構(gòu)合理的公式處理。

解法5：運(yùn)用向量思想

構(gòu)造向量 ■=(a，■b)，■=(1，■)，則■=■=1，■=2。由■·■=mncosθ≤mn，得■·■=a+3b≤２，即a+3b的最大值為2.

解法6：利用函數(shù)的單調(diào)性

由a2+3b2=1知，只有a＞0，b＞0時(shí)，a+3b才可能取得最大值。令b＞0，有b=■，∴a+3b=a+■。設(shè)f(x)=x+■, x＞0，則f ′(x)=1-■。令f ′(x)=0，解得x=■。

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)x=■時(shí)，f(x)取得最大值2。所以a+3b≤2，即a+3b的最大值為2。

評(píng)注：知識(shí)的前后聯(lián)系有助于對(duì)知識(shí)的深刻認(rèn)識(shí)，可以?xún)?yōu)化思維，培養(yǎng)思維的廣闊性、靈活性和深刻性。

解法7：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

由a2+3b2=1得a2+■=1，令a=x，b=y，則x2+■=1表示橢圓。

于是，原題轉(zhuǎn)化為：若直線(xiàn)t=x+3y與橢圓x2+■=1有交點(diǎn)，求t的最大值。

如圖1，易知直線(xiàn)恰好是橢圓的切線(xiàn)時(shí)，t取最大值或最小值。所以當(dāng)方程組

x2+■=1t=x+3y只有一個(gè)解時(shí)，

t取得最值。將x=-3y+t代入x2+■=1，得12y2-6ty+t2-1=0，有兩個(gè)相等的實(shí)根，故△=36t2-48(t2-1)=0，解得t1=2或t2=-2，所以a+3b的最大值為2。

評(píng)注：由數(shù)到形的交替轉(zhuǎn)換，促成了不等式問(wèn)題的更好解決。

解法8：利用等號(hào)條件成立作出猜想

從前面已經(jīng)知道，當(dāng)a=b=■時(shí)，a+3b取得最大值2。

∴(a-■)+3(b-■)≤(a-■)(a+■)+3(b-■)(b+■)=0，

∴a+3b≤2，即a+3b的最大值為2.

上述不等式成立的理由如下：

∵(a-■)(a+■)-(a-■)=(a-■)2≥0

∴(a-■)(a+■)(a-■)≥(a-■)，

同理：3(b-■)(b+■)-3(b-■)=3(b-■)2≥0

∴3(b-■)(b+■)≥3(b-■)

評(píng)注：這種思想方法是在對(duì)知識(shí)有相當(dāng)深刻認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上得到的。看似簡(jiǎn)單，其蘊(yùn)含的思想相當(dāng)豐富。

通過(guò)以上八種思想的處理，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的很多知識(shí)都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，只要我們能夠更多地去探索和思考，就會(huì)對(duì)知識(shí)的產(chǎn)生發(fā)展過(guò)程有更加深刻的認(rèn)識(shí)。