朱佳

【摘要】 探究是數(shù)學(xué)課上學(xué)生活動的主要內(nèi)容，探究不僅可以拓展學(xué)生的想象空間，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還可以活躍課堂氣氛，加強(qiáng)師生互動。但由于學(xué)生的知識水平有限，對一些問題的探究往往得不到期待的結(jié)果，或者以失敗而告終，久而久之，學(xué)生就會失去探究的興趣，使課堂重新回到教師的一言堂。為了避免這種情況的發(fā)生，我們教師不僅要在學(xué)生探究成功時給予充分的肯定，還要在學(xué)生探究失敗時幫助他們尋找收獲，提高學(xué)生探究的積極性。本文就一則案例，讓學(xué)生從探究失敗中尋找收獲。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué) 探究 案例

【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2014）11-001-01

解析幾何中，由已知曲線方程和對稱軸方程，求已知曲線關(guān)于對稱軸對稱的曲線方程的問題，這種問題實際上就是歸結(jié)到求軸對稱點(diǎn)的問題。即一個點(diǎn)的坐標(biāo)M0（x0.y0），對稱軸為l，求M0（x0.y0）關(guān)于l的對稱點(diǎn)M（x，y）.根據(jù)兩個點(diǎn)關(guān)于某條直線對稱的定義，可以得到兩個特征：一是這兩點(diǎn)所在的直線與對稱軸垂直，二是這兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)在對稱軸上。

當(dāng)對稱軸的斜率不存在時：如對稱軸方程為l：x=a，我們就根據(jù)軸對稱點(diǎn)的兩個特征并結(jié)合坐標(biāo)系，在已知點(diǎn)是M0（x0.y0）的情況下，很容易得到軸對稱點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)為 。

當(dāng)對稱軸的斜率為0時，如對稱軸的直線方程為l：y=b，同樣在已知點(diǎn)為M0（x0.y0）的情況下，可以得到對稱點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)為 .

同學(xué)們很快想到，在對稱軸方程的斜率存在且不等于的情況下，能否根據(jù)軸對稱點(diǎn)的兩個特征，并結(jié)合坐標(biāo)系，由已知點(diǎn)的坐標(biāo)，對稱軸方程，推導(dǎo)出求軸對稱點(diǎn)坐標(biāo)的一個簡單公式呢？筆者對學(xué)生的這種想法非常贊許，并隨即鼓勵學(xué)生對這一問題進(jìn)行探究。

我們設(shè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為M0（x0.y0），對稱軸方程為l：y=kx+b（k≠0），M0（x0.y0）關(guān)于l的對稱點(diǎn)為軸對稱點(diǎn)M（x，y），根據(jù)軸對稱點(diǎn)的兩個特征，直線MM0的斜率■應(yīng)該是對稱軸方程的負(fù)倒數(shù)，即斜率等于-■，則線段MM0的中點(diǎn)（■，■）在對稱軸方程l：y=kx+b（k≠0）上，根據(jù)這些，我們可得關(guān)于x，y的方程組

，

解之得

.

我們雖然根據(jù)已知點(diǎn)M0（x0.y0）對稱軸方程l：y=kx+b（k≠0）得到了求對稱點(diǎn)方程的坐標(biāo)公式，但這個公式太繁了，在解決實際問題時，沒有人愿意用這個公式進(jìn)行求解。同學(xué)們很沮喪，覺得是一次探究失敗。在這種情況下，筆者及時給同學(xué)進(jìn)行總結(jié)。我們根據(jù)軸對稱點(diǎn)的兩個特征，推導(dǎo)了求軸對稱點(diǎn)的公式。但由于這個公式比較繁，不適合于解題中的應(yīng)用。但我們仔細(xì)觀察公式的特點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)。當(dāng)對稱軸的斜率k=1時，得到 ，當(dāng)對稱軸斜率k=-1時，也可以得到 。也就是說，當(dāng)對稱軸方程的斜率是k=±1，我們只要將已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0替換對稱軸方程中的y，就能求出對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，將已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0替換對稱軸方程中的x，就能求出對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)y.

例：已知點(diǎn)M0（2，1），對稱軸方程為l：x+y-5-0，求M0關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)M（x，y）

解：由x+y-5=0，得x=4

由2+y-5=0，得y=3

故 M（4，3）

這個結(jié)論還可以推廣到求軸對稱曲線方程的問題，如果曲線C的方程為f（x，y）=0，對稱軸l的方程為y=x+b，則C關(guān)于l對稱的曲線方程就為f（y-b，x+b）=0，同理，若對稱軸方程為y=-x+b，則C關(guān)于l對稱的曲線方程為f（-y+b，-x+b）=0.

在這節(jié)課的探究中，我們雖然沒有得到關(guān)于求對稱點(diǎn)的簡單的公式，但我們通過觀察，得到了一些特殊問題的簡單的解決方法，探究雖然失敗了，但是我們從失敗中仍然得到了一些收獲。今后我們凡是遇到對稱軸方程的斜率為±1時，我們就有了快捷的方法。當(dāng)然，當(dāng)對稱軸方程不為±1且不為0時，我們只能用軸對稱點(diǎn)的兩個特征，列方程組求對稱點(diǎn)的問題了。

俗話說，失敗是成功之母，失敗不僅是成功的基礎(chǔ)，在知識學(xué)習(xí)中，任何一次失敗中也都有可收獲的地方。只要我們教師在學(xué)生探究的失敗中幫助他們尋找收獲，就一定能夠提高學(xué)生探究的積極性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)成績。