葉翠華

摘 要：我們要使數(shù)學(xué)文化走進(jìn)中小學(xué)課堂，滲入實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)，努力使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會數(shù)學(xué)的文化品位，體察社會文化和數(shù)學(xué)文化之間的互動(dòng). 本文就數(shù)學(xué)文化應(yīng)用于數(shù)學(xué)概念教學(xué)談點(diǎn)自己的看法：用數(shù)學(xué)文化鋪墊概念教學(xué)，去其功利；用數(shù)學(xué)文化指引概念教學(xué)，探其根源；用數(shù)學(xué)文化剖析概念教學(xué)，理其脈絡(luò)；用數(shù)學(xué)文化深化概念教學(xué)，究其本質(zhì)；用數(shù)學(xué)文化突破概念教學(xué)，追其外延.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化；概念教學(xué)

數(shù)學(xué)是一種文化現(xiàn)象. 歷史上柏拉圖、達(dá)·芬奇、愛因斯坦、希爾伯特、羅素、馮·諾依曼等文化名人同時(shí)也是20世紀(jì)數(shù)學(xué)文明的締造者. 在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)文化已成為一個(gè)單獨(dú)的板塊，人們對數(shù)學(xué)文化的存在價(jià)值有了特別的關(guān)注.進(jìn)入21世紀(jì)之后，數(shù)學(xué)文化的研究更加深入. 其中一個(gè)重要的標(biāo)志，就是數(shù)學(xué)文化走進(jìn)中小學(xué)課堂，滲入實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)，努力使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會數(shù)學(xué)的文化品位，體察社會文化和數(shù)學(xué)文化之間的互動(dòng).

概念是人類思維的“細(xì)胞”. 各種能力，如運(yùn)算、邏輯思維、空間想象能力、創(chuàng)新能力等，無一不以清晰的概念為基礎(chǔ). 所以，如果要提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，注重?cái)?shù)學(xué)概念的教學(xué)是十分必要的. 數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)學(xué)科的奠基石，是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重中之重. 學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解、掌握和運(yùn)用是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn). 本文就數(shù)學(xué)文化應(yīng)用于數(shù)學(xué)概念教學(xué)陳一孔之見.

[?] 用數(shù)學(xué)文化鋪墊概念教學(xué)，去其功利

著名數(shù)學(xué)家柯朗（Richard Courant）在名著《數(shù)學(xué)是什么》的序言中這樣寫道：“今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴(yán)重的危機(jī)”. 在中國數(shù)學(xué)教育界，常常有“數(shù)學(xué)=邏輯”的觀念. 高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)有些現(xiàn)象很令人擔(dān)憂：教師重解題技巧，輕概念生成，追求概念教學(xué)最小化和習(xí)題講解最大化；學(xué)生認(rèn)為概念學(xué)習(xí)單調(diào)乏味而不重視它，對基本概念死記硬背、不求甚解，只是機(jī)械記憶. 直接后果表現(xiàn)為學(xué)生在沒有真正理解概念的情況下匆忙去解題，使得他們只會模仿教師解決某些典型例題的題型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情況、新的題目就束手無策，進(jìn)而導(dǎo)致教師和學(xué)生為了提高成績，陷入無休止的題海之中，數(shù)學(xué)教學(xué)變成了一種空洞的解題訓(xùn)練.

造成以上現(xiàn)象的主要原因在于學(xué)生僅僅知道數(shù)學(xué)概念本身，并未理解概念的形成過程，對概念引出的必要性、概念的本質(zhì)及其功能沒有深刻的認(rèn)識. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步理解. 由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注意體現(xiàn)基本概念的來龍去脈.在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實(shí)例抽象數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)”. 因此，我們要使學(xué)生真正領(lǐng)會和把握數(shù)學(xué)概念，教師就必須在概念生成的環(huán)節(jié)不惜時(shí)，不惜力. 比如，我們在教學(xué)“函數(shù)”這一概念，可能需要用大半節(jié)課引入概念，剖析概念，研究函數(shù)的內(nèi)涵和外延. 雖然從短時(shí)看，這可能比不上做大量練習(xí)的效果，但學(xué)生理解了函數(shù)的概念和本質(zhì)，對以后靈活解答各類問題有極大的幫助.

[?] 用數(shù)學(xué)文化指引概念教學(xué)，探其根源

概念教學(xué)不能“就事論事”，只注重這個(gè)“點(diǎn)”，這樣只會“見木不見林”. 數(shù)學(xué)文化指引我們找到知識體系大樹中，概念的根深藏于什么位置，圍繞根來開展教學(xué)，這是概念生成的基礎(chǔ). 概念生成的核心，就是要讓學(xué)生在探索、辨析、感悟和運(yùn)用中提升自己的數(shù)學(xué)思維，完善自己的知識體系，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)思想，以達(dá)到使學(xué)生獲得必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與最佳發(fā)展的目的，即尋找概念的根，理解概念的魂.

比如，復(fù)數(shù)和虛數(shù)的概念有悠遠(yuǎn)的歷史背景，是數(shù)發(fā)展到一定階段的必然產(chǎn)物. 在很長一段時(shí)間里，人們在實(shí)際生活中找不到用虛數(shù)和復(fù)數(shù)表示的量，在學(xué)生的有限的知識結(jié)構(gòu)中也找不到虛數(shù)的生活原型，所以學(xué)生很難完全理解它. 因此，在講解這兩個(gè)概念時(shí)，可以將數(shù)的發(fā)展史、虛數(shù)與復(fù)數(shù)的出現(xiàn)歷程做簡單闡述.從原始人分配食物開始，首先是自然數(shù)的出現(xiàn)，然后到分?jǐn)?shù)的出現(xiàn). 接下來經(jīng)過漫長的數(shù)的發(fā)展，人們又發(fā)現(xiàn)了很多不能用兩整數(shù)之比寫出來的數(shù)，如圓周率等. 人們把它們寫成π等形式，稱它們?yōu)闊o理數(shù). 到19世紀(jì)，由于運(yùn)算時(shí)經(jīng)常需要開平方，如果被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，比如x2+4=0，x2=-4，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數(shù)學(xué)運(yùn)算就像走在死胡同中那樣處處碰壁. 這樣，可以讓學(xué)生融入教學(xué)中，跟著故事的結(jié)尾一起思索，然后引入新概念：數(shù)學(xué)家們就規(guī)定用符號“i”表示“-1”的平方根，即i2= -1，虛數(shù)就這樣誕生了. 實(shí)數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來，寫成 a+bi的形式（a、b均為實(shí)數(shù)），這就是復(fù)數(shù). 這種引入概念的過程新穎別致，一開始就能抓住學(xué)生的眼球，吸引他們的注意力，使課堂教學(xué)輕松有趣.

我們在做教學(xué)設(shè)計(jì)前，可以先問自己幾個(gè)問題：（1）概念的來源理清了嗎？（2）概念的內(nèi)涵與外延是什么？（3）與之相關(guān)概念的相互關(guān)系是什么？（4）概念有什么文化作用？掌握了概念的根，就可以準(zhǔn)確把握向量在不同教學(xué)階段的不同含義和不同的教學(xué)要求：先從實(shí)際模型抽象出概念，然后用數(shù)學(xué)方法研究性質(zhì)，最后運(yùn)用模型解決問題，這樣就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，突出了數(shù)學(xué)的來龍去脈，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而形成對數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識.

[?] 用數(shù)學(xué)文化剖析概念教學(xué)，理其脈絡(luò)

美國教育心理學(xué)家布魯納曾指出：“獲得的知識如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)將它聯(lián)系在一起，那是一個(gè)多半會被遺忘的知識. 一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命.” 就數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，素質(zhì)教育提倡的是為理解而教.

眾所周知，概念的教學(xué)是循序漸進(jìn)的. 我們在進(jìn)行教學(xué)時(shí)可以設(shè)計(jì)一系列問題從基礎(chǔ)入手，層層深入，循循善誘.讓學(xué)生在一系列問題中. 逐步了解概念的由來，關(guān)注概念的發(fā)展，理清概念的脈絡(luò)，探求概念的本質(zhì).

比如，筆者在教學(xué)增函數(shù)這一概念時(shí)，設(shè)計(jì)了這樣一系列問題：

問題1 給出某地近十年來經(jīng)濟(jì)發(fā)展變化圖，觀察圖象，怎樣描述經(jīng)濟(jì)隨時(shí)間增大的變化情況？

問題2 函數(shù)y=x，y=x2從左往右看呈何趨勢？

問題3 對具體的兩個(gè)值a

問題4 若區(qū)間[a，b]上存在無數(shù)個(gè)值x1

問題5 那么f（x1），f（x2）與x1，x2之間要滿足什么樣的關(guān)系，才能得出函數(shù)在區(qū)間[a，b]上y隨自變量x的增大而增大呢？（必需是任意兩點(diǎn)都滿足條件）

[?] 用數(shù)學(xué)文化深化概念教學(xué)，究其本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念一般來源于實(shí)際問題的解決或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，在其以定理、法則、公式這些冷冰冰的形式化知識展現(xiàn)的背后，隱藏著原始的、生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維，這就是概念形成的目標(biāo)，華羅庚教授說得好：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好到數(shù)學(xué)家的紙簍里去找材料，不要只看課本上的結(jié)論”.

課堂上可采用在概念的形成中掌握概念的策略，以數(shù)學(xué)概念原理的發(fā)生發(fā)展過程為引入線索，問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，循序漸進(jìn)地安排學(xué)生的觀察（實(shí)踐性探索）、思維（理性思考）和遷移（知識應(yīng)用）活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手做，動(dòng)眼看，動(dòng)口說，動(dòng)腦思，用心想，全身心地投入概念學(xué)習(xí).

比如，教學(xué)“函數(shù)”這一概念. 從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，是從函數(shù)概念的系統(tǒng)學(xué)習(xí)開始的. 函數(shù)知識的學(xué)習(xí)對學(xué)生思維能力的發(fā)展具有重要意義. 從對函數(shù)的不同認(rèn)識階段看：初中以“變量說”定義函數(shù)，重點(diǎn)是借助一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)緊密相關(guān)的幾類函數(shù)，幫助學(xué)生形成對函數(shù)的直接體驗(yàn)，體會函數(shù)的意義，形成用函數(shù)解決問題的直接經(jīng)驗(yàn). 高中數(shù)學(xué)以“對應(yīng)說”定義函數(shù)，引進(jìn)數(shù)字以外的符號（y= f（x）中，f不代表數(shù)，與x，y的含義非常不同）表達(dá)函數(shù)，進(jìn)一步明確函數(shù)的表示法，以函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等典型性質(zhì)為載體，給出研究函數(shù)性質(zhì)的方法和過程的示范，進(jìn)一步體驗(yàn)函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型的作用，使學(xué)生形成用函數(shù)概念研究具體問題的“基本規(guī)范”. 從研究函數(shù)的方法上：對于“基本初等函數(shù)”的研究，是通過對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等具體函數(shù)的研究，逐步加深對函數(shù)概念的理解，在“基本初等函數(shù)”的應(yīng)用中，不斷體驗(yàn)函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，體驗(yàn)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等與現(xiàn)實(shí)世界的緊密聯(lián)系性，建立更加廣泛、穩(wěn)固的函數(shù)本質(zhì)的理解. 所以，我們教學(xué)的核心任務(wù)就是：建立一般意義的函數(shù)概念，了解函數(shù)的抽象符號的意義，了解函數(shù)中的問題、內(nèi)容和方法，形成研究函數(shù)問題的“基本規(guī)范”.

[?] 用數(shù)學(xué)文化突破概念教學(xué)，追其外延

形成概念時(shí)，通過對一類對象的研究，分析這類對象的共同的本質(zhì)屬性，再把具有本質(zhì)屬性的對象全部加起來研究，剖析概念的內(nèi)涵與外延，這就是概念的理解. 理解了概念的內(nèi)涵與外延后，抽象化和形式化的例子要盡可能回避，多篩選與生活的聯(lián)系密切的例題，通過問題的解答過程凸顯概念本質(zhì)，生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)應(yīng)該為學(xué)生所認(rèn)識和體驗(yàn)，這就是概念生成的成熟表現(xiàn).熟悉的情景、鮮活的生活素材，激發(fā)了學(xué)生的興趣和積極思考，潤物細(xì)無聲地融入教學(xué)中. 學(xué)生在運(yùn)用概念時(shí)不但“知其然”也“知其所以然”，體驗(yàn)到成功的喜悅，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)的動(dòng)力，投入到提煉概念并不斷完善概念的過程中.

在復(fù)習(xí)“方程”這個(gè)概念時(shí)，學(xué)生研究一元二次方程，得到其求根公式、韋達(dá)定理等結(jié)論；研究分式方程得到化分式為整式的經(jīng)驗(yàn)，注意分母不為零；在研究無理方程時(shí)知道要考慮有理化和其存在的意義. 通過這些結(jié)論的對比分析，得到解方程的本質(zhì)就是同解變形. 這些結(jié)論的生成和知識現(xiàn)象背后的本質(zhì)不是教師灌輸給學(xué)生的，而是學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作研究的過程中探索得到的，對學(xué)生來說是原發(fā)性、持續(xù)性、創(chuàng)造性的知識. 從概念的系統(tǒng)中掌握概念，我們應(yīng)該在研究獲得的結(jié)論中進(jìn)行篩選，提煉出形式最簡潔、表征合理、有應(yīng)用和推廣價(jià)值的結(jié)論進(jìn)行深度剖析. 一方面從結(jié)論的內(nèi)涵出發(fā)，討論結(jié)論成立的充分必要條件，可能引發(fā)出的新的結(jié)論等；另一方面從結(jié)論的外延即應(yīng)用出發(fā)，用此結(jié)論解決各種實(shí)際或抽象問題，加深對結(jié)論的記憶，并體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義.

總之，當(dāng)數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲入教材、到達(dá)課堂、溶入教學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)就會更加平易近人，數(shù)學(xué)教學(xué)就會通過文化層面讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué). 我們作為地球村的村民，一定要融入世界數(shù)學(xué)文化，將民族性和世界性有機(jī)地結(jié)合起來，揭示數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，走出數(shù)學(xué)孤立主義的陰影.